ユークリッド原論をどう読むか（１４）
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ユークリッド原論
第１０巻
命題１０ー４０（平方で非通約、平方和が中項面積、かこむ矩形が有理面積の２線分の和は、中項と有理面積の和となる正方形の辺）
中項面積と有理面積の和に等しい正方形の辺
もし
平方において通約できず，
それらの上の正方形の和が
中項面積で，
それらによってかこまれる矩形が
有理面積である
２線分が加えられる
ならば，
この線分全体は
無理線分であり，
そして
中項面積と有理面積の和に等しい
正方形の辺
とよぱれる。
- 平方において通約は、
定義１０ー２による。
- 正方形は、
定義１ー２２による。
- 中項面積は、
定義の補足２（命題１０ー２３）による。
- 矩形は、
定義１ー２２による。
- 有理面積は、
定義１０ー４の補足による。
- 線分は、
定義の補足（命題１ー１）による。
- 無理線分は、
定義１０ー４による。
-
中項面積と有理面積の和に等しい正方形の辺は、
平方において通約できず，
それらの上の正方形の和が中項面積で，
それらによってかこまれる矩形が
有理面積である２線分
の和をいう。
(以下、定義の補足（命題１０ー４０）
(中項面積と有理面積の和に等しい正方形の辺))
という。
その上の正方形の面積が
中項面積（２分辺上の正方形の和）と
有理面積（矩形）
の和になっている。
定義の補足（命題１０ー３９）にいう優線分は、
その上の正方形の面積が
有理面積（２分辺上の正方形の和）と
中項面積（矩形）
の和になっている。
平方において通約できず，
与えられた条件を満たす
２線分ＡＢ，ＢＣが加えられた
とせよ。
ＡＣは無理線分である
と主張する。
-
命題１０ー３４（作図.２線分；平方で非通約、平方和が中項面積、矩形が有理面積）
による。
-
線分ＡＢ、ＢＣ
；ＡＢ¬∩^^2 ＢＣ
、正方(_ＡＢ)＋正方(_ＢＣ)；中項面積
、矩形(ＡＢ,ＢＣ)；有理面積
をとり、
線分ＡＣ；ＡＢ＋ＢＣ
としている。
ＡＢ，ＢＣ上の正方形の和は
中項面積であり，
矩形ＡＢ，ＢＣの２倍は
有理面積である
-
命題の設定、
定義１０ー４の補足 （有理面積、無理面積）
による。
-
正方(_ＡＢ)＋正方(_ＢＣ)；中項面積
２矩形(ＡＢ,ＢＣ)；有理面積
となっている。
から，
ＡＢ，ＡＣ上の正方形の和は
矩形ＡＢ，ＡＣの２倍と通約できない。
-
前節、
定義１０ー４の補足 （有理面積、無理面積）
による。
-
正方(_ＡＢ)＋正方(_ＢＣ)¬∩２矩形(ＡＢ,ＢＣ)
となっている。
したがって
ＡＣ上の正方形も
矩形ＡＢ，ＡＣの２倍と通約できない。
-
命題２ー４（２分線分上の正方形）
により、
正方(_ＡＣ)＝正方(_ＡＢ)＋正方(_ＢＣ)
＋２矩形(ＡＢ,ＢＣ)
となり、
前節、
命題１０ー１６（非通約量はその和・差とも非通約）
による。
-
正方(_ＡＣ)¬∩矩形(ＡＢ,ＡＣ)
となっている。
ところが
矩形ＡＢ，ＡＣの２倍は有理面積である。
したがって
ＡＣ上の正方形は
無理面積である。
-
前節、前々節、
定義１０ー４（面積の有理、無理、無理線分）
による。
-
正方(_ＡＣ)；無理面積
となっている。
よって
ＡＣも無理線分であり，
-
前節、
定義１０ー４（面積の有理、無理、無理線分）
による。
-
ＡＣ；無理線分
となっている。
そして
中項面積と有理面積の和に等しい
正方形の辺とよばれる。
これが証明すべきことであった。
- 命題１０ー４０は、
命題１０ー３４により、
線分ＡＢ、ＢＣ
；ＡＢ¬∩^^2 ＢＣ
、正方(_ＡＢ)＋正方(_ＢＣ)；中項面積
、矩形(ＡＢ,ＢＣ)；有理面積
をとると、
線分ＡＣ；ＡＢ＋ＢＣ；中項面積と有理面積の和に等しい
正方形の辺
のことである。
- 命題１０ー４０は推論用命題である。
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