ユークリッド原論をどう読むか（２）
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ユークリッド原論
第１巻
命題１ー１３（直線と２直角１）
もし
直線が直線の上に立てられて
二つの角をつくる
ならば、
二つの直角か
または
その和が２直角に等しい角を
つくる
であろう。
任意の直線ＡＢが
直線ＣＤ上に立てられて
角ＣＢＡ、ＡＢＤをつくる
とせよ。
-
直線(Ｃ,Ｄ)、
点Ｂ[ＣＤ]、
点Ａ[外.ＣＤ]、
直線(Ａ,Ｂ)
をとっている。
角ＣＢＡ、ＡＢＤは
二つの直角であるか
または
その和が２直角に等しい
と主張する。
さて
[等しい場合]
もし
角ＣＢＡが
角ＡＢＤに等しけれ
ば、
それらは二つの直角である。
-
定義１ー10（直角）
による。
-
∠ＣＢＡ＝∠ＡＢＤ＝∠Ｒ
となっている。
[一方が他方より小さい場合]
だが
もし
等しくなけれ
ば、
［小さい方を角ＣＢＡと置き換えて］
点ＢからＣＤに
直角にＢＥがひかれた
とせよ。
【・・・(a)】
-
命題１ー11（作図・線分からの垂線）
による。
-
点Ｅ[外.ＣＤ;;ＥＢ⊥ＣＤ]
をとっている。
すると
角ＣＢＥ、ＥＢＤは二つの直角である。
そして
角ＣＢＥは
２角ＣＢＡ、ＡＢＥの和に等しい。
-
(a)
により、
角ＣＢＡは
直角より小さい
ことによる。
-
∠ＣＢＥ＋∠ＥＢＤ＝２×∠Ｒ、
∠ＣＢＥ＝∠ＣＢＡ＋∠ＡＢＥ
となっている。
双方に
角ＥＢＤが加えられた
とせよ。
そうすれば
角ＣＢＥ、ＥＢＤの和は
３角ＣＢＡ、ＡＢＥ、ＥＢＤの和に等しい。
【・・・(1)】
-
公理１ー２（等しいものに等しいものを加える）
による。
-
∠ＣＢＥ＋∠ＥＢＤ
＝∠ＣＢＡ＋∠ＡＢＥ＋∠ＥＢＤ
となっている。
また
ＤＢＡは
２角ＤＢＥ、ＥＢＡの和に等しい
から、
双方に角ＡＢＣが加えられた
とせよ。
そうすれば
角ＤＢＡ、ＡＢＣの和は
３角ＤＢＥ、ＥＢＡ、ＡＢＣの和に等しい。
【・・・(2)】
-
公理１ー２（等しいものに等しいものを加える）
による。
-
∠ＤＢＡ＋∠ＡＢＣ
＝∠ＤＢＥ＋∠ＥＢＡ＋∠ＡＢＣ
となっている。
ところが
角ＣＢＥ、ＥＢＤの和が
この同じ三つの角に等しい
ことも先に証明された。
そして
同じものに等しいものは
また
互いに等しい。
それゆえ
角ＣＢＥ、ＥＢＤの和は
角ＤＢＡ、ＡＢＣの和に等しい。
【・・・(3)】
-
(1)
(2)
,
公理１ー１（同じものに等しい）
による。
-
∠ＣＢＥ＋∠ＥＢＤ
＝∠ＤＢＡ＋∠ＡＢＣ
となっている。
ところが
角ＣＢＥ、ＥＢＤは二つの直角である。
-
(a)
による。
-
∠ＣＢＥ＋∠ＥＢＤ＝２×∠Ｒ
となっている。
ゆえに
角ＤＢＡ、ＡＢＣの和は
２直角に等しい。
-
(3)
による。
-
今日でいうところの平角ＣＢＤは、
原論では角として認められていない。
２直角という値をもつ角ではない。
したがって、
角ＣＢＥとＥＢＤの和と
角ＣＢＡ、ＡＢＥとＥＢＤの和と
角ＤＢＡとＡＢＣの和が
一致していて、
角ＣＢＥとＥＢＤが
それぞれ直角である
ことから
角ＤＢＡとＡＢＣの和が2直角である
と推論されているのである。
つまり、
平角ＣＢＤと
角ＤＢＡとＡＢＣの和とが
図形の角として
互いに重なり合っているという論法は
使えない
としている。
-
∠ＤＢＡ＋∠ＡＢＣ＝２×∠Ｒ
となっている。
［したがって、
２つの場合の結果により
角ＤＢＡ、ＡＢＣは
２つの直角であるか
その和が２直角に等しい］
よって
もし直線が
直線の上に立てられて
二つの角をつくるならば、
二つの直角か
または
その和が２直角に等しい角をつくる
であろう。
これが証明すべきことであった。
- 命題1-13は、
ＣＤ；直線
に対して、
Ａ；点[外.ＣＤ]、
Ｂ；点[ＣＤ]
ならば、
∠ＣＢＡ、∠ＡＢＤ；
∠ＣＢＡ＝∠ＡＢＤ＝直角
または、
∠ＣＢＡ＋∠ＡＢＤ＝２直角
のことである。
- 命題1-13は推論用命題である。
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