ユークリッド原論をどう読むか（１４）
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ユークリッド原論

第１０巻
　
命題１０ー３３（作図.２線分；平方で非通約、平方和が有理面積、矩形が中項面積）

　平方において通約できないで、
　それらの上の正方形の和を有理面積とし、
　それらによってかこまれる矩形を中項面積とする
　２線分を見いだす
こと。

• 平方において通約は、
  定義１０ー２による。
• 正方形は、
  定義１ー２２による。
• 有理面積は、
  定義１０ー４の補足による。
• かこまれるは、
  定義２ー１による。
• 矩形は、
  定義１ー２２による。
• 中項面積は、
  定義の補足２（命題１０ー２３）による。
• 線分は、
  定義の補足（命題１ー１）による。

　平方においてのみ通約できる
　二つの有理線分ＡＢ、ＢＣ
が定められ、
　大きい線分ＡＢ上の正方形が
　小さい線分ＢＣ上の正方形より
　ＡＢと通約できない線分上の正方形だけ大きい
とし、

• 　命題１０ー３０（作図.平方のみ通約で、平方差が大きい方と長さ非通約の平方となる２有理線分）
  による。
  
• 　ＡＢ、ＢＣ；有理線分、
  　　ＡＢ∩^^2ＢＣ、
  　Ｚ；ＡＢ¬∩Ｚ、
  　　sq(_ＡＢ)
  　　＝sq(_ＢＣ)＋sq(_Ｚ)
  としている。

　ＢＣがＤにおいて２等分され、
　　　　　　[......(ａ)]

• 　命題１ー１０（作図・線分の２等分）
  による。
  
• 　Ｄ；Ｄ∈ＢＣ、
  　　　ＢＤ＝ＤＣ
  としている。

　ＢＤ、ＤＣのいずれかの上の正方形に等しくて
　正方形だけ欠けている平行四辺形が
　ＡＢ上につくられ、
　それを矩形ＡＥ、ＥＢ
とし、
　　　　　　[......(ｂ)]

• 　命題６ー２８（作図.直線図形に等しく、相似な平行四辺形を欠く平行四辺形）
  による。
  
• 　Ｅ；Ｅ∈ＡＢ、
  　　　rec(ＡＥ、ＥＢ)＝sq(_ＢＤ)
  としている。

　ＡＢ上に半円ＡＦＢが描かれ、

• 　命題１０ー１４補助の補足 (作図.線分上に半円)
  による。
  
• 　ＡＦＢ；半円
  としている。
  

　ＡＢに直角にＥＦがひかれ、

• 　公準１ー１の補足（作図.任意の点をとる）
  により、
  　線分ＡＢ上にＥ
  をとり、
  　命題１ー１１（作図・線分からの垂線）　
  により、
  　Ｅを通り、ＡＢに垂直な直線
  をとると、
  　命題３−２の補足(円内通過直線は円周と２交点)
  により
  　半円の円周と１点
  で交わる。
  　その点をＦ
  とし、溯って用いている。
  
• 　Ｅ；Ｅ∈ＡＢ、
  　Ｆ；Ｆ∈半円の円周
  　　　ＥＦ⊥ＡＢ
  となっている。
  

　ＡＦ、ＦＢが結ばれた
とせよ。

• 　公準１ー１（作図.直線）
  による。
  

　そうすれば
　ＡＢ、ＢＣは不等な２線分であり、
　ＡＢ上の正方形はＢＣ上の正方形より
　ＡＢと通約できない線分上の正方形だけ大きく、

• 　命題の設定
  による。
  
• 　ＡＢ、ＢＣ；有理線分、
  　　ＡＢ∩^^2ＢＣ、
  　Ｚ；ＡＢ¬∩Ｚ、
  　　sq(_ＡＢ)
  　　＝sq(_ＢＣ)＋sq(_Ｚ)
  となっている。

　ＢＣ上の正方形の４分の１、
すなわち
　ＢＣの半分の上の正方形に等しくて
　正方形だけ欠けている平行四辺形が
　ＡＢ上に描かれ、
　それを矩形ＡＥ、ＥＢ

• 　（ｂ）による。
• 　Ｅ∈ＡＢ、
  　rec(ＡＥ、ＥＢ)＝sq(_ＢＤ)
  　＝sq(_ＢＣ)／４
  となっている。
  

とするから、
　ＡＥはＥＢと通約できない。

• 　前節、前々節、
  　命題１０ー１８（上の正方形の差が大と非通約線分上の正方形⇔小の半分上の正方形に等しい大の矩形分割（コ）の辺は非通約）
  による。
  
• 　ＡＥ¬∩ＥＢ
  となっている。
  

そして
　ＡＥがＥＢに対するように、
　矩形ＢＡ、ＡＥが矩形ＡＢ、ＢＥに対し、

• 　命題６ー１（同高の三角形、平行四辺形は底辺と比例）
  による。
  
• 　ＡＥ：ＥＢ＝rec(ＢＡ、ＡＥ)：rec(ＡＢ、ＢＥ)
  となっている。
  

　矩形ＢＡ、ＡＥはＡＦ上の正方形に、
　矩形ＡＢ、ＢＥはＢＦ上の正方形に等しい。

• 　命題１０ー３３補助（直角三角形の垂線の足による矩形と辺上の正方形）
  による。
  
• 　rec(ＢＡ、ＡＥ)＝sq(_ＡＦ)
  　rec(ＡＢ、ＢＥ)＝sq(_ＢＦ)
  となっている。
  

したがって
　ＡＦ上の正方形はＦＢ上の正方形と通約できない。

• 　前節、
  　命題５ー７（同一量の比）
  により、
  　rec(ＢＡ、ＡＥ)：rec(ＡＢ、ＢＥ)
  　＝sq(_ＡＦ)：sq(_ＢＦ)
  となり、
  　前々節、
  　命題５ー１１（同一の比に同じ比）
  により、
  　ＡＥ：ＥＢ＝sq(_ＡＦ)：sq(_ＢＦ)
  となり、
  　前々々節
  　命題１０ー１１（４量比例で一方が通約なら他方も通約）
  による。
  
• 　sq(_ＡＦ)¬∩sq(_ＢＦ)
  となっている。

したがって
　ＡＦ、ＦＢは平方において通約できない。
　　　　　　[......(１)]

• 　前節、
  　定義１０ー２（平方において通約）
  による。
• 　ＡＦ¬∩^2ＦＢ
  となっている。
  

そして
　ＡＢは有理線分である

• 　命題の設定 による。
• 　ＡＢ；有理線分
  となっている。
  

から、
　ＡＢ上の正方形も有理面積である。

• 　前節、
  　定義１０ー４の補足（有理面積、無理面積）
  による。
• 　sq(_ＡＢ)；有理面積
  となっている。
  

したがって
　ＡＦ、ＦＢ上の正方形の和も有理面積である。
　　　　　　[......(１)]

• 　命題１−４７（三平方の定理）
  により、
  　sq(_ＡＦ)＋sq(_ＦＢ)＝sq(_ＡＢ)
  となっており、
  　命題の補足（定義１０ー１）(等しい、倍量、約量と通約)
  による。
  
• 　sq(_ＡＦ)＋sq(_ＦＢ)；有理面積
  となっている。
  

そしてまた
　矩形ＡＥ、ＥＢはＥＦ上の正方形に等しく、

• 　命題１０ー３３補助（直角三角形の垂線の足による矩形と辺上の正方形）
  による。
  
• 　rec(ＡＥ、ＥＢ)＝sq(_ＥＦ)
  となっている。
  

他方
　矩形ＡＥ、ＥＢ《も》［は、また］ＢＤ上の正方形に等しいと仮定される

• 　（ｂ）による。
• 　rec(ＡＥ、ＥＢ)＝sq(_ＢＤ)
  となっている。
  

から、
　ＦＥはＢＤに等しい。

• 　前節、前々節
  により、
  　sq(_ＦＥ)＝sq(_ＢＤ)
  となり、
  　命題１−４８の補足（正方形の大等小と辺の大等小）
  による。
  
• 　ＦＥ＝ＢＤ
  となっている。
  

したがって
　ＢＣはＦＥの２倍である。

• 　（ａ）、
  　公理１ー５の補足２（等しいもののｎ倍、ｎ倍に等しいもの）
  による。
• 　ＢＣ＝２×ＦＥ
  となっている。
  

したがって
　矩形ＡＢ、ＢＣも矩形ＡＢ、ＥＦと通約できる。

• 　前節、
  　命題の補足（定義１０ー１）(等しい、倍量、約量と通約)
  により、
  　ＢＣ∩ＦＥ
  となり、
  　命題６ー１（同高の三角形、平行四辺形は底辺と比例）
  により、
  　rec(ＡＢ、ＢＣ)：rec(ＡＢ、ＥＦ)
  　＝ＢＣ：ＥＦ
  となり、
  　命題１０ー１１（４量比例で一方が通約なら他方も通約）
  による。
  
• 　rec(ＡＢ、ＢＣ)∩rec(ＡＢ、ＥＦ)
  となっている。
  

ところが
　矩形ＡＢ、ＢＣは中項面積である。

• 　命題の設定、
  　定義の補足２（命題１０ー２３）(中項面積)
  による。
• 　rec(ＡＢ、ＢＣ)；中項面積 となっている。

したがって
　矩形ＡＢ、ＥＦも中項面積である。

• 　前節、
  　命題１０ー２３の系(中項面積と通約なら中項面積)
  による。
  
• 　rec(ＡＢ、ＥＦ)；中項面積
  となっている。
  

そして
　矩形ＡＢ、ＥＦは矩形ＡＦ、ＦＢに等しい。

• 　命題１０ー３３補助（直角三角形の垂線の足による矩形と辺上の正方形）
  による。
  
• 　rec(ＡＢ、ＥＦ)＝rec(ＡＦ、ＦＢ)
  となっている。
  

したがって
　矩形ＡＦ、ＦＢも中項面積である。

• 　前節、
  　命題の補足（定義１０ー１）(等しい、倍量、約量と通約)
  により、
  　rec(ＡＢ、ＥＦ)∩rec(ＡＦ、ＦＢ)
  
  となり、
  　命題１０ー２３の系(中項面積と通約なら中項面積)
  による。
  
• 　rec(ＡＦ、ＦＢ)＝中項面積
  となっている。
  

そして
　それらの上の正方形の和が有理面積である
ことも先に証明された。

• 　（２）による。
  
• 　sq(_ＡＦ)＋sq(_ＦＢ)；有理面積
  となっている。
  

よって
　平方において通約できないで、
　それらの上の正方形の和を有理面積
とし、
　それらによってかこまれる矩形を中項面積とする、
　２線分ＡＦ、ＦＢが見いだされた。

• 　前節、前々節、 （１）による。
  
• 　ＡＦ¬∩^2ＦＢ、
  　sq(_ＡＦ)＋sq(_ＦＢ)；有理面積、
  　rec(ＡＦ、ＦＢ)；中項面積
  となっている。
  

これが証明すべきことであった。

• 命題１０ー３３は、
  　命題１０ー３０により、
  　ＡＢ、ＢＣ；有理線分、
  　　ＡＢ∩^^2ＢＣ、
  　Ｚ；ＡＢ¬∩Ｚ、
  　　sq(_ＡＢ)
  　　＝sq(_ＢＣ)＋sq(_Ｚ)
  に対し、
  　Ｄ；ＢＣの中点、
  　Ｅ；ＡＢの矩形分割点
  　　rec(ＡＥ、ＥＢ)＝sq(_ＢＤ)
  　Ｆ；半円ＡＦＢ上の点
  　　ＦＥ⊥ＡＢ
  をとれば、
  　ＡＦ、ＦＢ；ＡＦ¬∩^^2ＦＢ、
  　　sq(_ＡＦ)＋sq(_ＦＢ)；有理面積、
  　　rec(ＡＦ、ＦＢ)；中項面積、
  のことである。
  
• 命題１０ー３３は推論用命題である。

  前提	作図・構成	推論
  定義		10-2,10-4補,補2(題10-23)
  公準	1-1,1-1補
  公理		1-5補2
  命題	1-10,1-11,6-28,10-30	1-47,1-48補,3-2補,5-7,5-11,6-1,補(義10-1),10-11,10-18,10-23系,10-33助
  その他

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