ユークリッド原論をどう読むか(14)
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ユークリッド原論

第10巻
 
命題10ー40(平方で非通約、平方和が中項面積、かこむ矩形が有理面積の2線分の和は、中項と有理面積の和となる正方形の辺)
中項面積と有理面積の和に等しい正方形の辺
もし
 平方において通約できず,
  それらの上の正方形の和が
   中項面積で,
  それらによってかこまれる矩形
   有理面積である
  2線分が加えられる
ならば,
 この線分全体は
  無理線分であり,
 そして
 中項面積と有理面積の和に等しい
  正方形の辺

とよぱれる。



 平方において通約できず,
  与えられた条件を満たす
  2線分AB,BCが加えられた
とせよ。
 ACは無理線分である
と主張する。

 AB,BC上の正方形の和は
  中項面積であり,
 矩形AB,BCの2倍は
  有理面積である

から,
 AB,AC上の正方形の和は
  矩形AB,ACの2倍と通約できない。

したがって
 AC上の正方形
  矩形AB,ACの2倍と通約できない。

ところが
 矩形AB,ACの2倍は有理面積である。

したがって
 AC上の正方形
  無理面積である。
よって
 ACも無理線分であり,

 そして
 中項面積と有理面積の和に等しい
  正方形の辺
とよばれる。
これが証明すべきことであった。
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