ユークリッド原論をどう読むか（１０）
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ユークリッド原論

第６巻

命題６ー２０（相似多角形の相似三角形分解と２乗の比）
（系.相似四辺形の比は対応辺の比の２乗）
相似な多角形は
　同数の、相似な、しかも全体と同じ比をもつ
　三角形に分けられ、
　そして
　多角形は
　多角形に対し、
　対応する辺が対応する辺に対する比の
　２乗の比をもつ。

• 相似は、 定義６ー１ による。
• 多角形は、 定義１ー１９の補足２ による。
• 同じ比は、 定義５ー５ による。
• 三角形は、 定義１ー１９の補足２ による。
• 対する・ようには 定義の補足３（命題５ー１１） による。
• 辺は、 定義１ー１９の補足 による。
• 比は、 定義５ー３ による。
• ２乗の比は、 定義５ー９ による。

ＡＢＣＤＥ、ＦＧＨＫＬを相似な多角形とし、
　ＡＢがＦＧに対応するとせよ。

• 命題６ー１８による。
  作図の際に用いた
  　相似な三角形だけでなく、
  　別の三角形の分割においても
  　成立する
  　というのがこの命題の趣旨である。
  
• 準一般的な証明である。

多角形ＡＢＣＤＥ、ＦＧＨＫＬは
　同数の、相似な、しかも全体と同じ比をもつ
　三角形に分けられ、
　そして
　多角形ＡＢＣＤＥは
　多角形ＦＧＨＫＬに対し、
　ＡＢがＦＧに対する比の
　２乗の比をもつと主張する。
　
ＢＥ、ＥＣ、ＧＬ、ＬＨが結ばれたとせよ。

• 公準１ー１ による。

そして
　多角形ＡＢＣＤＥは
　多角形ＦＧＨＫＬに相似であるから、
　角ＢＡＥは
　角ＧＦＬに等しい。
そして
　ＢＡがＡＥに対するように、
　ＧＦがＦＬに対する。

• 定義６ー１ による。

そこで
　ＡＢＥ、ＦＧＬは
　１つの角を等しくし、
　等しい角をはさむ辺が比例する
　２つの三角形であるから、
　 三角形ＡＢＥは
　三角形ＦＧＬに等角である。

• 命題６ー６ による。

それゆえ
　相似でもある。 【・・・(1)】

• 命題６ー４ による。

ゆえに
　角ＡＢＥは
　角ＦＧＬに等しい。

• 定義６ー１ による。

ところが
　２つの多角形が相似であるから、
　角ＡＢＣ全体も角ＦＧＨに等しい。

• 定義６ー１ による。

したがって
　残りの角ＥＢＣは
　角ＬＧＨに等しい。

• 公理１ー３ による。

そして
　三角形ＡＢＥ、ＦＧＬが相似であるため、

• (1)による。

　ＥＢがＢＡに対するように
　ＬＧがＧＦに対し、

• 定義６ー１ による。

　また
　２つの多角形が相似であるため、
　ＡＢがＢＣに対するように
　ＦＧがＧＨに対するから、

• 定義６ー１ による。

　等間隔比により
　ＥＢがＢＣに対するように、
　ＬＧがＧＨに対し、

• 命題５ー２０ による。

　等しい角ＥＢＣ、ＬＧＨをはさむ
　辺が比例する。
それゆえ
　 三角形ＥＢＣは三角形ＬＧＨに等角である。 【・・・(2)】

• 命題６ー６ による。

ゆえに
　三角形ＥＢＣは三角形ＬＧＨに相似でもある。
同じ理由で
　三角形ＥＣＤも三角形ＬＨＫに相似である。
したがって
　相似な多角形ＡＢＣＤＥ、ＦＧＨＫＬは
　同数の相似な三角形に分けられた。

• (1)(2) にもよる。

それらの三角形が全体と同じ比をもつ、
　すなわち
　三角形が比例し、
　ＡＢＥ、ＥＢＣ、ＥＣＤが前項であり、
　ＦＧＬ、ＬＧＨ、ＬＨＫが
　それらに対する後項であること、
　そしてまた
　多角形ＡＢＣＤＥが多角形ＦＧＨＫＬに対し、
　対応する辺が対応する辺に対する比、
　すなわち
　ＡＢがＦＧに対する比の
　２乗の比をもつことを主張する。
　
ＡＣ、ＦＨが結ばれたとせよ。

• 公準１ー１ による。

そうすれば
　２つの多角形が相似であるため、
　角ＡＢＣは角ＦＧＨに等しく、
　ＡＢがＢＣに対するように、
　ＦＧがＧＨに対するから、

• 定義６ー１ による。

　三角形ＡＢＣは
　三角形ＦＧＨに等角である。

• 命題６ー６ による。

それゆえ
　 角ＢＡＣは角ＧＦＨに、
　角ＢＣＡは角ＧＨＦに等しい。 【・・・(3)】

• 定義６ー１ による。

そして
　角ＢＡＭは角ＧＦＮに等しく、

• (3) による。

　角ＡＢＭも角ＦＧＮに等しいから

• (1) による。

　、残りの角ＡＭＢも残りの角ＦＮＧに等しい、

• 命題１ー３２ , 公理１ー３ による。

　ゆえに
　三角形ＡＢＭは三角形ＦＧＮに等角である。

• 定義の補足（命題４ー２） による。

同様にして
　三角形ＢＭＣも三角形ＧＮＨに等角である
　ことを証明しうる。

• (2)(3), 命題６ー５の補足, 定義６ー１ による。

したがって
　比例し、
　ＡＭがＭＢに対するように、
　ＦＮがＮＧに対し、
　ＢＭがＭＣに対するように
　ＧＮがＮＨに対する。

• 定義６ー１ による。

したがって
　等間隔比により、
　 ＡＭがＭＣに対するように、
　ＦＮがＮＨに対する。 【・・・(4)】

• 命題５ー２０ による。

ところが
　ＡＭがＭＣに対するように、
　ＡＢＭがＭＢＣに、
　ＡＭＥがＥＭＣに対する。
なぜなら
　互いに底辺に比例するから。

• 命題６ー１ による。
• 「なぜなら・・・であるから」については、コメント２（命題１ー１６）参照のこと。

それゆえ
　前項の１つが後項の１つに対するように
　前項の総和が後項の総和に対する。

• 命題５ー１２ による。

ゆえに
　三角形ＡＭＢがＢＭＣに対するように、
　ＡＢＥがＣＢＥに対する。
ところが
　ＡＭＢがＢＭＣに対するように
　ＡＭがＭＣに対する。

• 命題６ー１ による。

したがって
　ＡＭがＭＣに対するように、
　三角形ＡＢＥが三角形ＥＢＣに対する。

• 命題５ー１１ による。

同じ理由で
　ＦＮがＮＨに対するように、
　三角形ＦＧＬは三角形ＧＬＨに対する。
そして
　ＡＭがＭＣに対するように
　ＦＮがＮＨに対する。

• (4) による。

それゆえ
　三角形ＡＢＥが三角形ＢＥＣに対するように、
　三角形ＦＧＬが三角形ＧＬＨに対し、

• 命題５ー１１ による。

　いれかえて
　三角形ＡＢＥが三角形ＦＧＬに対するように、
　三角形ＢＥＣが三角形ＬＧＨに対する。

• 命題５ー１６ による。

同様にして、
　ＢＤ、ＧＫが結ばれるとき、
　三角形ＢＥＣが三角形ＬＧＨに対するように、
　三角形ＥＣＤが三角形ＬＨＫに対する
　ことを証明しうる。

• 三角形ＡＢＥ、ＢＥＣ、ＥＣＤが前項となり、
  　ＦＧＬ、ＬＧＨ、ＬＨＫが後項となって
  　同じ比となる
  　ことが示された。 この後、
  　その比が
  　総和である相似な多角形の比であり、
  　しかも、
  　辺の比の２乗の比である
  　ことが示される。

そして
　三角形ＡＢＥが三角形ＦＧＬに対するように、
　ＥＢＣがＬＧＨに、
　また
　ＥＣＤがＬＨＫに対するから、
　前項の１つが後項の１つに対するように、
　前項の総和が後項の総和に対する。

• 命題５ー１２ による。

ゆえに
　三角形ＡＢＥが三角形ＦＧＬに対するように、
　多角形ＡＢＣＤＥが多角形ＦＧＨＫＬに対する。
ところが
　三角形ＡＢＥは三角形ＦＧＬに対し、
　対応する辺ＡＢが対応する辺ＦＧの２乗の比をもつ。
なぜなら
　相似な三角形は
　対応する辺の２乗の比をもつから。

• 命題６ー１９ による。

したがって
　多角形ＡＢＣＤＥは多角形ＦＧＨＫＬに対し、
　対応する辺ＡＢが対応する辺ＦＧに対する比の２乗の比をもつ。 よって相似な多角形は
　同数の、相似な、しかも全体と同じ比をもつ
　三角形に分けられ、
　そして
　多角形は
　多角形に対し、
　対応する辺が対応する辺に対する比の
　２乗の比をもつ。
　
系
同様にして
　四辺形についても、
　それらが対応する辺の比の
　２乗の比をもつ
(以下、命題６ー２０の系 (系.相似四辺形の比は対応辺の比の２乗)という。)
ことが証明されうる。
そして
　三角形についても先に証明された。

• 命題６ー１９ による。

したがって一般に
　相似な直線図形は
　互いに対応する辺の２乗の比をもつ。

• 準一般的な証明である。 コメント２（命題５ー１）参照のこと。

これが証明すべきことであった。

• 前半で
  　相似な多角形が
  　相似な三角形に分解できる
  　ことが示されている。
  そこから、
  　それぞれの相似な三角形の比が同じである
  　ことを示すことができる。
  その方が
  　今日的には素直である
  　と考えられる。
  すなわち、
  　命題６ー１９ により、
  　三角形ＡＢＥは
  　三角形ＦＧＬに対し、
  　対応する辺ＢＥが対応する辺ＧＬの２乗の比をもつ。
  また
  　三角形ＢＥＣは
  　三角形ＧＬＨに対し、
  　対応する辺ＢＥが対応する辺ＧＬの２乗の比をもつ。
  よって
  　命題５ー１１ により、
  　三角形ＡＢＥが三角形ＦＧＬに対するように、
  　三角形ＢＥＣが三角形ＧＬＨに対する。
  同様に
  　三角形ＢＥＣが三角形ＧＬＨに対するように、
  　三角形ＣＥＤが三角形ＨＬＫに対する
  　ことが証明できる。
  したがって、
  　命題５ー１２ により、
  　三角形ＡＢＥが三角形ＦＧＬに対するように、
  　前項の総和である多角形ＡＢＣＤＥが
  　後項の総和である多角形ＦＧＨＫＬに対する。
  そして、
  　三角形ＡＢＥが三角形ＦＧＬに対し、
  　対応する辺ＡＢが
  　対応する辺ＦＧの２乗の比をもつので、
  　多角形ＡＢＣＤＥが多角形ＦＧＨＫＬに対し、
  　同じ比をもつことが証明される。
  
• 命題６ー２０の系 (系.相似四辺形の比は対応辺の比の２乗)

  前提	作図	推論
  定義
  公準
  公理
  命題		6-19,6-20
  その他

  　
• 命題６ー２０は推論用命題である。

  前提	作図	推論
  定義		補(題4-2),6-1
  公準	1-1
  公理		1-3
  命題	6-18	1-32,5-11,5-12,5-16,5-20,6-4,6-5補,6-6,6-19
  その他

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