ユークリッド原論をどう読むか（１４）
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ユークリッド原論

第１０巻
　
命題１０ー５７（有理線分と第４の二項線分の矩形に等しい正方形の辺は優線分）
もし
　面積が
　　有理線分と第４のニ項線分によってかこまれる
ならば、
　その面積に等しい正方形の辺は
　　優線分とよばれる無理線分である。

• 面積は、
  定義１０ー２の補足２による。
• 有理線分は、
  定義１０ー３の補足による。
• 第４のニ項線分は、
  定義１０�Uー４による。
• かこまれるは、
  定義２ー１による。
• 等しいは、
  公理１ー７による。
• 正方形は、
  定義１ー２２による。
• 辺は、
  定義１ー１９の補足による。
• 優線分は、
  定義の補足(命題１０ー３９)による。
• 無理線分は、
  定義１０ー４による。

　面積ＡＣが
　　有理線分ＡＢと第４のニ項線分ＡＤ
　　とによってかこまれ、
　ＡＤは
　　Ｅでその項に分けられ、
　　ＡＥが大きい項である
とせよ。
　面積ＡＣに等しい正方形の辺は
　　優線分とよばれる無理線分である
と主張する。

• 　命題の補足２（定義１０ー３）(作図.任意の有理線分)
  　命題１０ー５１（作図.第４の二項線分）
  　命題２ー１の補足（作図.矩形）
  による。
  
• 　ＡＢ：指定された有理線分
  　ＡＤ：第４の二項線分
  　矩形ＡＣ：矩形(ＡＢ,ＡＤ)
  となっている。

　ＡＤは
　　第４の二項線分である

• 　命題の設定である。
• 　ＡＤ；第４の二項線分
  となっている。

から、
　ＡＥ、ＥＤは
　　平方においてのみ通約できる
　　有理線分であり、
　ＡＥ上の正方形は
　　ＥＤ上の正方形より
　　ＡＥと通約できない線分上の正方形だけ大きく、
　ＡＥは
　　ＡＢと長さにおいて通約できる。
　　　　　　[......(３)]

• 　前節、
  　定義の補足（命題１０ー３６）(二項線分)、
  　定義１０�Uー４（第４の二項線分）、
  による。
  
• 　ＡＥ∩^^2 ＥＤ、
  　ＡＥ、ＥＤ；有理線分、
  　正方(_ＡＥ)＝正方(_ＥＤ)＋正方(_Ｔ)
  　　ＡＥ¬∩Ｔ、
  　ＡＥ∩ＡＢ
  となっている。

　ＤＥが
　　Ｆで２等分され、
　　ＥＦ上の正方形に等しく
　　ＡＥ上に平行四辺形ＡＧ、ＧＥがつくられた
とせよ。

• 　命題１ー１０（作図・線分の２等分）、
  　命題１０ー１７の補足 (作図.小線分上の正方形の４分の１になる大線分の矩形分割)
  による。
• 　中点Ｆ(ＤＥ)
  　点Ｇ(ＡＥ;矩形(ＡＧ,ＧＥ)＝正方(_ＥＦ))
  となっている。

そうすれば
　ＡＧは
　　ＧＥと長さにおいて通約できない。
　　　　　　[......(１)]

• 　前節、
  　定義１０�Uー４（第４の二項線分）
  　命題１０ー１８（上の正方形の差が大と非通約線分上の正方形⇔小の半分上の正方形に等しい大の矩形分割（コ）の辺は非通約）
  による。
• 　ＡＧ¬∩ＧＥ
  となっている。

　ＡＢに平行に
　　ＧＨ、ＥＫ、ＦＬがひかれ、
　残りの作図も
　　この前と同じようにされた
とせよ。

• 　命題１ー３１（作図・平行線）
  により、
  　ＧＨ‖ＥＫ‖ＦＬ‖ＡＢ‖ＣＤ
  をとり、
  　命題２ー１４（作図.直線図形に等しい正方形）
  により、
  　正方(ＳＮ)＝矩形(ＡＨ)、
  　正方(ＮＰ)＝矩形(ＧＫ)、
  　点Ｑ；延長ＭＮ
  をとり、
  　　　　　　[......(２)]
  　命題１ー１３（直線と２直角１）
  　定義１ー２２（正方形・矩形・菱形・長斜方形・トラペジオン）
  　命題１ー１４（直線と２直角２）
  により、
  　点Ｒ；延長ＯＮ
  となり、
  　コメント２（命題６ー１４）
  による。
  
• 　ＧＨ‖ＥＫ‖ＦＬ‖ＡＢ‖ＣＤ
  　正方(ＳＮ)＝矩形(ＡＨ)、
  　正方(ＮＰ)＝矩形(ＧＫ)、
  　点Ｑ；延長ＭＮ
  　点Ｒ；延長ＯＮ
  　平行四辺形ＳＰ；完結
  となっている。

そうすれば
　ＭＱが
　　面積ＡＣに等しい正方形の辺である
ことは明らかである。
　　　　　　　[......(７)]

• 　命題１０ー５４助（作図.２正方形の完結と比例中項）
  により、
  　矩形(ＭＲ)；比例中項(ＳＮ,ＮＰ)
  となり、
  　命題６ー１７の補足２(等しいものの比例中項は等しい)
  により、
  　矩形(ＥＬ)＝矩形(ＭＲ)
  となり、
  　　　　　　[......(４)]
  　命題１−４３（平行四辺形の補形）
  により、
  　矩形(ＭＲ)＝矩形(ＯＱ)
  となり、
  　公理１ー２（等しいものに等しいものを加える）
  により、
  　正方(ＳＮ)+正方(ＮＰ)＋矩形(ＭＲ)＋矩形(ＯＱ)
  　　＝矩形(ＡＨ)＋矩形(ＧＫ)＋矩形(ＥＬ)＋矩形(ＦＣ)
  となり、
  　命題２ー４（２分線分上の正方形）
  により、
  　左辺＝正方(ＭＱ)、
  　命題２ー１（任意個分割との矩形）
  により、
  　右辺＝矩形(ＡＣ)
  となることによる。
  
• 　正方(ＭＱ)＝矩形(ＡＣ)
  となっている。

次に
　ＭＱが
　　優線分とよばれる無理線分である
ことを証明しなければならない。
　ＡＧは
　　ＥＧと長さにおいて通約できない

• 　（１）による。
• 　ＡＧ¬∩ＥＧ
  となっている。

から、
　ＡＨは
　　ＧＫと、
　すなわち
　ＳＮは
　　ＮＰと通約できない。

• 　前節、
  　命題６ー１（同高の三角形、平行四辺形は底辺と比例）
  　命題１０ー１１（４量比例で一方が通約なら他方も通約）
  による。
  
• 　矩形ＡＨ¬∩矩形ＧＫ、
  　正方ＳＮ¬∩正方ＮＰ
  となっている。

したがって
　ＭＮ、ＮＱは
　　平方において通約できない。
　　　　　　[......(６)]

• 　前節、
  　定義１０ー２（平方において通約）
  による。
• 　ＭＮ¬∩^2 ＮＱ
  となっている。

そして
　ＡＥは
　　ＡＢと長さにおいて通約でき、

• 　命題の設定、
  　定義１０�Uー４（第４の二項線分）
  による。
• 　ＡＥ∩ＡＢ
  となっている。

　ＡＫは
　　有理面積であり、
　　ＭＮ、ＮＱ上の正方形の和に等しい。

• 　前節、
  　命題１０ー１９（長さで通約な有理線分の矩形は有理面積）
  　（２）、
  による。　
• 　ＡＫ；有理面積
  　ＡＫ＝正方(_ＭＮ)＋正方(_ＮＱ)
  となっている。

したがって
　ＭＮ、ＮＱ上の正方形の和は
　　有理面積である。
　　　　　[......(５)]

• 　前節による。
• 　正方(_ＭＮ)＋正方(_ＮＱ)；有理面積
  となっている。

そして
　ＤＥは
　　ＡＢと、
　　すなわちＥＫと
　　長さにおいて通約できず、

• 　（３）による。
• 　ＤＥ¬∩（ＡＢ、ＥＫ）
  となっている。

　他方
　ＤＥは
　　ＥＦと通約できる

• 　Ｆ：中点（ＥＤ）
  　定義１０ー１（通約）
  による。
• 　ＤＥ∩ＥＦ
  となっている。

から、
　ＥＦは
　　ＥＫと長さにおいて通約できない。

• 　前節、前々節、
  　命題１０ー１３（通約量と非通約なら非通約）
  による。
• 　ＥＦ¬∩ＥＫ
  となっている。

したがって
　ＥＫ、ＥＦは
　　平方においてのみ通約できる有理線分である。

• 　前節、 （３）による。
  
• 　ＥＫ∩^^2 ＥＦ
  となっている。

ゆえに
　ＬＥ、
　ずなわち
　ＭＲは
　　中項面積である。

• 　前節、
  　定義の補足２（命題１０ー２３）(中項面積)
  　（４）による。
• 　矩形ＬＥ＝矩形ＭＲ；中項面積
  となっている。

　そして
　ＭＮ、ＮＱによってかこまれる。

• 　定義２ー１（かこまれる）
  による。
• 　矩形ＭＲ(ＭＮ,ＮＱ)
  となっている。

したがって
　矩形ＭＮ、ＮＱは
　　中項面積である。

• 　前節、前々節による。
• 　矩形(ＭＮ,ＮＱ)；中項面積
  となっている。

そして
　ＭＮ、ＮＱとの正方形の和は
　　有理面積であり、

• 　（５）による。
• 　正方(_ＭＮ)＋正方(_ＮＱ)；有理面積
  となっている。

　ＭＮ、ＮＱは
　　平方において通約できない。

• 　（６）による。
• 　　ＭＮ¬∩^2 ＮＱ
  となっている

ところがもし
　平方において通約できず、
　　それらの上の正方形の和を有理面積とし、
　　それらによってかこまれる矩形を中項面積とする
　　２線分が加えられる
ならば、
　全体は無理線分であり、
　優線分とよばれる。

• 　定義の補足(命題１０ー３９) (優線分)
  である。

よって
　ＭＱは
　　優線分とよばれる無理線分であり、
　　面積ＡＣに等しい正方形の辺である。

• 　前節、前々節、 （７）による。
• 　ＭＱ；優線分、
  　正方(_ＭＱ)＝矩形ＡＣ
  となっている。

これが証明すべきことであった。

• 命題１０ー５７は、
  　ＡＢ：指定された有理線分、
  　ＡＤ：第４の二項線分、
  　矩形ＡＣ：矩形(ＡＢ,ＡＤ)、
  　中点Ｆ(ＤＥ)、
  　点Ｇ(ＡＥ;矩形(ＡＧ,ＧＥ)＝正方(_ＥＦ))
  をとれば、
  　ＡＥ∩^^2 ＥＤ、
  　ＡＥ、ＥＤ；有理線分、
  　ＡＥ∩ＡＢ、
  　ＡＧ¬∩ＧＥ、
  　正方(_ＡＥ)＝正方(_ＥＤ)＋正方(_ＡＧーＧＥ)
  　ＡＥ¬∩ＡＧーＧＥ、
  となり、
  　ＧＨ‖ＥＫ‖ＦＬ‖ＡＢ‖ＣＤ、
  　正方(ＳＮ)＝矩形(ＡＨ)、
  　正方(ＮＰ)＝矩形(ＧＫ)、
  　点Ｑ；延長ＭＮ、
  　点Ｒ；延長ＯＮ、
  とすれば、
  　正方(ＭＱ)＝矩形(ＡＣ)、
  　ＭＮ¬∩^2 ＮＱ、
  　正方(_ＭＮ)＋正方(_ＮＱ)；有理面積、
  　矩形ＬＥ＝矩形ＭＲ；中項面積、
  　矩形(ＭＮ,ＮＱ)；中項面積
  となり、
  　ＭＱ；優線分
  のことである。
  
• 命題１０ー５７は推論用命題である。

  前提	作図・構成	推論
  定義		1-22,2-1,10-1,10-2,補2(題10-23),補(題10-36),補(題10-39),10�U-4
  公準
  公理		1-2
  命題	1-10,1-31,2-1補,2-4,補2(義10-3),10-17補,10-51,10-54助	1-13,1-14,1-43,2-1,2-4,6-1,6-17補2,10-11,10-13,10-18,10-19
  その他	コ2(題6-14)

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