ユークリッド原論をどう読むか（１６）
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ユークリッド原論

第１０巻
　
命題１０ー９９（第２の中項余線分上の正方形は有理線分上の矩形なら幅は第３の余線分）
　　第２の中項余線分の上の正方形
　　　に等しい
　矩形が
　　有理線分上に
　　　つくられる
ならば，
　　第３の余線分を幅
　　　とする。

• 第２の中項余線分は、
  定義の補足（命題１０ー７５）による。
• 正方形は、
  定義１ー２２による。
• 等しいは、
  公理１ー７による。
• 矩形は、
  定義１ー２２による。
• 有理線分は、
  定義１０ー３の補足による。
• 第３の余線分は、
  定義１０�Vー３による。
• 幅は、
  定義の補足（命題１０ー２０）による。

　　ＡＢを第２の中項余線分
　　　とし，
　　ＣＤを有理線分
　　　とし，
　　ＡＢ上の正方形
　　　に等しく
　　ＣＤ上にＣＦを幅
　　　とする
　矩形ＣＥが
　　　つくられた
とせよ。

• 　命題１０ー２８（作図.２中項線分;矩形が中項面積、平方でのみ通約）
  　命題の補足２（定義１０ー３）(作図.任意の有理線分)、
  　命題６ー１６の補足３(作図.線分上に矩形と等しい矩形)
  による。
• 　ＡＢ；第２の中項余線分、
  　　ＡＧ；中項線分、
  　　ＢＧ；中項線分、∩^^2 ＡＧ、
  　　矩形(ＡＧ、ＧＢ)；中項面積、
  　ＣＤ；有理線分、
  　点Ｆ(；矩形(ＣＤ、ＣＦ)＝正方(_ＡＢ)）
  となっている。

　ＣＦは
　　第３の余線分
　　　である
と主張する。

　　ＢＧをＡＢへの付加
とせよ。

• 　前節
  による。
• 　ＡＢ；第２の中項余線分、
  　　ＡＧ；中項線分、
  　　ＢＧ；中項線分、∩^^2 ＡＧ、
  　　矩形(ＡＧ、ＧＢ)；中項面積、
  となっている。

そうすれば
　ＡＧ,ＧＢは
　　中項面積を
　　　かこみ，
　　平方においてのみ通約
　　　できる
　　中項線分
　　　である。
　　　　[......(２)]

• 　前節、
  　定義の補足（命題１０ー７５）(第２の中項余線分)
  による。
• 　矩形(ＡＧ、ＧＢ)；中項面積、
  　ＡＧ∩^^2 ＧＢ、
  　ＡＧ、ＧＢ；中項面積
  となっている。

そして
　　ＡＧ上の正方形
　　　に等しく
　　ＣＤ上にＣＫを幅
　　　とする
　矩形ＣＨが
　　　つくられ，
　　ＢＧ上の正方形
　　　に等しく
　　ＫＨ上にＫＭを幅
　　　とする
　矩形ＫＬが
　　　つくられた
とせよ。
　　　　[......(１)]

• 　命題６ー１６の補足３(作図.線分上に矩形と等しい矩形)
  による。
• 　矩形ＣＨ(ＣＤ、ＣＫ)＝正方(_ＡＧ)、
  　矩形ＫＬ(ＫＨ、ＫＭ)＝正方(_ＢＧ)
  となっている。

そうすれば
　ＣＬ全体は
　　ＡＧ,ＧＢの正方形の和
　　　に等しい。
　　　　[......(３)]

• 　前節
  による。
• 　矩形ＣＬ＝正方(_ＡＧ)＋正方(_ＧＢ)
  となっている。

ゆえに
　ＣＬも
　　中項面積
　　　である。

• 　前節、 （２）、
  　命題１０ー２３の補足５(平方で通約の中項線分の平方和は中項面積)
  　命題１０ー２３の系(中項面積と通約なら中項面積)
  による。
• 　矩形ＣＬ；中項面積
  となっている。

そして
　　有理線分ＣＤ上に
　　ＣＭを幅
　　　としてつくられた。

• 　（１）
  による。
• 　矩形ＣＬ(ＣＤ、ＣＭ)
  となっている。

したがって
　ＣＭは
　　有理線分
　　　であり
　　ＣＤと長さにおいて通約
　　　できない。
　　　　[......(５)]

• 　前節、
  　命題１０ー２２（中項線分上正方形に等矩形で底辺有理線分なら幅は有理で非通約）
  による。
• 　ＣＭ；有理線分、
  　ＣＭ¬∩ＣＤ
  となっている。

そして
　全体は
　　ＡＧ,ＧＢ上の正方形の和
　　　に等しく，
　そのうち
　ＣＥは
　　ＡＢ上の正方形
　　　に等しい

• 　命題の設定、 （１）
  による。
• 　矩形ＣＬ＝正方(_ＡＧ)＋正方(_ＧＢ)、
  　矩形ＣＥ＝正方(_ＡＢ)
  となっている。

から，
　残りのＬＦは
　　矩形ＡＧ,ＧＢの２倍
　　　に等しい。
　　　　[......(４)]

• 　前節、
  　命題２ー７（差の平方）
  による。
• 　矩形ＬＦ＝２矩形(ＡＧ、ＧＢ)
  となっている。

そこで
　ＦＭが
　　点Ｎで２等分
　　　され，
　　ＣＤに平行に
　ＮＯが
　　　ひかれた
とせよ。
　　　　[......(８)]

• 　命題１ー１０（作図・線分の２等分）
  　命題１ー３１（作図・平行線）
  による。
• 　中点Ｎ(ＦＭ)、
  　交点Ｏ(ＤＬ、平行線(Ｎ、ＣＤ))
  となっている。

そうすれば
　ＦＯ,ＮＬの双方は
　　矩形ＡＧ,ＧＢ
　　　に等しい。
　　　　[......(７)]

• 　前節、前々節
  による。
• 　矩形ＦＯ＝矩形ＮＬ
  　　＝矩形(ＡＧ、ＧＢ)
  となっている。

ところが
　矩形ＡＧ,ＧＢは
　　中項面積
　　　である。

• 　（２）
  による。
• 　矩形(ＡＧ、ＧＢ)＝中項面積
  となっている。

ゆえに
　ＦＬも
　　中項面積
　　　である。

• 　前節、前々節
  による。
• 　矩形ＦＬ；中項面積
  となっている。

そして
　　有理線分ＥＦ上に
　　ＦＭを幅
　　　としてつくられている。

• 　（１）
  による。
• 　矩形ＦＬ(ＥＦ、ＦＭ)
  となっている。

したがって
　ＦＭも
　　有理線分
　　　であり
　　ＣＤと長さにおいて通約
　　　できない。
　　　　　[......(６)]

• 　前節、 命題の設定、
  　命題１０ー２２（中項線分上正方形に等矩形で底辺有理線分なら幅は有理で非通約）
  による。
• 　ＦＭ；有理線分、
  　　¬∩ＣＤ
  となっている。

そして
　ＡＧ,ＧＢは
　　平方においてのみ通約
　　　できる

• 　（２）
  による。
• 　ＡＧ∩^^2 ＧＢ

から，
　ＡＧは
　　ＧＢと長さにおいて通約
　　　できない。

• 　前節、
  　定義１０ー２の補足（長さにおいて通約）
  による。
• 　ＡＧ¬∩ＧＢ
  となっている。

ゆえに
　ＡＧ上の正方形も
　　矩形ＡＧ,ＧＢと通約
　　　できない。

• 　前節、 　命題１０ー２２助（２線分は一方の上の正方形と両者の矩形に比例）
  　命題１０ー１１（４量比例で一方が通約なら他方も通約）
  による。
• 　正方(_ＡＧ)¬∩矩形(ＡＧ、ＧＢ)
  となっている。

ところが
　ＡＧ,ＧＢ上の正方形の和は
　　ＡＧ上の正方形と，
　矩形ＡＧ,ＧＢの２倍は
　　矩形ＡＧ,ＧＢと通約
　　　できる。

• 　（２）
  　命題１０ー１５（通約量はその和・差とも通約）
  による。
• 　正方(_ＡＧ)＋正方(_ＧＢ)∩正方(_ＡＧ)、
  　２矩形(ＡＧ、ＧＢ)∩矩形(ＡＧ、ＧＢ)
  となっている。

したがって
　ＡＧ,ＧＢ上の正方形の和は
　　矩形ＡＧ,ＧＢの２倍と通約
　　　できない。

• 　前節、前々節、
  　命題１０ー１３（通約量と非通約なら非通約）
  による。
• 　正方(_ＡＧ)＋正方(_ＧＢ)¬∩２矩形(ＡＧ、ＧＢ)
  となっている。

ところが
　ＣＬは
　　ＡＧ,ＧＢ上の正方形
　　　に等しく
　ＦＬは
　　矩形ＡＧ,ＧＢの２倍
　　　に等しい。

• 　（３）、 （４）
  による。
• 　矩形ＣＬ＝正方(_ＡＧ)＋正方(_ＧＢ)、
  　矩形ＦＬ＝２矩形(ＡＧ、ＧＢ)
  となっている。

それゆえ
　ＣＬは
　　ＦＬと通約
　　　できない。

• 　前節、前々節、
  　命題１０ー１３（通約量と非通約なら非通約）
  による。
• 　矩形ＣＬ¬∩矩形ＦＬ
  となっている。

ところが
　ＣＬが
　　ＦＬに対するように，
　ＣＭが
　　ＦＭに
　　　対する。

• 　命題の設定、 （１）、
  　命題６ー１（同高の三角形、平行四辺形は底辺と比例）
  による。
• 　矩形ＣＬ：矩形ＦＬ＝ＣＭ：ＦＭ
  となっている。

したがって
　ＣＭは
　　ＦＭと長さにおいて通約
　　　できない。

• 　前節、前々節、
  　命題１０ー１３（通約量と非通約なら非通約）
  による。
• 　ＣＭ¬∩ＦＭ
  となっている。

そして
　両方とも
　　有理線分
　　　である。

• 　（５） （６）
  による。
• 　ＣＭ、ＦＭ；有理線分
  となっている。

ゆえに
　ＣＭ,ＭＦは
　　平方においてのみ通約
　　　できる
　　有理線分
　　　である。

• 　前節、前々節、
  　定義の補足（命題１０ー１９助）(平方においてのみ通約)
  による。
• 　ＣＭ、ＦＭ；有理線分、
  　ＣＭ∩^^2 ＭＦ
  となっている。

したがって
　ＣＦは
　　余線分
　　　である。
　　　　[......(９)]

• 　前節、
  　定義の補足(命題１０ー７３)(余線分)
  による。
• 　ＣＦ；余線分
  となっている。

次に
　　第３の余線分
　　　でもある
と主張する。

　ＡＧ上の正方形は
　　ＧＢ上の正方形と通約
　　　できる

• 　（２）、
  　定義の補足（命題１０ー１９助）(平方においてのみ通約)
  による。
• 　正方(_ＡＧ)∩正方(_ＧＢ)
  となっている。

から，
　ＣＨも
　　ＫＬと通約
　　　できる。

• 　前節、 （１）、
  　命題１０ー１２（通約量と通約なら通約）
  による。
• 　ＣＨ∩ＫＬ
  となっている。

したがって
　ＣＫも
　　ＫＭと通約
　　　できる。
　　　　[......(１０)]

• 　前節、 （１）、
  　命題６ー１（同高の三角形、平行四辺形は底辺と比例）
  による。
• 　ＣＫ∩ＫＭ
  となっている。

そして
　矩形ＡＧ,ＧＢは
　　ＡＧ,ＧＢ上の正方形の比例中項
　　　であり，
　ＣＨは
　　ＡＧ上の正方形
　　　に等しく，
　ＫＬは
　　ＧＢ上の正方形
　　　に等しく，
　ＮＬは
　　矩形ＡＧ,ＧＢ
　　　に等しい

• 　（１）、 （７）、
  　命題１０ー２２助（２線分は一方の上の正方形と両者の矩形に比例）
  、定義の補足３（命題６ー８）(比例中項)
  による。
• 　矩形(ＡＧ、ＧＢ)＝比例中項(正方(_ＡＧ)、正方(_ＧＢ))、
  　矩形ＣＨ＝正方(_ＡＧ)、
  　矩形ＫＬ＝正方(_ＧＢ)、
  　矩形ＮＬ＝矩形(ＡＧ、ＧＢ)
  となっている。

から，
　ＮＬも
　　ＣＨ,ＫＬの比例中項
　　　である。

• 　前節、
  　命題６ー１７の補足２(等しいものの比例中項は等しい)
  による。
• 　矩形ＮＬ＝比例中項(矩形ＣＨ、矩形ＫＬ)
  となっている。

したがって
　ＣＨが
　　ＮＬに対するように，
　ＮＬが
　　ＫＬに
　　　対する。

• 　前節、
  　定義の補足３（命題６ー８）(比例中項)
  による。
• 　矩形ＣＨ：矩形ＮＬ＝矩形ＮＬ：矩形ＫＬ
  となっている。

ところが
　ＣＨが
　　ＮＬに対するように，
　ＣＫが
　　ＮＭに
　　　対し，
　ＮＬが
　　ＫＬに対するように，
　ＮＭが
　　ＫＭに
　　　対する。

• 　（８）、
  　命題６ー１（同高の三角形、平行四辺形は底辺と比例）
  による。
• 　矩形ＣＨ：矩形ＮＬ＝ＣＫ：ＮＭ、
  　矩形ＮＬ：矩形ＫＬ＝ＮＭ：ＫＭ
  となっている。

それゆえ
　ＣＫが
　　ＭＮに対するように，
　ＭＮが
　　ＫＭに
　　　対する。

• 　前節、前々節、
  　命題５ー１１（同一の比に同じ比）
  による。
• 　ＣＫ：ＭＮ＝ＭＮ：ＫＭ
  となっている。

それゆえ
　矩形ＣＫ,ＫＭは
　　ＦＭ上の正方形の４分の１
　　　に等しい。

• 　前節、 （８）
  　命題６ー１７（比例３線分と外項矩形、中項正方形）
  による。
• 　矩形(ＣＫ、ＫＭ)＝１／４ 正方(_ＦＭ)
  となっている。

そこで
　ＣＭ,ＭＦは
　　不等な２線分
　　　であり，
　　ＦＭ上の正方形の４分の１
　　　に等しくて
　　正方形だけ
　　　欠けている
　矩形が
　　ＣＭ上に
　　　つくられ，
　　それを通約
　　　できる
　　二つの部分に
　　　分ける

• 　前節、 命題の設定、 （１）、 （８）、 （１０）、
  　命題６ー１（同高の三角形、平行四辺形は底辺と比例）
  による。
• 　ＣＭ≠ＭＦ
  　矩形(ＣＫ、ＫＭ)＝１／４ 正方(_ＦＭ)
  　ＣＫ∩ＫＭ
  となっている。

から
　ＣＭ上の正方形は
　　ＭＦ上の正方形より
　　ＣＭと通約
　　　できる
　　線分上の正方形だけ
　　　大きい。

• 　前節、
  　命題１０ー１７（上の正方形の差が大と通約線分上の正方形⇔小の半分上の正方形に等しい大の矩形分割（コ）の辺は通約）
  による。
• 　正方(_ＣＭ)＝正方(_ＭＦ)＋正方(_Ｘ)
  　ＣＭ∩Ｘ
  となっている。

そして
　ＣＭ,ＭＦのいずれも
　　　定められた
　　有理線分ＣＤと
　　長さにおいて通約
　　　できない。

• 　（５） （６）
  による。
• 　ＣＭ、ＭＦ¬∩ＣＤ
  となっている。

それゆえ
　ＣＦは
　　第３の余線分
　　　である。

• 　前節、前々節、 （９）
  による。
• 　ＣＦ；第３の余線分
  となっている。

よって
　　第２の中項余線分の上の正方形
　　　に等しい
　矩形が
　　有理線分上に
　　　つくられる
ならば，
　　第３の余線分を幅
　　　とする。

• 　前節
  による。

これが証明すべきことであった。

• 命題１０ー９９は、
  　命題１０ー２８（作図.２中項線分;矩形が中項面積、平方でのみ通約）
  　命題の補足２（定義１０ー３）(作図.任意の有理線分)、
  　命題６ー１６の補足３(作図.線分上に矩形と等しい矩形)
  により、
  　ＡＢ；第２の中項余線分、
  　　ＡＧ；中項線分、
  　　ＢＧ；中項線分、∩^^2 ＡＧ、
  　　矩形(ＡＧ、ＧＢ)；中項面積、
  　ＣＤ；有理線分、
  　点Ｆ(；矩形(ＣＤ、ＣＦ)＝正方(_ＡＢ)）
  をとり、
  　命題６ー１６の補足３(作図.線分上に矩形と等しい矩形)
  により、
  　矩形ＣＨ(ＣＤ、ＣＫ)＝正方(_ＡＧ)
  　矩形ＫＬ(ＣＤ、ＫＭ)＝正方(_ＧＢ)
  をとり、
  　命題１ー１０（作図・線分の２等分）、
  　命題１ー３１（作図・平行線）
  　命題１ー３０の補足(交線に平行な線)
  により、
  　中点Ｎ(ＦＭ)、
  　交点Ｏ(平行線(Ｎ、ＣＤ)、ＤＬ)
  をとると、
  　ＦＭ、ＣＭ¬∩ＣＤ；有理線分
  　正方(_ＣＭ)＝正方(_ＭＦ)＋正方(_Ｘ)
  　Ｘ∩ＣＭ
  となり、
  　ＣＦ；第３の余線分
  のことである。
  
• 命題１０ー９９は推論用命題である。

  前提	作図・構成	推論
  定義		補3(題6-8),10-2補,補(題10-19助),補(題10-73),補(題10-75)
  公準
  公理
  命題	1-10,1-31,6-16補3,補2(義10-3),10-28	2-7,5-11,6-1,6-17,6-17補2,10-11,10-12,10-13,10-15,10-17,10-22助,10-22,10-23系,10-23補5
  その他

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