ユークリッド原論をどう読むか（１４）
頁末 　　 前 　　 次 　 目次

ユークリッド原論

第１０巻
　
命題１０ー５２（作図.第５の二項線分）
　第５の二項線分を見いだすこと。

• 第５の二項線分は、
  定義１０�Uー５による。

　二つの数ＡＣ、ＣＢが定められ、
　ＡＢが
　　それらの双方に対し、
　　平方数が平方数に対する比をもたない
ようにし、

• 　「数（について）・・・とせよ」は、
  　コメント４（命題７ー１）参照のこと。
  
• 　例えば、
  　ＡＣ、ＣＢ、ＡＢを互いに素な数
  とすれば、
  　命題１０ー５０の補足(互いに素な２数は平方数の比でない)
  による。
  
• 　ＡＢ：ＡＣ≠平方数：平方数
  　ＡＢ：ＣＢ≠平方数：平方数
  となっている。

　ある有理線分Ｄが定められ、

• 　命題の補足２（定義１０ー３）(作図.任意の有理線分)
  による。
  
• 　Ｄ；有理線分
  となっている。

　ＥＦがＤと通約できる
とせよ。
　　　　　　[......(３)]

• 　命題１０ー６の系３（作図.長さ・平方で通約可の線分)
  による。
• 　ＥＦ∩Ｄ
  となっている。

そうすれば
　ＥＦは有理線分である。

• 　定義１０ー２の補足（長さにおいて通約）
  による。
  
• 　ＥＦ；有理線分
  となっている。

そして
　ＣＡがＡＢに対するように、
　ＥＦ上の正方形がＦＧ上の正方形に対する
ようにされたとせよ。
　　　　　　[......(１)]

• 　命題６ー１２（作図.比例第４項）
  により、
  　Ｇ'(延長ＥＦ;ＣＡ：ＡＢ＝ＥＦ：ＦＧ')
  をとり、
  　命題６ー８の系（直角三角形の垂線は比例中項）
  により、
  　Ｇ(延長ＥＦ;ＥＦ：ＦＧ＝ＦＧ：ＦＧ')
  をとる。
  
• 　ＣＡ：ＡＢ＝正方(_ＥＦ)：正方(_ＦＧ)
  となっている。

ところが
　ＣＡは
　　ＡＢに対し、
　　平方数が平方数に対する比をもたない。

• 　命題の設定による。
• 　ＣＡ：ＡＢ≠平方数：平方数
  となっている。

したがって
　ＥＦ上の正方形も
　　ＦＧ上の正方形に対し、
　　平方数が平方数に対する比をもたない。

• 　前節、前々節、
  　命題５ー１３の補足４（異なる比に同じ比は異なる）
  による。
• 　正方(_ＥＦ)：正方(_ＦＧ)≠平方数：平方数
  となっている。

ゆえに
　ＥＦ、ＦＧは
　　平方においてのみ通約できる有理線分である。
　　　　　　[......(２)]

• 　前節、
  　命題１０ー９（長さで通約と正方形・平方数の比）、
  による。
• 　ＥＦ、ＦＧ；有理線分、
  　ＥＦ∩^^2 ＦＧ
  となっている。

したがって
　ＥＧは二項線分である。

• 　前節、
  　定義の補足（命題１０ー３６）(二項線分)
  による。
• 　ＥＧ；二項線分
  となっている。

　次に第５の二項線分でもある
と主張する。
　ＣＡがＡＢに対するように、
　ＥＦ上の正方形がＦＧ上の正方形に対する

• 　（１）による。
• 　ＣＡ：ＡＢ＝正方(_ＥＦ)：正方(_ＦＧ)
  となっている。

から、
逆に
　ＢＡがＡＣに対するように、
　ＦＧ上の正方形がＦＥ上の正方形に対する。

• 　命題５ー７の系(比例すれば逆も比例)
  による。
• 　ＡＢ：ＡＣ＝正方(_ＦＧ)：正方(_ＦＥ)
  となっている。

したがって
　ＧＦ上の正方形は
　　ＦＥ上の正方形より大きい。

• 　前節、
  　定義５ー５（同じ比）
  による。
• 　ＧＦ＞ＦＥ
  となっている。

そこで
　ＥＦ、Ｈ上の正方形の和が
　　ＧＦ上の正方形に等しい
とせよ。

• 　命題１ー３（作図・等しい線分を切り取る）　
  により、
  　点Ｌ(ＧＦ;ＦＬ＝ＥＦ)、
  をとると、
  　命題２ー５（線分の矩形分割）
  により、
  　正方(_ＧＦ)＝正方(_ＥＦ)＋矩形(ＥＧ,ＥＬ)
  となり、
  　命題６ー１７の補足(作図.線分上に矩形と等しい正方形)
  により、
  　線分Ｈ(;正方(_Ｈ)＝矩形(ＥＧ,ＥＬ))
  をとる。
  
• 　正方(_ＧＦ)＝正方(_ＥＦ)＋正方(_Ｈ)
  となっている。

そうすれば
　反転比により
　数ＡＢがＢＣに対するように、
　ＧＦ上の正方形が
　　Ｈ上の正方形に対する。

• 　前節、
  　命題５ー１９の系の補足２(比例ならば反転も比例)と
  による。
• 　ＡＢ：ＢＣ＝正方(_ＧＦ)：正方(_Ｈ)
  となっている。

ところが
　ＡＢは
　　ＢＣに対し、
　　平方数が平方数に対する比をもたない。

• 　命題の設定である。
• 　ＡＢ：ＢＣ≠平方数：平方数
  となっている。

したがって
　ＦＧ上の正方形も
　　Ｈ上の正方形に対し、
　　平方数が平方数に対する比をもたない。

• 　前節、前々節、
  　命題５ー１３の補足４（異なる比に同じ比は異なる）
  による。
• 　正方(_ＦＧ)：正方(_Ｈ)≠平方数：平方数
  となっている。

それゆえ
　ＦＧは
　　Ｈと長さにおいて通約できない。

• 　前節、
  　命題１０ー９（長さで通約と正方形・平方数の比）
  による。
• 　ＦＧ¬∩Ｈ
  となっている。

したがって
　ＦＧ上の正方形は
　　ＦＥ上の正方形より
　　ＦＧと通約できない線分上の正方形だけ大きい。

• 　（１）、前節 による。
• 　正方(_ＦＧ)＝正方(_ＥＦ)＋正方(_Ｈ)
  　ＦＧ¬∩Ｈ

そして
　ＧＦ、ＦＥは
　　平方においてのみ通約できる有理線分であり、

• 　（２）による。
• 　ＧＦ∩^^2 ＦＥ、
  　ＧＦ、ＦＥ；有理線分
  となっている。

　小さい項ＥＦが
　　定められた有理線分Ｄと長さにおいて通約できる。

• 　（３）による。
• 　ＥＦ∩Ｄ
  となっている。

よって
　ＥＧは第５の二項線分である。

• 　前節、前々節、
  　定義１０�Uー５（第５の二項線分）
  による。
• 　ＥＧ：第５のニ項線分
  となっている。

これが証明すべきことであった。

• 命題１０ー５２は、
  　互いに素な数ＡＣ、ＢＣ、ＡＢ、
  　Ｄ；有理線分、
  　ＥＦ∩Ｄ、
  　点Ｇ((延長ＥＦ
  　　;ＣＡ：ＡＢ＝正方(_ＥＦ)：正方(_ＦＧ)
  をとれば、
  　ＥＧ；第５の二項線分
  のことである。
  
• 命題１０ー５２は推論用命題である。

  前提	作図・構成	推論
  定義		5-5,10-2補,補(題10-36),10II-5
  公準
  公理
  命題	1-3,6-12,6-17補,補2(義10-3),10-6系3,10-50補	2-5,5-7系,5-13補4,5-19系補2,6-8系,10-9
  その他	コ4(題7-1)

前 　　 次 　　 目次 　　頁頭