ユークリッド原論をどう読むか(14)
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ユークリッド原論
第10巻
命題10ー61
(第1の双中項線分上の正方形は有理線分上の矩形なら幅は第2の二項線分)
第1の双中項線分
上
の
正方形
に
等し
い
矩形
は、
有理線分
上につくられる
と、
第2の二項線分
を
幅
とする。
第1の双中項線分は、
定義の補足(命題10ー36)
による。
正方形は、
定義1ー22
による。
等しいは、
公理1ー7
による。
矩形は、
定義1ー22
による。
有理線分は、
定義10ー3の補足
による。
第2の二項線分は、
定義10Uー2
による。
幅は、
定義の補足(命題10ー20)
による。
ABを
Cで二つの
中項線分
に分けられ、
ACを
大き
い部分とする
第1の双中項線分
とし、
有理線分
DEが
定められ、
DE上に
AB上の
正方形
に
等し
く
DGを
幅
とする
矩形
DFが
つくられた
とせよ。
DGは
第2の二項線分
である
と主張する。
命題10ー27
(作図.2中項線分;矩形が有理面積、平方でのみ通約)
により、
AC;有理線分、
CB;有理線分、∩^^2 AC、<AC
矩形(AC、CB);有理面積
をとり、
命題の補足2(定義10ー3)
(作図.任意の有理線分)
により、
DE;有理線分
をとり、
命題1ー45の補足2
(作図.直線図形,線分,直線角と平行四辺形)
により
矩形(DE、DG;=正方(_AB))
をつくる。
AC;有理線分、
CB;有理線分、∩^^2 AC、<AC
矩形(AC、CB);有理面積
DE;有理線分
矩形(DE、DG;=正方(_AB))
となっている。
前と同じ作図がなされた
とせよ。
命題1ー45の補足2
(作図.直線図形,線分,直線角と平行四辺形)
により、
矩形DH(DE、DK;=正方(_AC))、
矩形KL(DE、KM;=正方(_BC))
中点N(MG)
をとる。
矩形DH=正方(_AC)、
矩形KL=正方(_BC))
MN=NG
となっている。
[......(1)]
そうすれば
ABは
Cで分けられた
第1の双中項線分
である
命題の設定
である。
から、
AC、CBは
平方においてのみ通約
でき、
有理面積
を
かこむ
中項線分
である。
前節による。
AC;中項線分、
CB;中項線分、∩^^2 AC、<AC
矩形(AC、CB);有理面積
DE;有理線分
矩形(DE、DG;=正方(_AB))
となっている。
[......(2)]
したがって
AC、CB上の
正方形
の和も
中項面積
である。
前節、
定義の補足2(命題10ー23)
(中項面積)
による。
正方(_AC)+正方(_CB);中項面積
となっている。
ゆえに
DLは
中項面積
である。
前節、
(1)
による。
矩形DL;中項面積
となっている。
そして
有理線分
DE上につくられた。
(1)
による。
矩形DL=矩形(DE、DM)
となっている。
したがって
MDは
有理線分
であり
DEと
長さにおいて通約
できない。
[......(3)]
前節、前々節、
命題10ー22
(中項線分上正方形に等矩形で底辺有理線分なら幅は有理で非通約)
による。
MD;有理線分、¬∩DE
となっている。
また
矩形
AC、CBの2
倍
は
有理面積
である
(2)
による。
2矩形(AC、CB);有理面積
矩形MF=矩形(AC、CB)
となっている。
から、
MFも
有理面積
である。
そして
有理線分
ML上にある。
前節、
(1)
、
(2)
、
命題2ー7
(差の平方)
による。
矩形MF=矩形(AC、CB);有理面積
となっている。
[......(4)]
したがって
MGも
有理線分
であり、
ML、
すなわち
DEと
長さにおいて通約
できる。
前節、
命題10ー20
(有理線分上の有理面積の矩形幅は底辺と長さで通約)
による。
MG;有理線分、∩ML=MG
となっている。
[......(5)]
したがって
DMは
MGと
長さにおいて通約
できない。
そして
有理線分
である。
前節、
(3)
命題10ー13
(通約量と非通約なら非通約)
による。
DM¬∩MG、
DM、MG;有理線分
となっている。
それゆえ
DM、MGは
平方においてのみ通約
できる
有理線分
である。
前節、
定義10ー3の補足
(有理線分)
による。
DM∩^^2 MG
DM、MG;有理線分
となっている。
したがって
DGは
二項線分
である。
前節、
定義の補足(命題10ー36)
(二項線分)
による。
DG;二項線分
となっている。
次に
第2の二項線分
でもある
ことを証明しなければならない。
AC、CB上の
正方形
は
矩形
AC、CBの2
倍
より
大き
い
命題2ー7
(差の平方)
による。
正方(_AC)+正方(_CB)>2矩形(AC、CB)
となっている。
から、
DLも
MFより
大き
い。
前節、
(2)
による。
矩形DL>矩形MF
となっている。
したがって
DMも
MGより
大き
い。
前節、
命題6ー1
(同高の三角形、平行四辺形は底辺と比例)
命題5ー14
(同じ比の前(後)項の大等小)
による。
DM>MG
となっている。
そして
AC上の
正方形
は
CB上の
正方形
と
通約
できる
命題の設定
による。
正方(_AC)∩正方(_CB)
となっている。
から、
DHも
KLと
通約
できる。
前節、
(1)
による。
矩形DH∩矩形KL
となっている。
したがって
DKも
KMと
通約
できる。
前節、
命題6ー1
(同高の三角形、平行四辺形は底辺と比例)
命題10ー11
(4量比例で一方が通約なら他方も通約)
による。
DK∩KM
となっている。
そして
矩形
DKMは
MN上の
正方形
に
等し
い。
(1)
(4)
、
定義の補足3(命題6ー8)
(比例中項)
による。
矩形(DKM)=正方(_MN)
となっている。
したがって
DM上の
正方形
は
MG上の
正方形
より
DMと
通約
できる
線分
上の
正方形
だけ
大き
い。
前節、
命題10ー17
(上の正方形の差が大と通約線分上の正方形⇔小の半分上の正方形に等しい大の矩形分割(コ)の辺は通約)
による。
正方(_DM)=正方(_MG)+正方(_X)
X∩DM
となっている。
そして
MGは
DEと
長さにおいて通約
できる。
(5)
による。
MG∩DE
となっている。
よって
DGは
第2の二項線分
である。
前節、前々節、
定義10Uー2
(第2の二項線分)
による。
DG;第2の二項線分
となっている。
命題10ー61
は、
命題10ー27
(作図.2中項線分;矩形が有理面積、平方でのみ通約)
により、
AC;有理線分、
CB;有理線分、∩^^2 AC、<AC
矩形(AC、CB);有理面積
をとり、
命題の補足2(定義10ー3)
(作図.任意の有理線分)
により、
DE;有理線分
をとり、
命題1ー45の補足2
(作図.直線図形,線分,直線角と平行四辺形)
により
矩形(DE、DG;=正方(_AB))
矩形DH(DE、DK;=正方(_AC))、
矩形KL(DE、KM;=正方(_BC))
中点N(MG)
をとると、
DM∩^^2 MG
DM、MG;有理線分
正方(_DM)=正方(_MG)+正方(_X)
X∩DM
MG∩DE
となり、
DG;第2の二項線分
のことである。
命題10ー61
は推論用命題である。
前提
作図・構成
推論
定義
補3(題6-8)
,
10-3補
,
補2(題10-23)
,
補(題10-36)
,
10U-2
公準
公理
命題
1-45補2
,
補2(義10-3)
,
10-27
2-7
,
5-14
,
6-1
,
10-11
,
10-13
,
10-17
,
10-20
,
10-22
その他
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