ユークリッド原論をどう読むか(14)
頁末          目次

ユークリッド原論

第10巻
 
命題10ー33(作図.2線分;平方で非通約、平方和が有理面積、矩形が中項面積)

 平方において通約できないで、
 それらの上の正方形の和を有理面積とし、
 それらによってかこまれる矩形中項面積とする
 2線分を見いだす
こと。




 平方においてのみ通約できる
 二つの有理線分AB、BC
が定められ、
 大きい線分AB上の正方形
 小さい線分BC上の正方形より
 ABと通約できない線分上の正方形だけ大きい
とし、

 BCがDにおいて2等分され、
      [......(a)]

 BD、DCのいずれかの上の正方形等しく
 正方形だけ欠けている平行四辺形
 AB上につくられ、
 それを矩形AE、EB
とし、
      [......(b)]

 AB上に半円AFBが描かれ、

 ABに直角にEFがひかれ、

 AF、FBが結ばれた
とせよ。

 そうすれば
 AB、BCは不等な2線分であり、
 AB上の正方形はBC上の正方形より
 ABと通約できない線分上の正方形だけ大きく、

 BC上の正方形の4分の1
すなわち
 BCの半分の上の正方形等しく
 正方形だけ欠けている平行四辺形
 AB上に描かれ、
 それを矩形AE、EB

とするから、
 AEはEBと通約できない。


そして
 AEがEBに対するように
 矩形BA、AEが矩形AB、BEに対し

 矩形BA、AEはAF上の正方形に、
 矩形AB、BEはBF上の正方形等しい

したがって
 AF上の正方形はFB上の正方形通約できない。

したがって
 AF、FBは平方において通約できない。
      [......(1)]

そして
 ABは有理線分である

から、
 AB上の正方形有理面積である。

したがって
 AF、FB上の正方形の和も有理面積である。
      [......(1)]

そしてまた
 矩形AE、EBはEF上の正方形等しく

他方
 矩形AE、EB《も》[は、また]BD上の正方形等しいと仮定される

から、
 FEはBDに等しい

したがって
 BCはFEの2である。

したがって
 矩形AB、BCも矩形AB、EFと通約できる。

ところが
 矩形AB、BCは中項面積である。

したがって
 矩形AB、EFも中項面積である。

そして
 矩形AB、EFは矩形AF、FBに等しい

したがって
 矩形AF、FBも中項面積である。

そして
 それらの上の正方形の和が有理面積である
ことも先に証明された。

よって
 平方において通約できないで、
 それらの上の正方形の和を有理面積
とし、
 それらによってかこまれる矩形中項面積とする、
 2線分AF、FBが見いだされた。

これが証明すべきことであった。       目次   頁頭