ユークリッド原論をどう読むか（１４）
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ユークリッド原論

第１０巻
　
命題１０ー５９（有理線分と第５の二項線分の矩形に等しい正方形の辺は二つの中項面積の和に等しい正方形の辺）
もし
　面積が
　　有理線分と第６の二項線分
　　とによってかこまれる
ならば、
　その面積に等しい正方形の 辺は
　　二つの中項面積の和に等しい正方形の辺
　　とよばれる無理線分である。

• 面積は、
  定義１０ー２の補足２による。
• 有理線分は、
  定義１０ー３の補足による。
• 第６の二項線分は、
  定義１０�Uー６による。
• かこまれは、
  定義２ー１による。
• 等しいは、
  公理１ー７による。
• 正方形は、
  定義１ー２２による。
• 辺は、
  定義１ー１９の補足による。
• 二つの中項面積の和に等しい正方形の辺は、
  定義の補足（命題１０ー４１）による。
• 無理線分は、
  定義１０ー４による。

　面積ＡＢＣＤが
　　有理線分ＡＢと第６の二項線分Ａ
　　とによってかこまれ、
　ＡＤは
　　Ｅでその項に分けられ、
　　ＡＥが大きい項である
とせよ。
　ＡＣに等しい正方形の辺は
　　二つの中項面積の和に等しい正方形の辺である
と主張する。

• 　命題の補足２（定義１０ー３）(作図.任意の有理線分)
  　命題１０ー５３（作図.第６の二項線分）
  　命題２ー１の補足（作図.矩形）
  　定義の補足（命題１０ー３６）(二項線分)、
  　定義１０�Uー６（第６の二項線分）、
  による。
• 　ＡＢ：指定された有理線分
  　ＡＤ：第６の二項線分
  　矩形ＡＣ：矩形(ＡＢ,ＡＤ)
  　ＡＥ∩^^2 ＥＤ、
  　ＡＥ、ＥＤ；有理線分、
  　正方(_ＡＥ)＝正方(_ＥＤ)＋正方(_Ｔ)
  　　ＡＥ¬∩Ｔ、（ＡＥ、ＥＤ）¬∩ＡＢ
  となっている。
  　　　　　　[......(１)]
  

先の証明と同じ作図がなされたとせよ。

• 　命題１ー１０（作図・線分の２等分）、
  　命題１０ー１７の補足 (作図.小線分上の正方形の４分の１になる大線分の矩形分割)
  　定義１０�Uー６（第６の二項線分）
  　命題１０ー１８（上の正方形の差が大と非通約線分上の正方形⇔小の半分上の正方形に等しい大の矩形分割（コ）の辺は非通約）
  　命題１ー３１（作図・平行線）
  により、
  　ＧＨ‖ＥＫ‖ＦＬ‖ＡＢ‖ＣＤ
  をとり、
  　命題２ー１４（作図.直線図形に等しい正方形）
  により、
  　正方(ＳＮ)＝矩形(ＡＨ)、
  　正方(ＮＰ)＝矩形(ＧＫ)、
  　点Ｑ；延長ＭＮ
  をとり、
  　命題１ー１３（直線と２直角１）
  　定義１ー２２（正方形・矩形・菱形・長斜方形・トラペジオン）
  　命題１ー１４（直線と２直角２）
  により、
  　点Ｒ；延長ＯＮ
  となり、
  　コメント２（命題６ー１４）
  による。
• 　中点Ｆ(ＤＥ)
  　点Ｇ(ＡＥ;矩形(ＡＧ,ＧＥ)＝正方(_ＥＦ))
  　ＡＧ¬∩ＧＥ
  　ＧＨ‖ＥＫ‖ＦＬ‖ＡＢ‖ＣＤ
  　正方(ＳＮ)＝矩形(ＡＨ)、
  　正方(ＮＰ)＝矩形(ＧＫ)、
  　点Ｑ；延長ＭＮ
  　点Ｒ；延長ＯＮ
  　平行四辺形ＳＰ；完結
  となっている。
  　　　　　　[......(２)]
  

そうすれば
　ＭＱが
　　ＡＣに等しい正方形の辺であり、
　ＭＮが
　　ＮＱと平方において通約できない
ことは明らかである。

• 　命題１０ー５４助（作図.２正方形の完結と比例中項）
  により、
  　矩形(ＭＲ)；比例中項(ＳＮ,ＮＰ)
  となり、
  　命題６ー１７の補足２(等しいものの比例中項は等しい)
  により、
  　矩形(ＥＬ)＝矩形(ＭＲ)
  となり、
  　命題１−４３（平行四辺形の補形）
  により、
  　矩形(ＭＲ)＝矩形(ＯＱ)
  となり、
  　公理１ー２（等しいものに等しいものを加える）
  により、
  　正方(ＳＮ)+正方(ＮＰ)＋矩形(ＭＲ)＋矩形(ＯＱ)
  　　＝矩形(ＡＨ)＋矩形(ＧＫ)＋矩形(ＥＬ)＋矩形(ＦＣ)
  となり、
  　命題２ー４（２分線分上の正方形）
  により、
  　左辺＝正方(ＭＱ)、
  　命題２ー１（任意個分割との矩形）
  により、
  　右辺＝矩形(ＡＣ)
  となることによる。
  
• 　矩形(ＥＬ)＝矩形(ＭＲ)
  　矩形(ＭＲ)＝矩形(ＯＱ)
  　正方(ＳＮ)+正方(ＮＰ)＋矩形(ＭＲ)＋矩形(ＯＱ)
  　　＝矩形(ＡＨ)＋矩形(ＧＫ)＋矩形(ＥＬ)＋矩形(ＦＣ)
  　正方(ＭＱ)＝矩形(ＡＣ)
  となっている。
  　　　　　　[......(３)]
  

そして
　ＥＡは
　　ＡＢと長さにおいて通約できない

• 　（１）による。
• 　ＥＡ¬∩ＡＢ
  となっている。

から、
　ＥＡ、ＡＢは
　　平方においてのみ通約できる有理線分である。

• 　前節、
  　定義１０ー３の補足（有理線分）
  による。
• 　ＥＡ∩^^2 ＡＢ
  となっている。

したがって
　ＡＫ、
　すなわち
　ＭＮ、ＮＱ上の正方形の和は
　　中項面積である。
　　　　　　[......(４)]

• 　前節、
  　定義の補足２（命題１０ー２３）(中項面積)
  による。
• 　矩形ＡＫ＝正方(_ＭＮ)＋正方(_ＮＱ)；中項面積
  となっている。

また
　ＥＤは
　　ＡＢと長さにおいて通約できない

• 　（１）による。
• 　ＥＤ¬∩ＡＢ
  となっている。

から、
　ＦＥも
　　ＥＫと通約できない。

• 　前節、 （２）
  　命題１０ー１３（通約量と非通約なら非通約）
  による。　
  
• 　ＦＥ¬∩ＥＫ
  となっている。

したがって
　ＦＥ、ＥＫは
　　平方においてのみ通約できる有理線分である。

• 　前節、 （１）
  　定義１０ー３の補足（有理線分）
  による。
• 　ＦＥ∩^^2 ＥＫ、
  　ＦＥ、ＥＫ；有理線分
  となっている。

ゆえに
　ＥＬ、
　すなわち
　ＭＲ、
　すなわち
　矩形ＭＮＱは
　　中項面積である。
　　　　　　[......(５)]

• 　前節、
  　定義の補足２（命題１０ー２３）(中項面積)
  による。
• 　矩形ＥＬ＝矩形ＭＲ
  　　＝矩形(ＭＮ、ＮＱ)；中項面積
  となっている。

そして
　ＡＥは
　　ＥＦと通約できない

• 　（１） （２）、
  　命題１０ー１３（通約量と非通約なら非通約）
  による。
• 　ＡＥ¬∩ＥＦ
  となっている。

から、
　ＡＫも
　　ＥＬと通約できない。

• 　前節、
  　命題６ー１（同高の三角形、平行四辺形は底辺と比例）
  　命題１０ー１３（通約量と非通約なら非通約）
  による。
• 　矩形ＡＫ¬∩矩形ＥＬ
  となっている。

ところが
　ＡＫは
　　ＭＮ、ＮＱ上の正方形の和であり、
　ＥＬは
　　矩形ＭＮＱである。

• 　（２） （３）による。
• 　矩形ＡＫ＝正方(_ＭＮ)＋正方(_ＮＱ)、
  　矩形ＥＬ＝矩形(ＭＮ,ＮＱ)
  となっている。

したがって
　ＭＮ、ＮＱ上の正方形の和は
　　矩形ＭＮＱと通約できない。

• 　前節、前々節、
  　命題１０ー１３（通約量と非通約なら非通約）
  による。
• 　正方(_ＭＮ)＋正方(_ＮＱ)¬∩矩形(ＭＮ,ＮＱ)
  となっている。

そして
　それらの双方は
　　中項面積であり、

• 　（４） （５）による。
• 　正方(_ＭＮ)＋正方(_ＮＱ)、矩形(ＭＮ,ＮＱ)
  　　；中項面積
  となっている。

　ＭＮ、ＮＱは
　　平方において通約できない。

• 　（２）、
  　命題６ー１（同高の三角形、平行四辺形は底辺と比例）
  　命題１０ー１３（通約量と非通約なら非通約）
  による。
  
• 　ＭＮ¬∩^2 ＮＱ
  となっている。

よって
　ＭＱは
　　二つの中項面積の和に等しい正方形の辺であり、
　　ＡＣに等しい正方形の辺である。

• 　前節、前々節、
  定義の補足（命題１０ー４１）(中項面積の和に等しい正方形の辺)
  による。
  
• 　ＭＱ；二つの中項面積の和に等しい正方形の辺
  となっている。

これが証明すべきことであった。

• 命題１０ー５９は、
  　ＡＢ：指定された有理線分、
  　ＡＤ：第６の二項線分、
  　矩形ＡＣ：矩形(ＡＢ,ＡＤ)、
  　中点Ｆ(ＤＥ)、
  　点Ｇ(ＡＥ;矩形(ＡＧ,ＧＥ)＝正方(_ＥＦ))
  をとれば、
  　（ＡＥ、ＥＤ）¬∩ＡＢ、
  　ＡＧ¬∩ＧＥ、
  　正方(_ＡＥ)＝正方(_ＥＤ)＋正方(_ＡＧーＧＥ)
  　ＡＥ∩^^2 ＥＤ、
  　ＡＥ¬∩ＡＧーＧＥ、
  　ＡＥ、ＥＤ；有理線分、
  となり、
  　ＧＨ‖ＥＫ‖ＦＬ‖ＡＢ‖ＣＤ、
  　正方(ＳＮ)＝矩形(ＡＨ)、
  　正方(ＮＰ)＝矩形(ＧＫ)、
  　点Ｑ；延長ＭＮ、
  　点Ｒ；延長ＯＮ、
  とすれば、
  　正方(ＭＱ)＝矩形(ＡＣ)、
  　ＭＮ¬∩^2 ＮＱ、
  　正方(_ＭＮ)＋正方(_ＮＱ)；中項面積、
  　矩形ＬＥ＝矩形ＭＲ；中項面積、
  　矩形(ＭＮ,ＮＱ)；中項面積
  　正方(_ＭＮ)＋正方(_ＮＱ)¬∩矩形(ＭＮ,ＮＱ)
  となり、
  　ＭＱ；２つの中項面積の和に等しい正方形の辺
  のことである。
  
• 命題１０ー５９は推論用命題である。

  前提	作図・構成	推論
  定義		1-22,補(題10-36),10-3補,補2(題10-23),補(題10-41),10�U-6
  公準
  公理		1-2
  命題	1-10,1-31,2-1補,2-14,補2(義10-3),10-17補,10-53,10-54助	1-13,1-14,1-43,2-1,2-4,6-1,6-17補2,10-13,10-18
  その他	コ2(題6-14)

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