ユークリッド原論をどう読むか（５）
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ユークリッド原論

第２巻

命題２ー１４（作図.直線図形に等しい正方形）
　与えられた直線図形に
　等しい正方形を作ること。

• 直線図形は、定義１ー１９による。
• 等しいは、公理１ー７による。
• 正方形は、定義１ー２２による。

　与えられた直線図形をＡ
とせよ。
　このとき直線図形Ａに等しい
　正方形を作らねばならぬ。

　直線図形Ａに等しい
　直角平行四辺形ＢＤが
　つくられた
とせよ。
　　　　　　【・・・(a)】

• 　命題１ー４５（作図.直線図形,直線角と平行四辺形）
  による。

そうすれば
もし
　ＢＥが
　ＥＤに等しけれ
ば、
　命じられたことはなされたことになるであろう。

• 　この節と次節の「もし」
  は、
  　場合分けである。
  

もし
　等しくなけれ
ば、
　ＢＥ、ＥＤの一方が大きい。

• 　公理１ー７の補足（線分・角は大か等か小）
  による。
• 　ＢＥ＞ＥＤ
  または、
  　ＢＥ＜ＥＤ
  となっている。
  

ＢＥが大きいとし、

• 　ＥＤが大きくても同様の論証ができる。
• 　ＢＥ＞ＥＤ
  となっている。

　 ＢＥが
　Ｆまで延長され、

• 　公準１ー２（作図.直線の延長）
  による。
  　Ｆ；点（ＢＥの延長上）
  となっている。
  

ＥＦが
　ＥＤに等しくされ、
　　　　　　【・・・(b)】

• 　ＢＥを十分延長しておいて、
  　命題１ー３の補足（作図.等しい線分となる点）
  により、
  　ＥからＥＤに等しくなるように
  　延長上に点Ｆをとる。
• 　Ｆ；点（ＢＥの延長上、ＥＦ＝ＥＤ）
  となり、
  　ＢＥ＞ＥＦ
  となっている。

ＢＦが
　Ｇで２等分され、
　　　　　　【・・・(c)】

• 　命題１ー１０（作図・線分の２等分）
  による。
• 　Ｇ；中点（ＢＦ）
  となっている。

Ｇを中心とし、
　ＧＢ、ＧＦの一つを半径として
　半円ＢＨＦが描かれ、
　　　　　　【・・・(d)】

• 　公準１ー３（作図.円）
  による。
• 　半円ＢＨＦ；半円（中心Ｇ、直径ＢＦ、Ｄと反対側）
  となっている。
  

ＤＥが
　Ｈまで延長され、

• 　公準１ー２（作図.直線の延長）
  により
  　ＤＥがＥの方向に延長され、
  　半円の内部の点を通る。
  　命題の補足３（定義１ー１４）（図形と直線の交点）
  により
  　半円の円周と交わり、
  　交点をＨ
  とする。
  　原論は溯ってＨを使用している。
• 　Ｈ；交点（ＤＥの延長、半円の弧ＢＦ）
  となっている。

　ＧＨが
　結ばれた
とせよ。

• 　公準１ー１（作図.直線）
  による。

そうすれば
　線分ＢＦ
は
　Ｇにおいて等しい部分に、
　Ｅにおいて不等な部分に
　分けられた

• 　(b)、 (c)による。
• 　Ｇ；中点（ＢＦ）、
  　Ｅ；点（ＢＦ、ＢＥ≠ＥＦ）
  となっている。

から、
　ＢＥ、ＥＦにかこまれた矩形と
　ＥＧ上の正方形と
　の和
は
　ＧＦ上の正方形に等しい。
　　　　　　【・・・(1)】

• 　前節、
  　命題２ー５（線分の矩形分割）
  による。
• 　rec(ＢＥ、ＥＦ)＋sq(_ＥＧ)
  　＝sq(_ＧＦ)
  となっている。

そして
ＧＦは
　ＧＨに等しい。

• 　(d) による。
• 　ＧＦ＝ＧＨ
  となっている。

それゆえ
矩形ＢＥ、ＥＦとＧＥ上の正方形と
　の和は
　ＧＨ上の正方形に等しい。
0

• 　前節、(1) 、
  　公理１ー１（同じものに等しい）
  による。
• 　rec(ＢＥ、ＥＦ)＋sq(_ＧＥ)
  　＝sq(_ＧＨ)
  となっている。

ところが
　ＨＥ、ＥＧ上の正方形
　の和は
　ＧＨ上の正方形に等しい。

• 　(a)、
  　命題１ー４７（三平方の定理）
  による。
• 　sq(_ＨＥ)＋sq(_ＥＧ)
  　＝sq(_ＧＨ)
  となっている。

ゆえに
　矩形ＢＥ、ＥＦとＧＥ上の正方形との和
は
　ＨＥ、ＥＧ上の正方形
　の和に等しい。

• 　前節、前々節、
  　公理１ー１の補足（等しいものに等しい）
  による。
• 　rec(ＢＥ、ＥＦ)＋sq(_ＧＥ)
  　＝sq(_ＨＥ)＋sq(_ＥＧ)
  となっている。

　双方から
　ＧＥ上の正方形が
　ひかれた
とせよ。
そうすれば
　残りのＢＥ、ＥＦに
　かこまれた矩形
は
　ＥＨ上の正方形に等しい。

• 　前節、
  　公理１ー３（等しいものから等しいものをひく）
  による。
• 　rec(ＢＥ、ＥＦ)＝sq(_ＥＨ)
  となっている。

ところが
　ＥＦ
は
　ＥＤに等しい
から、
　矩形ＢＥ、ＥＦ
は
　ＢＤである。

• 　定義２ー１（任意個分割との矩形）
  による。
• 　rec(ＢＥ、ＥＦ)＝rec(ＢＤ)
  となっている。

それゆえ
　平行四辺形ＢＤは
　ＨＥ上の正方形に等しい。

• 　前節、前々節、
  　公理１ー１（同じものに等しい）
  による。

そして
　ＢＤ
は
　直線図形Ａに等しい。

• 　(a) による。
• 　rec(ＢＤ)＝直線図形Ａ
  となっている。

ゆえに
　直線図形Ａも
　ＥＨ上に描かれた正方形に等しい。

• 　前節、前々節、
  　公理１ー１（同じものに等しい）
  による。

よって
　与えられた直線図形Ａに等しい正方形、
すなわち
　ＥＨ上に描かれ得る正方形が
　つくられた。

• 正方形の作図は命題１ー４６（作図.線分上に正方形）
  による。

これが作図すべきものであった。

• 　本命題が、
  　　原論第２巻のキーとなる
  　　　命題である。
  これにより、
  　与えられた直線図形の面積
  　に等しい正方形
  　の１辺が
  　　求められる。
  原理的には、
  　比例中項が
  　　求められる
  ことになるが、
  比例論が展開される前に、
  　命題２ー５（線分の矩形分割）,
  　命題１ー４７（三平方の定理）
  により，
  　求められている
  ことに注目すべきである．
  なお、
  　原論第２巻の内容について、
  　　以下の内容を扱っている
  　　バビロニア数学との関連が
  　　　指摘されている、
  (1) ax^2=bx,
  (2) ax^2=c,
  (3) bx =c,
  (4) ax^2+bx=c
  (5) ax^2+c =bx
  (6) bx+c=ax^2
  　本命題が、
  　　(2)と関係するのは明らかである。
  　命題２ー５（線分の矩形分割）は、
  本質的に
  　　矩形（Ｘ、ＢーＸ）＝Ｃ
  　　となるＸを求めることに関連し、
  　　(5)と関連する。
  即ち、
  　命題２ー５（線分の矩形分割）
  により、
  　　矩形（Ｘ、ＢーＸ）＋正方（＿Ｂ／２−Ｘ）＝正方（＿Ｂ／２）
  となるので、
  　　正方（＿Ｂ／２−Ｘ）＝正方（＿Ｂ／２）ーＣ
  となる。
  ここで、
  　　（Ｂ／２）上に正方形を作図し、
  　　面積Ｃを
  　　（Ｂ／２）上の矩形として作図すると、
  　正方（＿Ｂ／２）ーＣが
  　　（Ｂ／２）上の矩形として表され、
  　この矩形と等しい正方形の辺Ｄが
  　　命題２ー１４（作図.直線図形に等しい正方形）
  により求まり、
  　　Ｂ／２ーＤとしてＸを求める
  ことができる。
  
  　命題２ー６（線分の矩形外分割）は、
  本質的に
  　　矩形（Ｘ、Ｂ＋Ｘ）＝Ｃ
  　　となるＸを求めることに関連し、
  　　(4)と関連する。
  即ち、
  　命題２ー６（線分の矩形外分割）
  により、
  　　矩形（Ｘ、Ｂ＋Ｘ）＋正方（＿Ｂ／２）＝正方（＿Ｂ／２＋Ｘ）
  となるので、
  　　正方（＿Ｂ／２＋Ｘ）＝正方（＿Ｂ／２）＋Ｃ
  となる。
  ここで、
  　　（Ｂ／２）上に正方形を作図し、
  　　面積Ｃを
  　　（Ｂ／２）上の矩形として作図すると、
  　正方（＿Ｂ／２）＋Ｃが
  　　（Ｂ／２）上の矩形として表され、
  　この矩形と等しい正方形の辺Ｄが
  　命題２ー１４（作図.直線図形に等しい正方形）
  により求まり、
  　　ＤーＢ／２としてＸを求める ことができる。
  なお、
  　(6)は、
  　　矩形(Ｘ、ＸーＢ)＝Ｃ
  　　となるＸを求める
  ことであるが、
  　　ＸーＢをＹとすると、
  　　矩形(Ｙ、Ｙ＋Ｂ)＝Ｃ
  となって、
  本質的には(4)となる。
  また、
  　命題２ー１１（作図.線分の混合分割）は、
  　　矩形(Ｘ、Ｘ＋Ｂ)＝正方(_Ｂ)
  　　となるＸを求める
  ことであり、
  　これも(4)において、
  　　Ｃ＝正方(_Ｂ)とした場合となる。
  
  　命題２ー５（線分の矩形分割）、
  　命題２ー６（線分の矩形外分割）
  の何れによるとしても、
  　　上述のＸを求めるためには
  　命題２ー１４（作図.直線図形に等しい正方形）
  を欠くことができない。
  以上が、
  バビロニア数学と関連させた意味である。
  
• 　直線図形Ａ
  に対して、
  　rec(ＢＥ、ＥＤ)
  をとり、
  　ＢＥ＞ＥＤ
  とすると、
  　Ｆ；点（ＢＥの延長上、ＥＦ＝ＥＤ）
  　Ｇ；中点（ＢＦ）
  　半円ＢＨＦ；半円（中心Ｇ、直径ＢＦ、Ｄと反対側）
  　Ｈ；交点（ＤＥの延長、半円の弧ＢＦ）
  をとれば、
  　sq(_ＥＨ)＝直線図形Ａ
  のことである。
• 　命題2-14は作図用命題である。
  

  前提	作図	推論
  定義
  公準	1-1 , 1-2 , 1-3
  公理		1-1 , 1-3 , 1-7補
  命題	補3(義1-14) , 1-3補 , 1-10 , 1-45 , 1-46	1-47 , 2-1 , 2-5
  その他

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