ユークリッド原論をどう読むか（１５）
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ユークリッド原論
第１０-2巻
□定義Ⅱ
定義１０Ⅱー１（第１の二項線分）
有理線分［Ｄ］と，
ニつの項に分けられたニ項線分［ＡＣＢ］
とが定められ、
そのニ項線分の大きい項［ＡＣ］
の上の正方形が
小さい項［ＣＢ］の上の正方形より，
大きい項と長さにおいて通約できる
線分［ＡＫ］上の正方形だけ大きい
とき，
もし
大きい項［ＡＣ］が
定められた有理線分［Ｄ］
と長さにおいて通約できる
ならば，
第１のニ項線分とよばれる
とせよ。
-
Ｄ；定められた有理線分、
Ｃ(ＡＢ;ＡＣ、ＣＢ；有理線分、ＡＣ∩^^2ＣＢ、
正方(_ＡＣ)＝正方(_ＣＢ)＋正方(_ＡＫ)、
ＡＣ∩ＡＫ、ＡＣ∩Ｄ)
となっている。
-
定義の補足（命題１０ー３６）(二項線分)
により、
二項線分は
平方においてのみ通約できる
二つの有理線分の和(無理線分)
である。
定義１０ー３の補足（有理線分）
により、
任意の２つの有理線分は、
最初に指定された有理な線分、
と
長さにおいて、
または
平方において通約できる線分である。
よって、
二項線分を構成する
２つの有理線分は
長さにおいて通約できず、
定義１０ー１（通約）
により、
等しくない
ので、
公理１ー７の補足（線分・角は大か等か小）
により
一方が大きく、
他方が小さい。
２つの有理線分の差を
二項線分を小さい方に延長して
とれば、
命題２ー５（線分の矩形分割）
により、
大きい方の正方形と
小さい方の正方形との
差は、
両者の和と差による矩形となり、
命題２ー１４（作図.直線図形に等しい正方形）
によって、
両者の差に等しい正方形を
作ることができる
この正方形の一辺と、
大きい方の有理線分について、
命題１０ー２（互除で常に余るなら非通約）
の操作が有限回で終わる
ならば、
この正方形の一辺は
大きい方の有理線分と通約でき、
定義１０Ⅱー１、
２、
３に対応する。
有限回で終わらない
ならば、
この正方形の一辺は
大きい方の有理線分と通約できず、
定義１０Ⅱー４、
５、
６に対応する。
-
さらに、
指定された有理線分と
大きい項が
長さにおいて通約できる
ならば、
第１の二項線分という。
もちろん
差も
指定された有理線分と
長さにおいて通約できる。
定義１０Ⅱー２（第２の二項線分）
［ 有理線分Ｄと，
ニつの項に分けられたニ項線分ＡＣＢ
とが定められ、
そのニ項線分の大きい項ＡＣ
の上の正方形が
小さい項ＣＢの上の正方形より，
大きい項と長さにおいて通約できる
線分ＡＫ上の正方形だけ大きい
とき，］
もし
小さい項［ＣＢ］が
定められた有理線分［Ｄ］
と長さにおいて通約できる
ならば，
第２のニ項線分とよばれる
とせよ。
-
Ｄ；定められた有理線分、
Ｃ(ＡＢ;ＡＣ、ＣＢ；有理線分、ＡＣ∩^^2ＣＢ、
正方(_ＡＣ)＝正方(_ＣＢ)＋正方(_ＡＫ)、
ＡＣ∩ＡＫ、ＣＢ∩Ｄ)
となっている。
-
指定された有理線分と
小さい項が
長さにおいて通約できる
ならば、
第２の二項線分という。
もちろん
大きい項、差は
指定された有理線分と
長さにおいて通約できない。
定義１０Ⅱー３（第３の二項線分）
［ 有理線分Ｄと，
ニつの項に分けられたニ項線分ＡＣＢ
とが定められ、
そのニ項線分の大きい項ＡＣ
の上の正方形が
小さい項ＣＢの上の正方形より，
大きい項と長さにおいて通約できる
線分ＡＫ上の正方形だけ大きい
とき，］
もし
いずれの項［ＡＣ、ＣＢ］も
定められた有理線分［Ｄ］
と長さにおいて通約できない
ならば，
第３のニ項線分とよばれる
とせよ。
-
Ｄ；定められた有理線分、
Ｃ(ＡＢ;ＡＣ、ＣＢ；有理線分、ＡＣ∩^^2ＣＢ、
正方(_ＡＣ)＝正方(_ＣＢ)＋正方(_ＡＫ)、
ＡＣ∩ＡＫ、Ｄ￢∩ＡＣ、ＣＢ)
となっている。
-
指定された有理線分と
２項とも
長さにおいて通約できない
ならば、
第３の二項線分という。
もちろん
差も
指定された有理線分と
長さにおいて通約できない。
定義１０Ⅱー４（第４の二項線分）
さらに
［ 有理線分Ｄと，
ニつの項に分けられたニ項線分ＡＣＢ
とが定められ］、
もし
［そのニ項線分の］
大きい項［ＡＣ］の上の正方形が
小さい項［ＣＢ］の上の正方形より，
大きい項と長さにおいて通約
できない線分［Ｋ］上の正方形だけ大きく，
もし
大きい項［ＡＣ］が
定められた有理線分［Ｄ］
と長さにおいて通約できる
ならば，
第４のニ項線分とよぱれる
とせよ。
-
Ｄ；定められた有理線分、
Ｃ(ＡＢ;ＡＣ、ＣＢ；有理線分、ＡＣ∩^^2ＣＢ、
正方(_ＡＣ)＝正方(_ＣＢ)＋正方(_Ｋ)、
ＡＣ￢∩Ｋ、ＡＣ∩Ｄ)
となっている。
-
二項線分を構成する
２つの有理線分の差を
二項線分を小さい方に延長して
とれば、
命題２ー５（線分の矩形分割）
により、
大きい方の正方形と
小さい方の正方形との
差は、
両者の和と差による矩形となり、
命題２ー１４（作図.直線図形に等しい正方形）
によって、
両者の差に等しい正方形を
作ることができる
この正方形の一辺と、
大きい方の有理線分について、
命題１０ー２（互除で常に余るなら非通約）
の操作が有限回で終わらない
とき、
この正方形の一辺は
大きい方の有理線分と通約できず、
定義１０Ⅱー４、
５、
６に対応する。
-
さらに、
指定された有理線分と
大きい項が
長さにおいて通約できる
ならば、
第４の二項線分という。
もちろん
小さい項、差は
指定された有理線分と
長さにおいて通約できない。
場合によっては、
差が
小さい項と
長さにおいて通約できることがある。
定義１０Ⅱー５（第５の二項線分）
［ 有理線分Ｄと，
ニつの項に分けられたニ項線分ＡＣＢ
とが定められ、
もし
そのニ項線分の
大きい項ＡＣの上の正方形が
小さい項ＣＢの上の正方形より，
大きい項と長さにおいて通約
できない線分Ｋ上の正方形だけ大きく，］
もし
小さい項［ＣＢ］が
［ 定められた有理線分Ｄ
と長さにおいて］通約できる
ならば，
第５のニ項線分とよばれる
とせよ。
-
Ｄ；定められた有理線分、
Ｃ(ＡＢ;ＡＣ、ＣＢ；有理線分、ＡＣ∩^^2ＣＢ、
正方(_ＡＣ)＝正方(_ＣＢ)＋正方(_Ｋ)、
ＡＣ￢∩Ｋ、ＣＢ∩Ｄ)
となっている。
-
指定された有理線分と
小さい項が
長さにおいて通約できる
ならば、
第５の二項線分という。
もちろん
大きい項は
指定された有理線分と
長さにおいて通約できない。
場合によっては、
差が
小さい項と、
したがって、
指定された有理線分と
長さにおいて通約できることがある。
定義１０Ⅱー６（第６のニ項線分）
［ 有理線分Ｄと，
ニつの項に分けられたニ項線分ＡＣＢ
とが定められ、
もし
そのニ項線分の
大きい項ＡＣの上の正方形が
小さい項ＣＢの上の正方形より，
大きい項と長さにおいて通約
できない線分Ｋ上の正方形だけ大きく，］
もし
いずれの項［ＡＣ、ＣＢ］も
［ 定められた有理線分Ｄ
と長さにおいて］通約できない
ならば，
第６のニ項線分とよばれる
とせよ。
-
Ｄ；定められた有理線分、
Ｃ(ＡＢ;ＡＣ、ＣＢ；有理線分、ＡＣ∩^^2ＣＢ、
正方(_ＡＣ)＝正方(_ＣＢ)＋正方(_Ｋ)、
ＡＣ￢∩Ｋ、Ｄ￢∩ＡＣ、ＣＢ)
となっている。
-
指定された有理線分と
２項とも
長さにおいて通約できない
ならば、
第６の二項線分という。
場合によっては、
差は
指定された有理線分と
長さにおいて通約できることがある。
もちろん
できないこともある。
その場合、
小さい項と
長さにおいて通約できることもある。
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