ユークリッド原論をどう読むか(14)
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ユークリッド原論

第10巻
 
命題10ー61(第1の双中項線分上の正方形は有理線分上の矩形なら幅は第2の二項線分)
 第1の双中項線分
 の正方形等し矩形は、
  有理線分上につくられる
と、
  第2の二項線分とする。



 ABを
  Cで二つの中項線分に分けられ、
  ACを大きい部分とする
  第1の双中項線分
とし、
 有理線分DEが
  定められ、
 DE上に
 AB上の正方形等し
 DGをとする矩形DFが
  つくられた
とせよ。
 DGは
  第2の二項線分である
と主張する。


 前と同じ作図がなされた
とせよ。

そうすれば
 ABは
  Cで分けられた
  第1の双中項線分である

から、
 AC、CBは
  平方においてのみ通約でき、
  有理面積かこむ中項線分である。

したがって
 AC、CB上の
 正方形の和も
  中項面積である。

ゆえに
 DLは
  中項面積である。

 そして
  有理線分DE上につくられた。

したがって
 MDは
  有理線分であり
  DEと長さにおいて通約できない。
      [......(3)]

また
 矩形AC、CBの2
  有理面積である

から、
 MFも
  有理面積である。
 そして
  有理線分ML上にある。

したがって
 MGも
  有理線分であり、
  ML、
  すなわち
  DEと長さにおいて通約できる。

したがって
 DMは
  MGと長さにおいて通約できない。
 そして
  有理線分である。

それゆえ
 DM、MGは
  平方においてのみ通約できる
  有理線分である。

したがって
 DGは
  二項線分である。

次に
  第2の二項線分でもある
ことを証明しなければならない。
 AC、CB上の正方形
  矩形AC、CBの2より大き

から、
 DLも
  MFより大きい。

したがって
 DMも
  MGより大きい。

そして
 AC上の正方形
  CB上の正方形通約できる

から、
 DHも
  KLと通約できる。

したがって
 DKも
  KMと通約できる。

そして
 矩形DKMは
  MN上の正方形等しい。

したがって
 DM上の正方形
  MG上の正方形より
  DMと通約できる
  線分上の正方形だけ大きい。

そして
 MGは
  DEと長さにおいて通約できる。

よって
 DGは
  第2の二項線分である。

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