ユークリッド原論をどう読むか（１４）
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ユークリッド原論

第１０巻
　
命題１０ー６１（第１の双中項線分上の正方形は有理線分上の矩形なら幅は第２の二項線分）
　第１の双中項線分上
　の正方形に等しい矩形は、
　　有理線分上につくられる
と、
　　第２の二項線分を幅とする。

• 第１の双中項線分は、
  定義の補足（命題１０ー３６）による。
• 正方形は、
  定義１ー２２による。
• 等しいは、
  公理１ー７による。
• 矩形は、
  定義１ー２２による。
• 有理線分は、
  定義１０ー３の補足による。
• 第２の二項線分は、
  定義１０�Uー２による。
• 幅は、
  定義の補足（命題１０ー２０）による。

　ＡＢを
　　Ｃで二つの中項線分に分けられ、
　　ＡＣを大きい部分とする
　　第１の双中項線分
とし、
　有理線分ＤＥが
　　定められ、
　ＤＥ上に
　ＡＢ上の正方形に等しく
　ＤＧを幅とする矩形ＤＦが
　　つくられた
とせよ。
　ＤＧは
　　第２の二項線分である
と主張する。

• 　命題１０ー２７（作図.２中項線分;矩形が有理面積、平方でのみ通約）
  　により、
  　ＡＣ；有理線分、
  　ＣＢ；有理線分、∩^^2 ＡＣ、＜ＡＣ
  　矩形(ＡＣ、ＣＢ)；有理面積
  をとり、
  　命題の補足２（定義１０ー３）(作図.任意の有理線分)
  により、
  　ＤＥ；有理線分
  をとり、
  　命題１ー４５の補足２(作図.直線図形,線分,直線角と平行四辺形)
  により
  　矩形(ＤＥ、ＤＧ；＝正方(_ＡＢ))
  をつくる。
  
• 　ＡＣ；有理線分、
  　ＣＢ；有理線分、∩^^2 ＡＣ、＜ＡＣ
  　矩形(ＡＣ、ＣＢ)；有理面積
  　ＤＥ；有理線分
  　矩形(ＤＥ、ＤＧ；＝正方(_ＡＢ))
  となっている。
  

　前と同じ作図がなされた
とせよ。

• 　命題１ー４５の補足２(作図.直線図形,線分,直線角と平行四辺形)
  により、
  　矩形ＤＨ(ＤＥ、ＤＫ；＝正方(_ＡＣ)）、
  　矩形ＫＬ(ＤＥ、ＫＭ；＝正方(_ＢＣ)）
  　中点Ｎ(ＭＧ)
  をとる。
• 　矩形ＤＨ＝正方(_ＡＣ)、
  　矩形ＫＬ＝正方(_ＢＣ)）
  　ＭＮ＝ＮＧ
  となっている。
  　　　　[......(１)]
  

そうすれば
　ＡＢは
　　Ｃで分けられた
　　第１の双中項線分である

• 　命題の設定である。

から、
　ＡＣ、ＣＢは
　　平方においてのみ通約でき、
　　有理面積をかこむ中項線分である。

• 　前節による。
• 　ＡＣ；中項線分、
  　ＣＢ；中項線分、∩^^2 ＡＣ、＜ＡＣ
  　矩形(ＡＣ、ＣＢ)；有理面積
  　ＤＥ；有理線分
  　矩形(ＤＥ、ＤＧ；＝正方(_ＡＢ))
  となっている。
  　　　　　　[......(２)]
  

したがって
　ＡＣ、ＣＢ上の
　正方形の和も
　　中項面積である。

• 　前節、
  　定義の補足２（命題１０ー２３）(中項面積)
  による。
• 　正方(_ＡＣ)＋正方(_ＣＢ)；中項面積
  となっている。

ゆえに
　ＤＬは
　　中項面積である。

• 　前節、
  （１）による。
• 　矩形ＤＬ；中項面積
  となっている。

　そして
　　有理線分ＤＥ上につくられた。

• 　（１）による。
• 　矩形ＤＬ＝矩形(ＤＥ、ＤＭ)
  となっている。

したがって
　ＭＤは
　　有理線分であり
　　ＤＥと長さにおいて通約できない。
　　　　　　[......(３)]

• 　前節、前々節、
  　命題１０ー２２（中項線分上正方形に等矩形で底辺有理線分なら幅は有理で非通約）
  による。
• 　ＭＤ；有理線分、¬∩ＤＥ
  となっている。

また
　矩形ＡＣ、ＣＢの２倍は
　　有理面積である

• 　（２）による。
• 　２矩形(ＡＣ、ＣＢ)；有理面積
  　矩形ＭＦ＝矩形(ＡＣ、ＣＢ)
  となっている。

から、
　ＭＦも
　　有理面積である。
　そして
　　有理線分ＭＬ上にある。

• 　前節、 （１）、 （２）、
  　命題２ー７（差の平方）
  による。
• 　矩形ＭＦ＝矩形(ＡＣ、ＣＢ)；有理面積
  となっている。 　　　　　　[......(４)]
  

したがって
　ＭＧも
　　有理線分であり、
　　ＭＬ、
　　すなわち
　　ＤＥと長さにおいて通約できる。

• 　前節、
  　命題１０ー２０（有理線分上の有理面積の矩形幅は底辺と長さで通約）
  による。
• 　ＭＧ；有理線分、∩ＭＬ＝ＭＧ
  となっている。 　　　　　　[......(５)]
  

したがって
　ＤＭは
　　ＭＧと長さにおいて通約できない。
　そして
　　有理線分である。

• 　前節、 （３）
  　命題１０ー１３（通約量と非通約なら非通約）
  による。
• 　ＤＭ¬∩ＭＧ、
  　ＤＭ、ＭＧ；有理線分
  となっている。

それゆえ
　ＤＭ、ＭＧは
　　平方においてのみ通約できる
　　有理線分である。

• 　前節、
  　定義１０ー３の補足（有理線分）
  による。
• 　ＤＭ∩^^2 ＭＧ
  　ＤＭ、ＭＧ；有理線分
  となっている。

したがって
　ＤＧは
　　二項線分である。

• 　前節、
  　定義の補足（命題１０ー３６）(二項線分)
  による。
• 　ＤＧ；二項線分
  となっている。

次に
　　第２の二項線分でもある
ことを証明しなければならない。
　ＡＣ、ＣＢ上の正方形は
　　矩形ＡＣ、ＣＢの２倍より大きい

• 　命題２ー７（差の平方）
  による。
• 　正方(_ＡＣ)＋正方(_ＣＢ)＞２矩形(ＡＣ、ＣＢ)
  となっている。

から、
　ＤＬも
　　ＭＦより大きい。

• 　前節、 （２）による。
• 　矩形ＤＬ＞矩形ＭＦ
  となっている。

したがって
　ＤＭも
　　ＭＧより大きい。

• 　前節、
  　命題６ー１（同高の三角形、平行四辺形は底辺と比例）
  　命題５ー１４（同じ比の前(後)項の大等小）
  による。
• 　ＤＭ＞ＭＧ
  となっている。

そして
　ＡＣ上の正方形は
　　ＣＢ上の正方形と通約できる

• 　命題の設定による。
• 　正方(_ＡＣ)∩正方(_ＣＢ)
  となっている。

から、
　ＤＨも
　　ＫＬと通約できる。

• 　前節、 （１）による。
• 　矩形ＤＨ∩矩形ＫＬ
  となっている。

したがって
　ＤＫも
　　ＫＭと通約できる。

• 　前節、
  　命題６ー１（同高の三角形、平行四辺形は底辺と比例）
  　命題１０ー１１（４量比例で一方が通約なら他方も通約）
  による。
  
• 　ＤＫ∩ＫＭ
  となっている。

そして
　矩形ＤＫＭは
　　ＭＮ上の正方形に等しい。

• 　（１） （４）、
  　定義の補足３（命題６ー８）(比例中項)
  による。
• 　矩形(ＤＫＭ)＝正方(_ＭＮ)
  となっている。

したがって
　ＤＭ上の正方形は
　　ＭＧ上の正方形より
　　ＤＭと通約できる
　　線分上の正方形だけ大きい。

• 　前節、
  　命題１０ー１７（上の正方形の差が大と通約線分上の正方形⇔小の半分上の正方形に等しい大の矩形分割（コ）の辺は通約）
  による。
• 　正方(_ＤＭ)＝正方(_ＭＧ)＋正方(_Ｘ)
  　Ｘ∩ＤＭ
  となっている。

そして
　ＭＧは
　　ＤＥと長さにおいて通約できる。

• 　（５）による。
• 　ＭＧ∩ＤＥ
  となっている。

よって
　ＤＧは
　　第２の二項線分である。

• 　前節、前々節、
  　定義１０�Uー２（第２の二項線分）
  による。
• 　ＤＧ；第２の二項線分
  となっている。

• 命題１０ー６１は、
  　命題１０ー２７（作図.２中項線分;矩形が有理面積、平方でのみ通約）
  　により、
  　ＡＣ；有理線分、
  　ＣＢ；有理線分、∩^^2 ＡＣ、＜ＡＣ
  　矩形(ＡＣ、ＣＢ)；有理面積
  をとり、
  　命題の補足２（定義１０ー３）(作図.任意の有理線分)
  により、
  　ＤＥ；有理線分
  をとり、
  　命題１ー４５の補足２(作図.直線図形,線分,直線角と平行四辺形)
  により
  　矩形(ＤＥ、ＤＧ；＝正方(_ＡＢ))
  　矩形ＤＨ(ＤＥ、ＤＫ；＝正方(_ＡＣ)）、
  　矩形ＫＬ(ＤＥ、ＫＭ；＝正方(_ＢＣ)）
  　中点Ｎ(ＭＧ)
  をとると、
  　ＤＭ∩^^2 ＭＧ
  　ＤＭ、ＭＧ；有理線分
  　正方(_ＤＭ)＝正方(_ＭＧ)＋正方(_Ｘ)
  　Ｘ∩ＤＭ
  　ＭＧ∩ＤＥ
  となり、
  　ＤＧ；第２の二項線分
  のことである。
  
• 命題１０ー６１は推論用命題である。

  前提	作図・構成	推論
  定義		補3(題6-8),10-3補,補2(題10-23),補(題10-36),10�U-2
  公準
  公理
  命題	1-45補2,補2(義10-3),10-27	2-7,5-14,6-1,10-11,10-13,10-17,10-20,10-22
  その他

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