ユークリッド原論をどう読むか(14)
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ユークリッド原論
第10巻
命題10ー33
(作図.2線分;平方で非通約、平方和が有理面積、矩形が中項面積)
平方において通約
できないで、
それらの上の
正方形
の和を
有理面積
とし、
それらによって
かこまれる
矩形
を
中項面積
とする
2
線分
を見いだす
こと。
平方において通約は、
定義10ー2
による。
正方形は、
定義1ー22
による。
有理面積は、
定義10ー4
の補足による。
かこまれるは、
定義2ー1
による。
矩形は、
定義1ー22
による。
中項面積は、
定義の補足2(命題10ー23)
による。
線分は、
定義の補足(命題1ー1)
による。
平方においてのみ通約
できる
二つの
有理線分
AB、BC
が定められ、
大きい
線分
AB上の
正方形
が
小さい
線分
BC上の
正方形
より
ABと
通約
できない
線分
上の
正方形
だけ
大きい
とし、
命題10ー30
(作図.平方のみ通約で、平方差が大きい方と長さ非通約の平方となる2有理線分)
による。
AB、BC;有理線分、
AB∩^^2BC、
Z;AB¬∩Z、
sq(_AB)
=sq(_BC)+sq(_Z)
としている。
BCがDにおいて
2等分
され、
[......(a)]
命題1ー10
(作図・線分の2等分)
による。
D;D∈BC、
BD=DC
としている。
BD、DCのいずれかの上の
正方形
に
等しく
て
正方形
だけ欠けている
平行四辺形
が
AB上につくられ、
それを
矩形
AE、EB
とし、
[......(b)]
命題6ー28
(作図.直線図形に等しく、相似な平行四辺形を欠く平行四辺形)
による。
E;E∈AB、
rec(AE、EB)=sq(_BD)
としている。
AB上に
半円
AFBが描かれ、
命題10ー14補助の補足 (作図.線分上に半円)
による。
AFB;半円
としている。
ABに
直角
にEFがひかれ、
公準1ー1の補足
(作図.任意の点をとる)
により、
線分AB上にE
をとり、
命題1ー11
(作図・線分からの垂線)
により、
Eを通り、ABに垂直な直線
をとると、
命題3−2の補足
(円内通過直線は円周と2交点)
により
半円の円周と1点
で交わる。
その点をF
とし、溯って用いている。
E;E∈AB、
F;F∈半円の円周
EF⊥AB
となっている。
AF、FBが結ばれた
とせよ。
公準1ー1
(作図.直線)
による。
そうすれば
AB、BCは
不等
な2
線分
であり、
AB上の
正方形
はBC上の
正方形
より
ABと
通約
できない
線分
上の
正方形
だけ大きく、
命題の設定
による。
AB、BC;有理線分、
AB∩^^2BC、
Z;AB¬∩Z、
sq(_AB)
=sq(_BC)+sq(_Z)
となっている。
BC上の
正方形
の4
分の1
、
すなわち
BCの
半分
の上の
正方形
に
等しく
て
正方形
だけ欠けている
平行四辺形
が
AB上に描かれ、
それを
矩形
AE、EB
(b)
による。
E∈AB、
rec(AE、EB)=sq(_BD)
=sq(_BC)/4
となっている。
とするから、
AEはEBと
通約
できない。
前節、前々節、
命題10ー18
(上の正方形の差が大と非通約線分上の正方形⇔小の半分上の正方形に等しい大の矩形分割(コ)の辺は非通約)
による。
AE¬∩EB
となっている。
そして
AEがEBに
対するように
、
矩形
BA、AEが
矩形
AB、BEに
対し
、
命題6ー1
(同高の三角形、平行四辺形は底辺と比例)
による。
AE:EB=rec(BA、AE):rec(AB、BE)
となっている。
矩形
BA、AEはAF上の
正方形
に、
矩形
AB、BEはBF上の
正方形
に
等しい
。
命題10ー33補助
(直角三角形の垂線の足による矩形と辺上の正方形)
による。
rec(BA、AE)=sq(_AF)
rec(AB、BE)=sq(_BF)
となっている。
したがって
AF上の
正方形
はFB上の
正方形
と
通約
できない。
前節、
命題5ー7
(同一量の比)
により、
rec(BA、AE):rec(AB、BE)
=sq(_AF):sq(_BF)
となり、
前々節、
命題5ー11
(同一の比に同じ比)
により、
AE:EB=sq(_AF):sq(_BF)
となり、
前々々節
命題10ー11
(4量比例で一方が通約なら他方も通約)
による。
sq(_AF)¬∩sq(_BF)
となっている。
したがって
AF、FBは
平方において通約
できない。
[......(1)]
前節、
定義10ー2
(平方において通約)
による。
AF¬∩^2FB
となっている。
そして
ABは
有理線分
である
命題の設定
による。
AB;有理線分
となっている。
から、
AB上の
正方形
も
有理面積
である。
前節、
定義10ー4の補足
(有理面積、無理面積)
による。
sq(_AB);有理面積
となっている。
したがって
AF、FB上の
正方形
の和も
有理面積
である。
[......(1)]
命題1−47(三平方の定理)
により、
sq(_AF)+sq(_FB)=sq(_AB)
となっており、
命題の補足(定義10ー1)
(等しい、倍量、約量と通約)
による。
sq(_AF)+sq(_FB);有理面積
となっている。
そしてまた
矩形
AE、EBはEF上の
正方形
に
等しく
、
命題10ー33補助
(直角三角形の垂線の足による矩形と辺上の正方形)
による。
rec(AE、EB)=sq(_EF)
となっている。
他方
矩形
AE、EB《も》[は、また]BD上の
正方形
に
等しい
と仮定される
(b)
による。
rec(AE、EB)=sq(_BD)
となっている。
から、
FEはBDに
等しい
。
前節、前々節
により、
sq(_FE)=sq(_BD)
となり、
命題1−48の補足
(正方形の大等小と辺の大等小)
による。
FE=BD
となっている。
したがって
BCはFEの2
倍
である。
(a)
、
公理1ー5の補足2
(等しいもののn倍、n倍に等しいもの)
による。
BC=2×FE
となっている。
したがって
矩形
AB、BCも
矩形
AB、EFと
通約
できる。
前節、
命題の補足(定義10ー1)
(等しい、倍量、約量と通約)
により、
BC∩FE
となり、
命題6ー1
(同高の三角形、平行四辺形は底辺と比例)
により、
rec(AB、BC):rec(AB、EF)
=BC:EF
となり、
命題10ー11
(4量比例で一方が通約なら他方も通約)
による。
rec(AB、BC)∩rec(AB、EF)
となっている。
ところが
矩形
AB、BCは
中項面積
である。
命題の設定
、
定義の補足2(命題10ー23)
(中項面積)
による。
rec(AB、BC);中項面積 となっている。
したがって
矩形
AB、EFも
中項面積
である。
前節、
命題10ー23の系
(中項面積と通約なら中項面積)
による。
rec(AB、EF);中項面積
となっている。
そして
矩形
AB、EFは
矩形
AF、FBに
等しい
。
命題10ー33補助
(直角三角形の垂線の足による矩形と辺上の正方形)
による。
rec(AB、EF)=rec(AF、FB)
となっている。
したがって
矩形
AF、FBも
中項面積
である。
前節、
命題の補足(定義10ー1)
(等しい、倍量、約量と通約)
により、
rec(AB、EF)∩rec(AF、FB)
となり、
命題10ー23の系
(中項面積と通約なら中項面積)
による。
rec(AF、FB)=中項面積
となっている。
そして
それらの上の
正方形
の和が
有理面積
である
ことも先に証明された。
(2)
による。
sq(_AF)+sq(_FB);有理面積
となっている。
よって
平方において通約
できないで、
それらの上の
正方形
の和を
有理面積
とし、
それらによって
かこまれる
矩形
を
中項面積
とする、
2
線分
AF、FBが見いだされた。
前節、前々節、
(1)
による。
AF¬∩^2FB、
sq(_AF)+sq(_FB);有理面積、
rec(AF、FB);中項面積
となっている。
これが証明すべきことであった。
命題10ー33
は、
命題10ー30
により、
AB、BC;有理線分、
AB∩^^2BC、
Z;AB¬∩Z、
sq(_AB)
=sq(_BC)+sq(_Z)
に対し、
D;BCの中点、
E;ABの矩形分割点
rec(AE、EB)=sq(_BD)
F;半円AFB上の点
FE⊥AB
をとれば、
AF、FB;AF¬∩^^2FB、
sq(_AF)+sq(_FB);有理面積、
rec(AF、FB);中項面積、
のことである。
命題10ー33
は推論用命題である。
前提
作図・構成
推論
定義
10-2
,
10-4補
,
補2(題10-23)
公準
1-1
,
1-1補
公理
1-5補2
命題
1-10
,
1-11
,
6-28
,
10-30
1-47
,
1-48補
,
3-2補
,
5-7
,
5-11
,
6-1
,
補(義10-1)
,
10-11
,
10-18
,
10-23系
,
10-33助
その他
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