ユークリッド原論をどう読むか（１４）
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ユークリッド原論

第１０巻
　
命題１０ー７６（平方和が有理面積、かこむ矩形が中項面積、平方で非通約の２線分の差は劣線分）
劣線分
もし
　　　線分から
　　　その線分全体と
　　平方において通約できない
　線分が
　　ひかれ、
　　　全体と
　　　ひかれた線分との上の
　　　二つの正方形の和を
　　有理面積とし、
　　　それらによって
　　　かこまれる矩形を
　　中項面積とする
ならば、
　残りは
　　無理線分である。
　　そして
　　劣線分とよばれる。

• 線分は、
  定義の補足（命題１ー１）による。
• 平方において通約は、
  定義１０ー２による。
• 正方形は、
  定義１ー２２による。
• 有理面積は、
  定義１０ー４の補足による。
• 矩形は、
  定義１ー２２による。
• 中項面積は、
  定義の補足２（命題１０ー２３）による。
• 無理線分は、
  定義１０ー４による。
• 劣線分とは、
  　　　平方において通約できない
  　２線分が
  　　　平方和を有理面積
  　　とし、
  　　　中項面積を
  　　かこむ
  とき、
  　　　その差のこと
  をいう。 (以下、定義の補足（命題１０ー７６） (劣線分)という。)
  
  による。

　　　線分ＡＢから
　線分ＢＣが
　　ひかれ、
　ＢＣは
　　　全体と
　　平方において通約できず
　　　与えられた条件を
　　みたす
とせよ。

• 　命題１０ー３３（作図.２線分；平方で非通約、平方和が有理面積、矩形が中項面積）
  により、
  　　　２線分をとり、
  　　　大きい方をＡＢ、
  　　　小さい方をＢＣ
  とし、
  　命題１ー３（作図・等しい線分を切り取る）　
  により、
  　　　Ｃ’（ＡＢ；ＢＣ’＝ＢＣ）
  　　をとり、
  　　　改めて、
  　　　Ｃ’をＣ
  　　とする。
• 　ＡＢ¬∩^2 ＢＣ、
  　正方(_ＡＢ)＋正方(_ＢＣ)；有理面積
  　矩形(ＡＢ、ＢＣ)；中項面積
  　ＡＢ＞ＢＣ
  となっている。

　残りのＡＣは
　　劣線分とよばれる
　　無理線分である
と主張する。


　ＡＢ、ＢＣ上の正方形の和は
　　有理面積であり、

• 　命題の設定による。
• 　正方(_ＡＢ)＋正方(_ＢＣ)；有理面積
  となっている。

　矩形ＡＢ、ＢＣの２倍は
　　中項面積である

• 　命題の設定、
  　命題１０ー６（量が数：数なら通約可）
  　命題１０ー２３の系(中項面積と通約なら中項面積)
  による。
• 　２矩形(ＡＢ、ＢＣ)；中項面積
  となっている。

から、
　ＡＣ、ＢＣ上の正方形の和は
　　　矩形ＡＢ、ＢＣの２倍と
　　通約できない。

• 　前節、前々節、
  　命題１０ー２３の補足６(有理面積と中項面積は非通約)
  による。
• 　　正方(_ＡＢ)＋正方(_ＢＣ)¬∩２矩形(ＡＢ、ＢＣ)
  となっている。

そして
　　　反転＜比により＞［させて、］
　ＡＢ、ＢＣ上の正方形の和は
　　　残りのＡＣ上の正方形と
　　通約できない。

• 　前節、
  　命題１０ー１６（非通約量はその和・差とも非通約）
  による。
• 　　　論証の流れでは、
  　比は
  　　　ここに
  　　登場しない
  から、
  　　　「in conversion」を
  　「反転比により」とするのは
  　　適切ではない。
  
• 　正方(_ＡＢ)＋正方(_ＢＣ)¬∩正方(_ＡＣ)
  となっている。

ところが
　ＡＢ、ＢＣ上の正方形の和は
　　有理面積である。

• 　命題の設定である。
• 　正方(_ＡＢ)＋正方(_ＢＣ)；有理面積
  となっている。　

したがって
　ＡＣ上の正方形は
　　無理面積である。

• 　前節、前々節、
  　命題１０ー２３の補足６(有理面積と中項面積は非通約)
  による。
• 　　正方(_ＡＢ)＋正方(_ＢＣ)¬∩正方(_ＡＣ)
  となっている。

よって
　ＡＣは
　　無理線分である。

• 　前節、
  　定義１０ー４の補足（有理面積、無理面積）
  による。
• 　ＡＣ：無理面積
  となっている。

　　そして
　　劣線分とよぱれる。

• 　前節、
  　定義の補足（命題１０ー７６）(劣線分)
  による。
• 　ＡＣ；劣線分
  となっている。

これが証明すべきことであった。

• 命題１０ー７６は、
  　命題１０ー３３（作図.２線分；平方で非通約、平方和が有理面積、矩形が中項面積）
  により、
  　　　２線分を
  　　とり、
  　　　大きい方を
  　　ＡＢ、
  　　　小さい方を
  　　ＢＣ
  　命題１ー３（作図・等しい線分を切り取る）　
  により、
  　　ＡＣからＢＣを引くと、
  　残りのＡＣは
  　　劣線分とよばれる
  　　無理線分
  のことである。
• 命題１０ー７６は推論用命題である。

  前提	作図・構成	推論
  定義		10-4補,補(題10-76)
  公準
  公理
  命題	1-3,10-33	10-6,10-16,10-23系,10-23補6
  その他

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