ユークリッド原論をどう読むか（１４）
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ユークリッド原論

第１０巻
　
命題１０ー５４助（作図.２正方形の完結と比例中項）
　補助定理
　二つの正方形ＡＢ、ＢＣがあり、
　ＤＢが
　　ＢＥと一直線をなす
ようにおかれたとせよ。
そうすれば
　ＦＢもＢＧと一直線をなす。
そして
　平行四辺形が完結された
とせよ。
　ＡＣは
　　正方形であり、
　ＤＨは
　　ＡＢ、ＢＣの比例中項であり、
さらに
　ＤＣは
　　ＡＣ、ＣＢの比例中項である
と主張する。

• 　この補助命題は、
  　　いきなり図形を
  　　　文字で指定している書き振り
  から
  　　後世のコメントの挿入
  　　と思われる。
  　命題の一般的な表現としては、
  ［２つの正方形が
  　　それぞれの隣り合う２辺が
  　　一直線をなすように置かれ、
  　平行四辺形が完結された
  とせよ。
  　平行四辺形は正方形であり、
  　もとの２つの正方形の比例中項、
  　もとの正方形と
  　　完結され拡大された正方形の比例中項は、
  　　ともに、それぞれの１辺ずつによる矩形である。］
  のようなものであろう。
• 正方形は、
  定義１ー２２による。
• 直線は、
  定義１ー４による。
• 平行四辺形は、
  定義１ー２２の補足２による。
• 完結は、
  コメント２（命題６ー１４）による。
• 比例中項は、
  定義の補足３（命題６ー８）による。

　ＤＢはＢＦに、
　ＢＥはＢＧに等しい

　各２辺を１直線とする
　　２正方形は、
　命題１−４６（作図.線分上に正方形） による。
• 　定義１ー２２（正方形・矩形・菱形・長斜方形・トラペジオン）
  による。
• 　ＤＢ＝ＢＦ、
  　ＢＥ＝ＢＧ
  となっている。

から、
　ＤＥ全体は
　　ＦＧ全体に等しい。

• 　前節、
  　公理１ー２（等しいものに等しいものを加える）
  による。
• 　ＤＥ＝ＦＧ
  となっている。

ところが
　ＤＥは
　　ＡＨ、ＫＣの双方に等しく、
　ＦＧは
　　ＡＫ、ＨＣの双方に等しい。

• 　前節、
  　命題１ー３４（平行四辺形の対辺・対角・対角線）
  による。
• 　ＤＥ＝ＡＨ＝ＫＣ、
  　ＦＧ＝ＡＫ＝ＨＣ
  となっている。

したがって
　ＡＨ、ＫＣの双方は
　　ＡＫ、ＨＣの双方に等しい。

• 　前節、前々節、
  　公理１ー１の補足（等しいものに等しい）
  による。
• 　ＡＨ＝ＫＣ＝ＡＫ＝ＨＣ
  となっている。

それゆえ
　平行四辺形ＡＣは
　　等辺である。

• 　前節、
  　定義１ー２０の補足（等辺）
  による。
• 　平行四辺形ＡＣ；等辺
  となっている。

　　そして
　　方形でもある。

• 　命題の設定
  　定義１ー２２（正方形・矩形・菱形・長斜方形・トラペジオン）
  により、
  　∠Ａ；直角
  となり、
  　命題１ー２９（平行と錯角、内対角、同側内角）
  により、
  　∠Ｋ；直角
  となり、
  　命題１ー３４（平行四辺形の対辺・対角・対角線）
  による。
• 　平行四辺形ＡＣ；方形
  となっている。

したがって
　ＡＣは
　　正方形である。

• 　前節、前々節、
  　定義１ー２２（正方形・矩形・菱形・長斜方形・トラペジオン）
  による。
• 　正方形ＡＣ
  となっている。

そして
　ＦＢがＢＧに対するように、
　　ＤＢがＢＥに対し、

• 　命題の設定、
  　定義５ー５（同じ比）
  による。
• 　ＦＢ：ＢＧ＝ＤＢ：ＢＥ
  となっている。

他方
　ＦＢがＢＧに対するように、
　　［矩形］ＡＢが［矩形］ＤＧに対し、

• 　命題６ー１（同高の三角形、平行四辺形は底辺と比例）
  による。
• 　ＦＢ：ＢＧ＝矩形(ＡＢ)：矩形(ＤＧ)
  となっている。

　ＤＢがＢＥに対するように、
　　［矩形］ＤＧが［矩形］ＢＣに対する

• 　命題６ー１（同高の三角形、平行四辺形は底辺と比例）
  による。
• 　ＤＢ：ＢＥ＝矩形(ＤＧ)：矩形(ＢＣ)
  となっている。

から、
　［矩形］ＡＢが［矩形］ＤＧに対するように、
　　［矩形］ＤＧが［矩形］ＢＣに対する。

• 　前節、前々節、前々々節、
  　命題５ー１１（同一の比に同じ比）
  による。
• 　矩形(ＡＢ)：矩形(ＤＧ)＝矩形(ＤＧ)：矩形(ＢＣ)
  となっている。

したがって
　［矩形］ＤＧは
　　［矩形］ＡＢ、［矩形］ＢＣの比例中項である。
次に
　［矩形］ＤＣは
　　［矩形］ＡＣ、［矩形］ＣＢの比例中項である
と主張する。
　ＡＤはＫＧに、
　ＤＫはＧＣにそれぞれ等しい

• 　定義１ー２２（正方形・矩形・菱形・長斜方形・トラペジオン
  　命題１ー３４（平行四辺形の対辺・対角・対角線）
  による。
• 　ＡＤ＝ＫＧ、
  　ＤＫ＝ＧＣ
  となっている。

から、
　ＡＤがＤＫに対するように、
　　ＫＧがＧＣに対し、

• 　前節、
  　命題５ー７（同一量の比）
  による。
• 　ＡＤ：ＤＫ＝ＫＧ：ＧＣ
  となっている。

そして合比により
　ＡＫがＫＤに対するように、
　　ＫＣがＣＧに対し、

• 　前節、
  　命題５ー１８（比例ならば合比も比例）
  による。
• 　ＡＫ：ＫＤ＝ＫＣ：ＣＧ
  となっている。

他方
　ＡＫがＫＤに対するように、
　　［矩形］ＡＣが［矩形］ＣＤに対し、
　ＫＣがＣＧに対するように、
　　［矩形］ＤＣが［矩形］ＣＢに対する

• 　命題６ー１（同高の三角形、平行四辺形は底辺と比例）
  による。
• 　ＡＫ：ＫＤ＝矩形(ＡＣ)：矩形(ＣＤ)、
  　ＫＣ：ＣＧ＝矩形(ＤＣ)：矩形(ＣＢ)
  となっている。

から、
　［矩形］ＡＣが［矩形］ＤＣに対するように、
　　［矩形］ＤＣが［矩形］ＢＣに対する。

• 　前節、前々節、
  　命題５ー１１（同一の比に同じ比）
  による。
• 　矩形(ＡＣ)：矩形(ＣＤ)＝矩形(ＤＣ)：矩形(ＣＢ)
  となっている。

したがって
　［矩形］ＤＣは
　　［矩形］ＡＣ、［矩形］ＣＢの比例中項である。

• 　前節、
  　定義の補足３（命題６ー８）(比例中項)
  による。

これが証明すべく定められたことであった。

• 命題１０ー５４助は、
  　２つの正方形が
  　　それぞれの隣り合う２辺が
  　　一直線をなすように置かれ、
  　平行四辺形が完結された
  とせよ。
  　平行四辺形は正方形であり、
  　もとの２つの正方形の比例中項、
  　もとの正方形と
  　　完結され拡大された正方形の比例中項は、
  　　ともに、
  　　それぞれの１辺ずつによる矩形
  のことである。
• 命題１０ー５４助は推論用命題である。

  前提	作図・構成	推論
  定義		1-20補,1-22,5-5,補3(題6-8)
  公準
  公理		1-1補, 1-2
  命題	1-46	1-29,1-34,5-7,5-11,5-18,6-1
  その他	コ2(題6-14)

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