ユークリッド原論をどう読むか（１４）
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ユークリッド原論

第１０巻
　
命題１０ー１８（上の正方形の差が大と非通約線分上の正方形⇔小の半分上の正方形に等しい大の矩形分割（コ）の辺は非通約）
もし
　不等な２線分があり、
　小さい線分上の正方形の４分の１
　に等しくて
　正方形だけ欠けている平行四辺形が
　大きい線分上につくられ、
　それを
　通約できない２部分に分ける
ならば、
　大きい線分上の正方形は
　小さい線分上の正方形より、
　大きい線分と通約できない
　線分上の正方形だけ大きい
であろう。

そして
もし
　大きい線分上の正方形が
　小さい線分上の正方形より、
　大きい線分と通約できない
　線分上の正方形だけ大きく、
　小さい線分上の正方形の４分の１
　に等しくて
　正方形だけ欠けている平行四辺形が
　大きい線分上につくられる
ならば、
　それを
　通約できない２部分に分ける。

• 不等は、
  定義の補足（公理１ー４）による。
• 線分は、
  定義の補足（命題１ー１）による。
• 小さいは、
  公理１ー８の補足による。
• 正方形は、
  定義１ー２２による。
• 分の１は、
  定義の補足２（公理１ー６）による。
• 等しいは、
  公理１ー７による。
• 平行四辺形は、
  定義の補足（命題１ー３４）による。
• 大きいは、
  公理１ー８による。
• 通約は、
  定義１０ー１による。

　Ａ、ＢＣを不等な２線分
とし、
　ＢＣのほうが大きい
とし、
　小さいＡ上の正方形の４分の１
　に等しくて
　正方形だけ欠けている平行四辺形が
　ＢＣ上につくられた
とし、
　それを矩形ＢＤ、ＤＣ
とし、
　ＢＤが
　ＤＣと長さにおいて通約できない
とせよ。

• 　実際に作図するには、
  　以下のようにする。
  　命題１０ー１０（作図.長さ・平方において通約でない線分）
  により、
  　長さにおいて
  　通約できないＢＤ、Ｄ'Ｃ'をとり、
  　公準１ー２（作図.直線の延長）
  により
  　ＢＤをＤの方向に延長し、
  　命題１ー３の補足（作図.等しい線分となる点）
  により
  　延長した部分にＣを
  　ＤＣ＝Ｄ'Ｃ'
  となるようにとり、
  　線分ＢＣをかく。
  　命題６ー２５（作図.直線図形に等しく別の直線図形に相似）
  により、
  　矩形ＢＤ、ＤＣに等しい正方形をかき、
  　命題６ー２０（相似多角形の相似三角形分解と２乗の比）
  により、
  　その正方形の辺を２倍したものをＡ
  とする。
  　命題１ー１０（作図・線分の２等分）
  により
  　ＢＣの中点Ｅをとると、
  　命題２ー５（和と差の積は平方の差１）
  により、
  　sq(_ＢＥ)＝sq(_ＤＥ)＋rec(ＢＤ、ＤＣ)
  　＝sq(_ＤＥ)＋sq(_Ａ)／４
  となっているので
  　sq(_ＢＣ)＝４×sq(_ＤＥ)＋sq(_Ａ)
  となり、
  　　　　　　[......(１)]
  　公理１ー８の補足（小さい）
  により
  　sq(_ＢＣ)＞sq(_Ａ)
  となり、
  　命題１−４８の補足（正方形の大等小と辺の大等小）
  により
  　ＢＣ＞Ａ
  となって、
  　命題の設定を満たす図
  となる。
  
• 　ＢＣ＞Ａ、
  　rec(ＢＤ、ＤＣ)＝sq(_Ａ)／４、
  　ＢＤ¬∩ＤＣ
  となっている。

　ＢＣ上の正方形は
　Ａ上の正方形より
　ＢＣと通約できない線分上
　の正方形だけ大きい
と主張する。

　前と同じ作図がなされた
とき、
　　　　　　[......(ａ)]

• 　前回と同じ作図という表現は
  　初めてである。
  　前命題１０ー１７（和と差の積と線分上の正方形の差での通約）の
  　（ａ）、 （ｂ）のことである。
• 　ＢＣ上に、
  　中点Ｅと点Ｆがあり、
  　ＢＦ＝ＤＣ
  となっている。
  

　同様にして
　ＢＣ上の正方形が
　Ａ上の正方形より
　ＦＤ上の正方形だけ大きい
ことを証明しうる。
　　　　　　[......(２)]

• 　（１）により、
  　sq(_ＢＣ)＝４×sq(_ＤＥ)＋sq(_Ａ)
  となっていて、
  　命題６ー２０（相似多角形の相似三角形分解と２乗の比）
  により
  　sq(_ＦＤ)＝４×sq(_ＤＥ)
  だから、
  　sq(_ＢＣ)＝sq(_ＦＤ)＋sq(_Ａ)
  となる。

　ＢＣが
　ＤＦと長さにおいて通約できない
ことが証明されなければならない。

　ＢＤは
　ＤＣと長さにおいて通約できない

• 　命題の設定による。
• 　ＢＤ¬∩ＤＣ
  となっている。

から、
　ＢＣも
　ＣＤと長さにおいて通約できない。

• 　前節、
  　命題１０ー１６（非通約量はその和・差とも非通約）
  による。
• 　ＢＣ¬∩ＣＤ
  となっている。

ところが
　ＤＣは
　ＢＦ、ＤＣの和と通約できる。

• 　（ａ）により
  　ＢＦ＝ＤＣ
  となっており、
  　定義５ー５（同じ比）
  により、
  　ＤＣ：ＢＦ＋ＤＣ＝１：２
  となるので、
  　命題１０ー６（量が数：数なら通約可）
  による。
• 　ＤＣ∩ＢＦ＋ＤＣ
  となっている。

したがって
　ＢＣも
　ＢＦ、ＤＣの和と通約できない。

• 　前節、前々節、
  　命題１０ー１３（通約量と非通約なら非通約）
  による。
• 　ＢＣ¬∩ＢＦ＋ＤＣ
  となっている。

ゆえに
　ＢＣは
　残りのＦＤと長さにおいて通約できない。

• 　前節、
  　命題１０ー１６（非通約量はその和・差とも非通約）
  による。
• 　ＢＣ¬∩ＦＤ
  となっている。

そして
　ＢＣ上の正方形は
　Ａ上の正方形よりも
　ＦＤ上の正方形だけ大きい。

• 　（２）による。
• 　sq(_ＢＣ)＝sq(_Ａ)＋sq(_ＦＤ)
  となっている。

したがって
　ＢＣ上の正方形は
　Ａ上の正方形より
　ＢＣと通約できない線分上
　の正方形だけ大きい。

• 　前節による。

また
　ＢＣ上の正方形が
　Ａ上の正方形より
　ＢＣと通約できない線分上
　の正方形だけ大きい
とし、
　Ａ上の正方形の４分の１
　に等しくて
　正方形だけ欠けている平行四辺形が
　ＢＣ上につくられた
とし、
　それを矩形ＢＤ、ＤＣ
とせよ。

• 　実際に作図するには、
  　以下のようにする。
  　命題１０ー９助の系（非相似平面数は平方数：平方数とならず）
  により、
  　Ｃ'『¬∩ＢＣ』をとり、
  　命題１０ー１３助（構成.線分上の正方形の差となる正方形の辺）
  により
  　sq(_ＢＣ)ーsq(_Ｃ')
  　に等しい正方形の辺をＡ＝Ａ'Ａ"
  とする。
  　命題１ー１０（作図・線分の２等分）
  により
  　Ａ＝Ａ'Ａ"の中点Ｇをとり、
  　命題１−４６（作図.線分上に正方形）
  により、
  　sq(_Ａ'Ｇ)をつくる
  と、
  　命題６ー２０（相似多角形の相似三角形分解と２乗の比）
  により
  　sq(_Ａ'Ｇ)＝sq(_Ａ)／４
  になる。
  　命題６ー２８（作図.直線図形に等しく、相似な平行四辺形を欠く平行四辺形）
  により
  　ＢＣ上にＤをとり、
  　rec(ＢＤ、ＤＣ)＝sq(_Ａ'Ｇ)
  となるようにする。
  
• 　ＢＣ¬∩Ｃ'
  　sq(_ＢＣ)＝sq(_Ｃ')＋sq(_Ａ)
  　rec(ＢＤ、ＤＣ)＝sq(_Ａ)／４
  となっている。

　ＢＤは
　ＤＣと長さにおいて通約できない
ことを証明しなければならない。

　同じ作図がなされた
　　　　　　[......(ｂ)]

• 　（ａ）の作図による。
• 　ＢＣ上に
  　中点Ｅと点Ｆがあり、
  　ＢＥ＝ＥＣ、ＥＦ＝ＥＤ、
  したがって、
  　ＢＦ＝ＤＣ
  となっている。
  

とき、
　同様にして
　ＢＣ上の正方形が
　Ａ上の正方形より
　ＦＤ上の正方形だけ大きい
ことを証明しうる。

• 　前節、
  　命題２ー５（和と差の積は平方の差１）
  により、
  　sq(_ＥＣ)＝sq(_ＥＤ)＋rec(ＢＤ、ＢＣ)
  となり、
  　前々節により
  　rec(ＢＤ、ＤＣ)＝sq(_Ａ)／４
  となっていて、
  　命題６ー２０（相似多角形の相似三角形分解と２乗の比）
  により、
  　sq(_ＥＣ)＝sq(_ＢＣ)／４、
  　sq(_ＥＤ)＝sq(_ＦＤ)／４
  となり、　
  　公理１ー２（等しいものに等しいものを加える）
  により、
  　sq(_ＥＣ)＝sq(_ＦＤ)／４＋sq(_Ａ)／４
  となり、
  　公理１ー１（同じものに等しい）
  により
  　sq(_ＢＣ)／４＝sq(_ＦＤ)／４＋sq(_Ａ)／４
  となり、
  　公理１ー５の補足２（等しいもののｎ倍、ｎ倍に等しいもの）
  により
  　sq(_ＢＣ)＝sq(_ＦＤ)＋sq(_Ａ)
  となる。

ところが
　ＢＣ上の正方形は
　Ａ上の正方形より
　ＢＣと通約できない線分上
　の正方形だけ大きい。

• 　命題の設定による。

したがって
　ＢＣは
　ＦＤと長さにおいて通約できない。

• 　前節、前々節による。
• 　ＢＣ¬∩ＦＤ
  となっている。

ゆえに
　ＢＣは
　残りのＢＦ、ＤＣの和とも通約できない。

• 　前節、
  　命題１０ー１６（非通約量はその和・差とも非通約）
  による。
• 　ＢＣ¬∩（ＢＦ＋ＤＣ）
  となっている。

ところが
　ＢＦ、ＤＣの和は
　ＤＣと長さにおいて通約できる。

• 　（ｂ）により、
  　ＢＦ＝ＤＣ
  となっており、
  　定義５ー５（同じ比）
  により
  　ＢＦ＋ＤＣ：ＤＣ＝２：１　
  となっているので、
  　命題１０ー６（量が数：数なら通約可）
  による。
• 　ＢＦ＋ＤＣ¬∩ＤＣ
  となっている。

それゆえ
　ＢＣは
　ＤＣと長さにおいて通約できない。

• 　前節、前々節、
  　命題１０ー１３（通約量と非通約なら非通約）
  による。
• 　ＢＣ¬∩ＤＣ
  となっている。

したがって
　分割比により
　ＢＤは
　ＤＣと長さにおいて通約できない。

• 　前節、
  　命題１０ー７（非通約量は数：数にならない）
  により
  　ＢＣ：ＤＣ≠数：数
  となり、
  　命題５ー１７（合比で比例なら分割比でも比例）
  により
  　ＢＤ：ＤＣ≠数：数
  となり、
  　命題１０ー８（量が数：数でないなら非通約）
  により
  　ＢＤ¬∩ＤＣ
  となる。
  
• 　命題１０ー１６（非通約量はその和・差とも非通約）
  によるとする方が簡明である。
  

よって
もし
　［不等な］２線分があり云々。

• 　云々は、
  「小さい線分上の正方形の４分の１
  　に等しくて
  　正方形だけ欠けている平行四辺形が
  　大きい線分上につくられ、
  　それを
  　通約できない２部分に分ける
  ならば、
  　大きい線分上の正方形は
  　小さい線分上の正方形より、
  　大きい線分と通約できない
  　線分上の正方形だけ大きい
  であろう。」
  である。
  そして
  もし
  　大きい線分上の正方形が
  　小さい線分上の正方形より、
  　大きい線分と通約できない
  　線分上の正方形だけ大きく、
  　小さい線分上の正方形の４分の１
  　に等しくて
  　正方形だけ欠けている平行四辺形が
  　大きい線分上につくられる
  ならば、
  　それを
  　通約できない２部分に分ける。
  」

• 命題１０ー１８は、以下のことである。
  Ａ＜Ｂとして、
  　Ｃ×（ＢーＣ）＝（Ａ／２）^2、
  　Ｃ¬∩ＢーＣ
  ならば、
  　sq(_Ｂ)＝sq(_Ａ)＋sq(_Ｂー２×Ｃ)
  　Ｂー２×Ｃ¬∩Ｂ
  
  逆に
  　Ｃ×（ＢーＣ）＝（Ａ／２）^2、
  　sq(_Ｂ)＝sq(_Ａ)＋sq(_Ｂー２×Ｃ)
  　Ｂー２×Ｃ¬∩Ｂ
  ならば、
  　Ｃ¬∩ＢーＣ
  
• 命題１０ー１８は推論用命題である。

  前提	作図・構成	推論
  定義		5-5
  公準	1-2
  公理		1-8補
  命題	1-3補,1-10,6-25,10-10	1-48補,2-5,6-20,10-6,10-13,10-16
  その他

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