ユークリッド原論をどう読むか（１４）
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ユークリッド原論

第１０巻
　
命題１０ー５８（有理線分と第５の二項線分の矩形に等しい正方形の辺は中項面積と有理面積の和に等しい正方形の辺）
もし
　面積が
　　有理線分と第５の二項線分
　　とによってかこまれる
ならば、
　その面積に等しい正方形の辺は
　　中項面積と有理面積の和
　　に等しい正方形の辺とよばれる
　　無理線分である。

• 面積は、
  定義１０ー２の補足２による。
• 有理線分は、
  定義１０ー３の補足による。
• 第５の二項線分は、
  定義１０�Uー５による。
• かこまれは、
  定義２ー１による。
• 等しいは、
  公理１ー７による。
• 正方形は、
  定義１ー２２による。
• 辺は、
  定義１ー１９の補足による。
• 中項面積と有理面積の和に等しい正方形の辺は、
  定義の補足（命題１０ー４０）による。
  
• 無理線分は、
  定義１０ー４による。

　面積ＡＣが
　　有理線分ＡＢと第５の二項線分ＡＤ
　　とによってかこまれ、
　ＡＤは
　　Ｅでその項に分けられ、
　ＡＥが
　　大きい項である
とせよ。
　面積ＡＣに等しい正方形の辺は
　　中項面積と有理［面積］の和
　　に等しい正方形の辺とよばれる
　　無理線分である
と主張する。

• 　命題の補足２（定義１０ー３）(作図.任意の有理線分)
  　命題１０ー５２（作図.第５の二項線分）
  　命題２ー１の補足（作図.矩形）
  　定義の補足（命題１０ー３６）(二項線分)、
  　定義１０�Uー５（第５の二項線分）、
  による。
• 　ＡＢ：指定された有理線分
  　ＡＤ：第５の二項線分
  　矩形ＡＣ：矩形(ＡＢ,ＡＤ)
  　ＡＥ∩^^2 ＥＤ、
  　ＡＥ、ＥＤ；有理線分、
  　正方(_ＡＥ)＝正方(_ＥＤ)＋正方(_Ｔ)
  　　ＡＥ¬∩Ｔ、ＥＤ∩ＡＢ
  となっている。

　先の証明と同じ作図がなされた
とせよ。

• 　命題１ー１０（作図・線分の２等分）、
  　命題１０ー１７の補足 (作図.小線分上の正方形の４分の１になる大線分の矩形分割)
  　定義１０�Uー５（第５の二項線分）
  　命題１０ー１８（上の正方形の差が大と非通約線分上の正方形⇔小の半分上の正方形に等しい大の矩形分割（コ）の辺は非通約）
  　命題１ー３１（作図・平行線）
  により、
  　ＧＨ‖ＥＫ‖ＦＬ‖ＡＢ‖ＣＤ
  をとり、
  　命題２ー１４（作図.直線図形に等しい正方形）
  により、
  　正方(ＳＮ)＝矩形(ＡＨ)、
  　正方(ＮＰ)＝矩形(ＧＫ)、
  　点Ｑ；延長ＭＮ
  をとり、
  　命題１ー１３（直線と２直角１）
  　定義１ー２２（正方形・矩形・菱形・長斜方形・トラペジオン）
  　命題１ー１４（直線と２直角２）
  により、
  　点Ｒ；延長ＯＮ
  となり、
  　コメント２（命題６ー１４）
  による。
• 　中点Ｆ(ＤＥ)
  　点Ｇ(ＡＥ;矩形(ＡＧ,ＧＥ)＝正方(_ＥＦ))
  　ＡＧ¬∩ＧＥ
  　ＧＨ‖ＥＫ‖ＦＬ‖ＡＢ‖ＣＤ
  　正方(ＳＮ)＝矩形(ＡＨ)、
  　正方(ＮＰ)＝矩形(ＧＫ)、
  　点Ｑ；延長ＭＮ
  　点Ｒ；延長ＯＮ
  　平行四辺形ＳＰ；完結
  　　　　　　[......(１)]
  となっている。

そうすれば
　ＭＱが
　　面積ＡＣに等しい正方形の辺である
ことは明らかである。

• 　命題１０ー５４助（作図.２正方形の完結と比例中項）
  により、
  　矩形(ＭＲ)；比例中項(ＳＮ,ＮＰ)
  となり、
  　命題６ー１７の補足２(等しいものの比例中項は等しい)
  により、
  　矩形(ＥＬ)＝矩形(ＭＲ)
  となり、
  　　　　　　[......(３)]
  　命題１−４３（平行四辺形の補形）
  により、
  　矩形(ＭＲ)＝矩形(ＯＱ)
  となり、
  　公理１ー２（等しいものに等しいものを加える）
  により、
  　正方(ＳＮ)+正方(ＮＰ)＋矩形(ＭＲ)＋矩形(ＯＱ)
  　　＝矩形(ＡＨ)＋矩形(ＧＫ)＋矩形(ＥＬ)＋矩形(ＦＣ)
  となり、
  　命題２ー４（２分線分上の正方形）
  により、
  　左辺＝正方(ＭＱ)、
  　命題２ー１（任意個分割との矩形）
  により、
  　右辺＝矩形(ＡＣ)
  となることによる。
  
• 　正方(ＭＱ)＝矩形(ＡＣ)
  となっている。

そこで
　ＭＱが
　　中項面積と有理面積の和
　　に等しい正方形の辺である
ことを証明しなければならない。
　ＡＧは
　　ＧＥと通約できない

• 　（１）による。
• 　ＡＧ¬∩ＧＥ
  となっている。

から、
　ＡＨは
　　ＨＥと、
すなわち
　ＭＮ上の正方形は
　　ＮＱ上の正方形と
　　通約できない。

• 　前節、
  　命題６ー１（同高の三角形、平行四辺形は底辺と比例）
  　命題１０ー１１（４量比例で一方が通約なら他方も通約）
  による。
• 　矩形ＡＨ¬∩矩形ＨＥ、
  　正方(_ＭＮ)¬∩正方(_ＮＱ)
  となっている。

したがって
　ＭＮ、ＮＱは
　　平方において通約できない。
　　　　　　[......(４)]

• 　前節、 　定義１０ー２（平方において通約） による。
• 　ＭＮ¬∩^2 ＮＱ
  となっている。

そして
　ＡＤは
　　第５の二項線分であり、
　ＥＤは
　　その小さい項である

• 　命題の設定による。
• 　ＡＤ；第５の二項線分
  　ＥＤ＜ＡＥ
  となっている。

から、
　ＥＤは
　　ＡＢと長さにおいて通約できる。
　　　　　　[......(２)]

• 　前節による。
• 　ＥＤ∩ＡＢ
  となっている。

ところが
　ＡＥは
　　ＥＤと通約できない。

• 　命題の設定、
  　定義１０�Uー５（第５の二項線分）
  による。
• 　ＡＥ¬∩ＥＤ
  となっている。

したがって
　ＡＢも
　　ＡＥと長さにおいて通約できない。

• 　前節、前々節、
  　命題１０ー１３（通約量と非通約なら非通約）
  による。
• 　ＡＢ¬∩ＡＥ
  となっている。

それゆえ
　ＡＫ、
　すなわち
　ＭＮ、ＮＱ上の正方形の和は
　　中項面積である。
　　　　　　[......(５)]

• 　前節、
  　定義の補足２（命題１０ー２３）(中項面積)
  による。
• 　矩形(ＡＫ)＝正方(_ＭＮ)＋正方(_ＮＱ)；中項面積
  となっている。

そして
　ＤＥは
　　ＡＢと、
　　すなわち
　　ＥＫと長さにおいて通約でき、

• 　（２）による。
• 　ＤＥ∩ＡＢ＝ＥＫ
  となっている。

他方
　ＤＥは
　　ＥＦと通約できる

• 　（１）、
  　定義１０ー１（通約）
  による。
• 　ＤＥ∩ＤＦ
  となっている。

から、
　ＥＦも
　　ＥＫと通約できる。

• 　前節、前々節、
  　命題１０ー１２（通約量と通約なら通約）
  による。
• 　ＥＦ∩ＥＫ
  となっている。

そして
　ＥＫは
　　有理線分である。

• 　命題の設定、
  　命題１ー３４（平行四辺形の対辺・対角・対角線）
  　命題１０ー１２（通約量と通約なら通約）
  　定義１０ー３の補足（有理線分）
  による。
• 　ＥＫ；有理線分
  となっている。

したがって
　ＥＬ、
　すなわち
　ＭＲ、
　すなわち
　矩形ＭＮＱも
　　有理面積である。

• 　前節、前々節、
  　命題１０ー１９（長さで通約な有理線分の矩形は有理面積）
  　（３）
  による。
• 　矩形(ＥＬ)＝矩形(ＭＲ)＝矩形(ＭＮ,ＮＱ)
  　　；有理面積
  となっている。

ゆえに
　ＭＮ、ＮＱは
　　平方において通約できず、
　　それらの上の正方形の和を中項面積とし、
　　それらによってかこまれる矩形を有理面積とする
　　線分である。

• 　（４）、 （５）、前節
  による。
• 　ＭＮ¬∩^2 ＮＱ、
  　正方(_ＭＮ)＋正方(_ＮＱ)；中項面積、
  　矩形(ＭＮ,ＮＱ)；有理面積
  となっている。

よって
　ＭＱは
　　中項面積と有理面積の和
　　　に等しい正方形の辺であり、
　　面積ＡＣに等しい正方形の辺である。

• 　前節による。
• 　正方(_ＭＱ)＝正方(_ＭＮ)＋正方(_ＮＱ)＋２矩形(ＭＲ) 　　＝矩形(ＡＣ)　　；中項面積と有理面積の和
  となっている。

これが証明すべきことであった。

• 命題１０ー５８は、
  　ＡＢ：指定された有理線分、
  　ＡＤ：第５の二項線分、
  　矩形ＡＣ：矩形(ＡＢ,ＡＤ)、
  　中点Ｆ(ＤＥ)、
  　点Ｇ(ＡＥ;矩形(ＡＧ,ＧＥ)＝正方(_ＥＦ))
  をとれば、
  　ＥＤ∩ＡＢ、
  　ＡＧ¬∩ＧＥ、
  　正方(_ＡＥ)＝正方(_ＥＤ)＋正方(_ＡＧーＧＥ)
  　ＡＥ∩^^2 ＥＤ、
  　ＡＥ¬∩ＡＧーＧＥ、
  　ＡＥ、ＥＤ；有理線分、
  となり、
  　ＧＨ‖ＥＫ‖ＦＬ‖ＡＢ‖ＣＤ、
  　正方(ＳＮ)＝矩形(ＡＨ)、
  　正方(ＮＰ)＝矩形(ＧＫ)、
  　点Ｑ；延長ＭＮ、
  　点Ｒ；延長ＯＮ、
  とすれば、
  　正方(ＭＱ)＝矩形(ＡＣ)、
  　ＭＮ¬∩^2 ＮＱ、
  　正方(_ＭＮ)＋正方(_ＮＱ)；中項面積、
  　矩形ＬＥ＝矩形ＭＲ；有理面積、
  　矩形(ＭＮ,ＮＱ)；有理面積
  となり、
  　ＭＱ；中項面積と有理面積の和に等しい正方形の辺
  のことである。
• 命題１０ー５８は推論用命題である。

  前提	作図・構成	推論
  定義		1-22,10-1,10-13補,補2(題10-23),補(題10-36),10�U-5
  公準
  公理		1-2
  命題	1-10,1-31,2-1補,2-14,補2(義10-3),10-17補,10-52,10-54助	1-13,1-14,1-34,1-43,2-1,2-4,6-1,6-17補2,10-11,10-12,10-13,10-18,10-19
  その他	コ2(題6-14)

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