ユークリッド原論をどう読むか（１４）
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ユークリッド原論

第１０巻
　
命題１０ー７２（通約不可の中項面積の和に等しい正方形の辺）
(二項線分、第１・第２の双中項線分、優線分、中項面積・有理面積の和となる正方形の辺、中項面積和となる正方形の辺、中項線分は異なる)
　互いに通約できない
　二つの中項面積が
　　加えられる
ならば、
　残りの２種の無理線分、
　　すなわち第２の双中項線分か
　または
　　二つの中項面積の和に等しい正方形の辺
が生ずる。

• 通約は、
  定義１０ー１による。
• 中項面積は、
  定義の補足２（命題１０ー２３）による。
• 無理線分は、
  定義１０ー４による。
• 第２の双中項線分は、
  定義の補足(命題１０ー３８)による。
• 二つの中項面積の和に等しい正方形の辺は、
  定義の補足（命題１０ー４０）による。

　互いに通約できない
　　二つの中項面積ＡＢ、ＣＤが
　　　加えられた
とせよ。

• 　矩形ＡＢ、ＣＤは、
  　定義の補足２（命題１０ー２３）(中項面積)
  によるが、
  　具体的なものではなく、
  　仮想的なものである。
• 　矩形ＡＢ、ＣＤ；中項面積、
  　　　ＡＢ¬∩ＣＤ
  となっている。

　面積ＡＤに等しい正方形の辺は
　　第２の双中項線分か
　　または
　　二つの中項面積の和に等しい正方形の辺である
と主張する。

　ＡＢは
　　ＣＤより大きいか
　　あるいは
　　小さいかである。

• 　公理１ー７の補足（線分・角は大か等か小）
  に準じる。
  　前節により、
  　ＡＢ＝ＣＤとなることはない。
  
• 　ＡＢ＞＜ＣＤ
  となっている。
• 記述からすると，
  ここから場合分けになる。
  しかし，
  以下の論理の流れからすると，
  　ＣＤ＞ＡＢの場合は、
  　　矩形ＡＢ、ＣＤともに中項面積であるから、
  改めて、ＣＤをＡＢ、ＡＢをＣＤとして、
  以下の推論をすればよい。
  実際、
  　原典には、ＣＤ＞ＡＢの場合の記述はない。
  

まず
たまたま
　ＡＢが
　　ＣＤより大きい
とせよ。

• 　推論の設定である。
  　前節のコメント参照のこと。
• 　矩形ＡＢ＞矩形ＣＤ
  となっている。

　有理線分ＥＦが
　　定められ、
そして
　ＡＢに等しく
　　ＥＦ上に
　　ＥＨを幅とするＥＧが、
　ＣＤに等しく
　　ＨＫを幅とするＨＩが
　　つくられた
とせよ。
[......(１)]

• 　命題の補足２（定義１０ー３）(作図.任意の有理線分)、
  　命題６ー１６の補足３(作図.線分上に矩形と等しい矩形)
  による。
• 　ＥＦ；有理線分、
  　点Ｈ(;矩形ＥＧ(ＥＦ、ＥＨ)＝矩形ＡＢ
  　点Ｋ(;矩形ＨＩ(ＥＦ、ＨＫ)＝矩形ＡＢ
  となっている。

そうすれば
　ＡＢ、ＣＤの双方は
　　中項面積である
から、
　ＥＧ、ＨＩの双方も
　　中項面積である。

• 　命題の設定、 　命題１０ー２３の系(中項面積と通約なら中項面積)
  による。
• 　矩形ＥＧ、ＨＩ;中項面積
  となっている。

そして
　　有理線分ＦＥ上に
　　ＥＨ、ＨＫを幅としてつくられている。
したがって
　ＥＨ、ＨＫの双方は
　　有理線分であり、
　　ＥＦと長さにおいて通約できない。
　　　　　　[......(２)]

• 　（１）、
  　命題１０ー２２（中項線分上正方形に等矩形で底辺有理線分なら幅は有理で非通約）
  による。
• 　ＥＨ、ＨＫ；有理線分、
  　　ＥＨ、ＨＫ¬∩ＥＦ
  となっている。

そして
　ＡＢは
　　ＣＤと通約できず、
　ＡＢは
　　ＥＨに、
　ＣＤは
　　ＨＩに等しい
から、
　ＥＧも
　　ＨＩと通約できない。

• 　命題の設定、
  （１）、
  命題１０ー１３（通約量と非通約なら非通約）
  による。　
  
• 　ＥＧ¬∩ＨＩ
  となっている。

ところが
　ＥＧが
　　ＨＩに矩形対するように、
　ＥＨが
　　ＨＫに対する。
したがって
　ＥＨは
　　ＨＫと長さにおいて通約できない。

• 　前節、
  　命題６ー１（同高の三角形、平行四辺形は底辺と比例）
  　命題１０ー１１（４量比例で一方が通約なら他方も通約）
  による。
  
• 　ＥＨ¬∩ＨＫ
  となっている。

それゆえ
　ＥＨ、ＨＫは
　　平方においてのみ通約できる有理線分である。
ゆえに
　ＥＫは
　　二項線分である。

• 　前節、
  　定義１０ー３の補足（有理線分）
  　定義の補足（命題１０ー３６）(二項線分)
  による。
  
• 　ＥＨ、ＨＫ；有理線分、
  　　ＥＨ∩^^2 ＨＫ、
  　ＥＫ；二項線分
  となっている。

ところが
　ＥＨ上の正方形は
　　ＨＫ上の正方形より
　　ＥＨと通約できる線分上の正方形か
　　または
　　通約できない線分上の正方形だけ大きい。

• 　命題１０ー１４助（作図.線分上の正方形の差となる正方形の辺）、
  　定義１０ー１（通約）
  による。
• 　正方(_ＥＨ)＝正方(_ＨＫ)＋正方(_Ｘ)
  　Ｘ；∩ＥＨ、または、¬∩ＥＨ
  となっている。
• 場合分けになる。
  Ｘ∩ＥＨの場合(case01) 、
  Ｘ¬∩ＥＨの場合(case02) 、
  場合分け終了(case0e)

(case01)
まず
　　ＥＨと長さにおいて通約できる
　　　線分上の正方形だけ大きい
とせよ。

• 　場合分けの設定である。
• 　正方(_ＥＨ)＝正方(_ＨＫ)＋正方(_Ｘ)
  　Ｘ∩ＥＨ
  となっている。

そして
　ＥＨ、ＨＫのいずれも
　　定められた有理線分ＥＦと
　　長さにおいて通約できない。
したがって
　ＥＫは
　　第３の二項線分である。

• 　（２）、
  　定義１０�Uー３（第３の二項線分）
  による。
• 　ＥＫ；第３の二項線分
  となっている。

ところが
　ＥＦは
　　有理線分である。
そして
　面積が
　　有理線分と第３の二項線分とによって
　　　かこまれる
ならば、
　その面積に等しい正方形の辺は
　　第２の双中項線分である。

• 　前節、
  （１）、
  　命題１０ー５６（有理線分と第３の二項線分の矩形に等しい正方形の辺は第２の双中項線分）
  による。
  

したがって
　ＥＩ、
　すなわち
　ＡＤに等しい正方形の辺は
　　第２の双中項線分である。
　　　　　　[......(３)]

• 　前節、前々節による。
• 　辺Ｙ(；正方(_Ｙ)＝矩形ＥＩ＝矩形ＡＤ)；第２の双中項線分
  となっている。

(case02)
次に
　ＥＨが
　　ＨＫよりＥＨと
　　長さにおいて通約できない線分上の正方形だけ大きい
とせよ。

• 　場合分けの設定である。
• 　正方(_ＥＨ)＝正方(_ＨＫ)＋正方(_Ｘ)
  　Ｘ¬∩ＥＨ
  となっている。

そして
　ＥＨ、ＨＫの双方は
　　ＥＦと長さにおいて通約できない。
したがって
　ＥＫは
　　第６の二項線分である。

• 　前節、 （１）、
  　定義１０�Uー６（第６のニ項線分）
  による。
• 　ＥＫ；第６のニ項線分
  となっている。

そして
もし
　面積が
　　有理線分と第６の二項線分とによって
　　かこまれる
ならば、
　その面積に等しい正方形の辺は
　　二つの中項面積の和に等しい正方形の辺である。

• 　命題１０ー５９（有理線分と第６の二項線分の矩形に等しい正方形の辺は二つの中項面積の和に等しい正方形の辺）
  による。

したがって
　面積ＡＤに等しい正方形の辺も
　　二つの中項面積の和に等しい正方形の辺である。
　　　　　　[......(４)]

• 　前節、
  　（１）による。
  
• 　辺Ｘ(;正方(_Ｘ)＝矩形ＡＤ)；二つの中項面積の和に等しい正方形の辺
  となっている。

(case0e)
よって
　互いに通約できない二つの中項面積が
　　加えられる
ならば、
　残りの２種の無理線分、
　すなわち
　第２の双中項線分か
　または
　二つの中項面積の和に等しい正方形の辺が
　　生ずる。

• 　（３）、 （４）による。
• 　通約できない２つの中項面積の和に等しい正方形の辺
  　　；第２の双中項線分
  　　　または
  　　　二つの中項面積の和に等しい正方形の辺
  となっている。

　二項線分と
　　それにつづく無理線分とは
　　　中項線分ともまた相互にも同じでない。

• 以下、 ( 命題１０ー７２の系(二項線分、第１・第２の双中項線分、優線分、中項面積・有理面積の和となる正方形の辺、中項面積和となる正方形の辺、中項線分は異なる)という。)
  
• 命題３６〜４１で定義される
  　二項線分、
  　第１の双中項線分
  　第２の双中項線分
  　優線分
  　中項面積と有理面積の和に等しい正方形の辺
  　中項面積の和に等しい正方形の辺
  および、
  　中項線分
  のことを言っている。
• 　この節以降は、
  　　後世の解説者のコメントが
  　　混入したものと思われる。
  　最終節のコメント参照のこと。
  

なぜなら
　中項線分上の正方形に等しい矩形が
　　有理線分上につくられる
ならぱ、
　有理で
　かつ
　矩形の底辺と長さにおいて通約できない線分を
　　幅とする。

• 　命題１０ー２２（中項線分上正方形に等矩形で底辺有理線分なら幅は有理で非通約）
  による。
• 　幅；有理線分、
  　　　¬∩底辺の有理線分非通約
  となっている。

ところが
　二項線分上の正方形に等しい矩形が
　　有理線分上につくられる
ならば、
　第１の二項線分を幅とする。

• 　命題１０ー６０ （二項線分上の正方形は有理線分上の矩形なら幅は第１の二項線分）
  による。
• 　幅；第１の二項線分
  となっている。

また
　第１の双中項線分上の正方形に等しい矩形が
　　有理線分上につくられる
ならば、
　　第２の二項線分を幅とする。

• 　命題１０ー６１ （第１の双中項線分上の正方形は有理線分上の矩形なら幅は第２の二項線分）
  による。
• 　幅；第２の二項線分
  となっている。

そして
　第２の双中項線分上の正方形に等しい矩形が
　　有理線分上につくられる
ならば、
　　第３の二項線分を幅とする。

• 命題１０ー６２ （第２の双中項線分上の正方形は有理線分上の矩形なら幅は第３の二項線分）
  による。
• 　幅；第３の二項線分　
  となっている。

　優線分の上の正方形に等しい矩形が
　　有理線分上につくられる
ならぱ、
　　第４の二項線分を幅とする。

• 命題１０ー６３ （優線分上の正方形は有理線分上の矩形なら幅は第４の二項線分）
  による。
• 　幅；第４の二項線分
  となっている。

　有理面積と中項面積の和の辺上の正方形に等しい矩形が
　　有理線分上につくられる
ならば
　　第５の二項線分を幅とする。

• 命題１０ー６４ （中項面積と有理面積の和に等しい正方形は有理線分上の矩形なら幅は第５の二項線分）
  による。
• 　幅；第５の二項線分
  となっている。

　二つの中項面積の和の辺上の正方形に等しい矩形が
　　有理線分上につくられる
ならば、
　　第６の二項線分を幅とする。

• 命題１０ー６５ （二つの中項面積の和に等しい正方形は有理線分上の矩形なら幅は第６の二項線分）
  による。
• 　幅；第６の二項線分
  となっている。

そして
　これらの幅は
　　第１のものとも、
　　また
　　相互にも異なる、
　第１のものとは
　　それが有理線分である
がゆえに、
　　相互には
　　順位において同じでない
がゆえに。

• 例えば、
  もし仮に、
  　ある線分が、
  　　二項線分でもあり、
  　　第１の双中項線分でもある
  ならば、
  　その線分を辺とする正方形に等しくて、
  　底辺が有理線分である矩形の幅は、
  　命題１０ー６０（二項線分上の正方形は有理線分上の矩形なら幅は第１の二項線分）、
  　　命題１０ー６１（第１の双中項線分上の正方形は有理線分上の矩形なら幅は第２の二項線分）
  により、
  　第１の二項線分でもあり、
  　第２の二項線分でもある
  ことになるが、
  　定義１０�Uー１（第１の二項線分）
  　定義１０�Uー２（第２の二項線分）
  により、
  ありえない。
  よって、
  　背理法により、
  　ある線分が、
  　　二項線分でもあり、
  　　第１の双中項線分でもある
  ことはありえない。
  　他の線分の組み合わせにおいても、
  　　同様である。　
  　定義１０ー３の補足 （有理線分）、
  　定義１０ー４ （面積の有理、無理、無理線分）、
  　定義１０�Uー１（第１の二項線分）
  　定義１０�Uー２（第２の二項線分）
  　定義１０�Uー３（第３の二項線分）
  　定義１０�Uー４（第４の二項線分）
  　定義１０�Uー５（第５の二項線分）
  　定義１０�Uー６（第６の二項線分）
  による。
• 　「なぜなら・・・であるから」は、
  　コメント２（命題１ー１６）
  　参照のこと。

したがって
　無理線分自身も互いに異なる。

• 　前節による。

• 命題１０ー７２は、
  　定義の補足２（命題１０ー２３）(中項面積)
  により、
  　矩形ＡＢ、ＣＤ；中項面積、
  　　ＡＢ¬∩ＣＤ
  をとり、
  改めて、
  　大きい方をＡＢ、
  　小さい方をＣＤ
  として、
  　命題の補足２（定義１０ー３）(作図.任意の有理線分)、
  　命題６ー１６の補足３(作図.線分上に矩形と等しい矩形)
  により、
  　ＥＦ；有理線分、
  　点Ｈ(;矩形ＥＧ(ＥＦ、ＥＨ)＝矩形ＡＢ
  　点Ｋ(;矩形ＨＩ(ＥＦ、ＨＫ)＝矩形ＤＣ
  をとり、
  　正方(_ＥＨ)＝正方(_ＨＫ)＋正方(_Ｘ)
  とすると、
  　Ｘ∩ＥＨ
  ならば、
  　　辺Ｙ(；正方(_Ｙ)＝矩形ＡＤ)
  　　　；第２の双中項線分
  　　となり、
  　Ｘ¬∩ＥＨ
  ならば、
  　　辺Ｙ(；正方(_Ｙ)＝矩形ＡＤ)
  　　　；第６の二項線分
  のことである。
  
• 命題１０ー７２の系(二項線分、第１・第２の双中項線分、優線分、中項面積・有理面積の和となる正方形の辺、中項面積和となる正方形の辺、中項線分は異なる)

  前提	作図	推論
  定義		10-3補,10-4,10�U-1,10�U-2,10�U-3,10�U-4,10�U-5,10�U-6
  公準
  公理
  命題		10-22,10-60,10-61,10-62,10-63,10-64,10-65
  その他

• 命題１０ー７２は推論用命題である。

  前提	作図・構成	推論
  定義		10-1,10-3補,補2(題10-23),補(題10-36),10�U-3,10�U-6
  公準
  公理		1-7補
  命題	6-16補3,補2(義10-3),10-14助	6-1,10-11,10-13,10-22,10-23系,10-56,10-59
  その他		コ2(題1-16),場合分け

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