ユークリッド原論をどう読むか（１４）
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ユークリッド原論

第１０巻
　
命題１０ー２２（中項線分上正方形に等矩形で底辺有理線分なら幅は有理で非通約）
(作図.中項線分)
　中項線分上の正方形
　に等しい矩形が
　有理線分上につくられる
と、
　有理でかつ
　矩形の底辺と長さにおいて通約できない
　線分を幅
とする。

• 中項線分は、
  定義の補足（命題１０ー２１）による。
• 正方形・矩形は、
  定義１ー２２による。
• 等しいは、
  公理１ー７による。
• 有理線分は、
  定義１０ー３の補足による。
• 有理は、
  定義１０ー３による。
• 底辺は、
  定義の補足（命題１ー３５）による。
• 長さにおいて通約は、
  定義１０ー２の補足による。
• 幅は、
  定義の補足（命題１０ー２０）による。

　Ａを中項線分、
　ＣＢを有理線分
とし、
　ＢＣ上に
　Ａ上の正方形に等しくて
　ＣＤを幅とする
　矩形ＢＤがつくられた
とせよ。

• 　実際の作図は、以下の通り。
  　定められた線分をＵ
  とし、
  　命題の補足２（定義１０ー３）(作図.任意の有理線分)
  により、
  　Ａ'：有理線分
  をとり、
  　命題１０ー１０（作図.長さのみ・平方でも通約できない線分）
  により、
  　Ｂ'：∩^^2Ａ'
  をとり
  　命題６ー１３（作図.２線分の比例中項）
  により、
  　Ａ：比例中項(Ａ'：Ａ＝Ａ：Ｂ')
  をとると、
  　Ａ：中項線分
  となる。
  (以下。命題１０ー２２の補足 (作図.中項線分)という。)
  なぜなら、
  　命題１０ー１２（通約量と通約なら通約）
  により、
  　Ｂ'∩^^2Ｕ
  となり、
  　定義１０ー３の補足（有理線分）
  により、
  　Ｂ'：有理線分
  となり、
  　Ａ：比例中項(Ａ'：Ａ＝Ａ：Ｂ')
  をとると、
  　sq(_Ａ)＝rec(Ａ'、Ｂ')
  となり、
  　Ａ'、Ｂ'：有理線分、
  　Ｂ'∩^^2Ａ'、
  　定義の補足（命題１０ー２１）（中項線分）
  により、
  　Ａは中項線分となる
  ことによる。
  （以上、補足の証明）
  また、
  　命題１０ー１０（作図.長さのみ・平方でも通約できない線分）
  により、
  　Ｕと平方においてのみ通約できる
  　Ａ'、Ｂ'とは別の線分ＢＣをとる
  と、
  　定義１０ー３の補足（有理線分）
  により、
  　ＢＣ：有理線分
  となる。
  　命題１−４６（作図.線分上に正方形）
  により、
  　Ａ上の正方形をつくり、
  　命題１ー１１（作図・線分からの垂線）
  により、
  　ＣＤ'：⊥ＢＣ
  をとり、
  　命題１ー４５の補足２(作図.直線図形,線分,直線角と平行四辺形)
  により、
  　ＢＣ上で角ＢＣＤ'の中に、
  　rec(ＢＣ、ＣＤ)：＝sq(_Ａ)
  をとる。
  　この矩形において、
  　ＢＣ：底辺、ＣＤ：幅
  となる。
  
• 　Ａ：中項線分、
  　ＢＣ：有理線分、
  　rec(ＢＤ)＝rec(ＢＣ、ＣＤ)
  　＝sq(_Ａ)＝rec(Ａ'、Ｂ')
  となっている。

　ＣＤは
　有理線分でかつ
　ＣＢと長さにおいて通約できない
と主張する。

　Ａは中項線分である

• 　命題の設定による。
• 　Ａ：中項線分
  となっている。

から、
　その上の正方形は
　平方においてのみ通約できる
　有理線分にかこまれた面積に等しい。

• 　前節、
  　定義の補足（命題１０ー２１）（中項線分）
  による。
• 　作図の過程からは、
  　sq(_Ａ)＝rec(Ａ'、Ｂ')
  　Ａ'、Ｂ'：有理線分、
  　Ａ'∩^^2Ｂ'
  となっている。
  

　その上の正方形がＧＦに等しい
とせよ。
　　　　　　[......(ａ)]

• 　ＧＥ＝Ａ'、ＥＦ＝Ｂ'
  とすればよい。
  
• 　sq(_Ａ)＝rec(ＧＦ)＝rec(ＧＥ、ＥＦ)、
  　ＥＦ∩^^2ＥＧ
  　ＥＦ、ＧＥ：有理線分
  となっている。
  

ところが
　その上の正方形はＢＤとも等しい。

• 　命題の設定による。
• 　sq(_Ａ)＝rec(ＢＤ)
  となっている。
  

したがって
　ＢＤはＧＦに等しい。

• 　前節、前々節、
  　公理１ー１（同じものに等しい）
  による。
• 　rec(ＢＤ)＝rec(ＧＦ)
  となっている。
  

しかも
　それと等角でもある。

• 　定義１ー２２（正方形・矩形・菱形・長斜方形・トラペジオン） による。

ところで
　等しくてかつ
　互いに等角な平行四辺形の
　等しい角をはさむ辺は反比例する。

• 　命題６ー１４（等積で等角な平行四辺形と逆比例）
  による。

したがって
　ＢＣがＥＧに対するように、
　ＥＦがＣＤに対する。

• 　前節による。
• 　ＢＣ：ＥＧ＝ＥＦ：ＣＤ
  となっている。

それゆえ
　ＢＣ上の正方形が
　ＥＧ上の正方形に対するように、
　ＥＦ上の正方形が
　ＣＤ上の正方形に対する。

• 　前節、
  　命題６ー２２（４線分とその上の相似直線図形の比例）
  による。
• 　sq(_ＢＣ)：sq(_ＥＧ)＝sq(_ＥＦ)：sq(_ＣＤ)
  となっている。

ところが
　ＣＢ上の正方形は
　ＥＧ上の正方形と通約できる、
なぜなら
　それらの双方は有理線分である
から。

• 　命題の設定、 （ａ）
  　定義１０ー３の補足（有理線分） による。
• 　sq(_ＣＢ)∩sq(_ＥＧ)
  となっている。
  

したがって
　ＥＦ上の正方形も
　ＣＤ上の正方形と通約できる。

• 　前節、前々節、
  　命題１０ー１１（４量比例で一方が通約なら他方も通約）
  による。
• 　sq(_ＥＦ)∩sq(_ＣＤ)
  となっている。
  

ところが
　ＥＦ上の正方形は有理面積である。

• 　（ａ）、
  　定義１０ー４の補足（有理面積、無理面積）
  による。
  
• 　sq(_ＥＦ)は有理面積
  となっている。
  

ゆえに
　ＣＤ上の正方形も有理面積である。

• 　前節、前々節、
  　命題１０ー１２（通約量と通約なら通約）、
  　定義１０ー４の補足（有理面積、無理面積）
  による。
• 　sq(_ＣＤ)は有理面積
  となっている。
  

したがって
　ＣＤは有理線分である。
　　　　　　[......(１)]

• 　前節、
  　定義１０ー３の補足（有理線分）
  による。
• 　ＣＤ：有理線分
  となっている。
  

そして
　ＥＦは
　ＥＧと平方においてのみ通約できる

• 　（ａ）による。
• 　ＥＦ∩^^2ＥＧ、
  となっている。

から、
　長さにおいては通約できない。

• 　前節による。
• 　ＥＦ¬∩ＥＧ、
  となっている。

そして
　ＥＦがＥＧに対するように、
　ＥＦ上の正方形が矩形ＦＥ、ＥＧに対する

• 　命題１０ー２２助（２線分は一方の上の正方形と矩形に比例） による。
• 　ＥＦ：ＥＧ＝sq(_ＥＦ)：rec(ＦＥ、ＥＧ)
  となっている。

から、
　ＥＦ上の正方形は
　矩形ＦＥ、ＥＧと通約できない。

• 　前節、前々節、
  　命題１０ー１１（４量比例で一方が通約なら他方も通約）
  による。
• 　sq(_ＥＦ)¬∩rec(ＦＥ、ＥＧ)
  となっている。

ところが
　ＣＤ上の正方形は
　ＥＦ上の正方形と通約できる、
なぜなら
　平方において《有理な》［通約できる有理］線分である
から。

• 　（１）、 （ａ）、
  　定義１０ー３の補足（有理線分）
  による。
  
• 　sq(_ＣＤ)∩sq(_ＥＦ)
  となっている。

そして
　矩形ＤＣ、ＣＢは
　矩形ＦＥ、ＥＧと通約できる、
　共に
　Ａ上の正方形に等しい
から。

• 　命題の設定、 （ａ）、
  　定義１０ー１（通約） による。
• 　rec(ＤＣ、ＣＢ)∩rec(ＥＦ、ＥＧ)
  となっている。

したがって
　ＣＤ上の正方形も
　矩形ＤＣ、ＣＢと通約できない。

• 　前々節、前々々節、
  　命題１０ー１３（通約量と非通約なら非通約）
  により、
  　ＣＤ上の正方形は
  　矩形ＥＦ、ＥＧと通約できない
  から、
  　このことと、前節
  　命題１０ー１３（通約量と非通約なら非通約）
  による。
• 　sq(_ＣＤ)¬∩rec(ＤＣ、ＣＢ)
  となっている。 　

ところが
　ＣＤ上の正方形が
　矩形ＤＣ、ＣＢに対するように、
　ＤＣがＣＢに対する。

• 　命題１０ー２２助（２線分は一方の上の正方形と矩形に比例） による。
• 　sq(_ＣＤ)：rec(ＤＣ、ＣＢ)
  　＝ＤＣ：ＣＢ
  となっている。

したがって
　ＤＣはＣＢと長さにおいて通約できない。

• 　前節、前々節による。
• 　ＤＣ¬∩ＣＢ
  となっている。

それゆえ
　ＣＤは
　有理線分でかつ
　ＣＢと長さにおいて通約できない。

• 　（１）、 前節による。
• 　ＣＤ：有理線分、
  　ＣＤ¬∩ＣＢ
  となっている。

　これが証明すべきことであった。

• 命題１０ー２２は、
  　Ｍ：中項線分、Ａ：有理線分
  に対し、
  　線分Ｂが、
  　Ａ×Ｂ＝Ｍ^2
  ならば、
  　Ｂ：有理線分、
  　Ａ¬∩Ｂ
  のことである。
• 命題１０ー２２の補足 (作図.中項線分)

  前提	作図	推論
  定義		10-3補,補(題10-21)
  公準
  公理
  命題	6-13,補2(義10-3),10-10	10-12
  その他

• 命題１０ー２２は推論用命題である。

  前提	作図・構成	推論
  定義		1-22,10-1,10-3補,10-4補,補(題10-21)
  公準
  公理		1-1
  命題	1-11,1-45補2,1-46,6-13, 補2(義10-3),10-10	6-14,6-22,10-11,10-12,10-22助
  その他

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