ユークリッド原論をどう読むか(3)
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ユークリッド原論
第1巻

命題1ー34(平行四辺形の対辺・対角・対角線)
平行四辺形・対角線  (平行四辺形と長斜方形とは同義)
(平行四辺形の対角線は互いに他を2等分)

(作図.隣り合う2辺から平行四辺形)
平行四辺形において
 対辺および対角は互いに等しく
 対角線はこれを2等分する。 ACBDを平行四辺形とし、
 BCをその対角線とせよ。

平行四辺形ACBDの対辺および対角
 互いに等しく
 対角線BCは平行四辺形ACDBを
 2等分すると主張する。

ABはCDに平行であり、 線分BCがそれらに交わっているから、
 錯角ABC、BCDは互いに等しい
      【・・・(1)】 またACはBDに平行であり、 BCがそれらに交わっているから、
 錯角ACB、CBDは互いに等しい このときABC、BCDは
 2ABC、BCAが
 2BCD、CBDにそれぞれ等しく
 1が1等しい
すなわち
 等しい角にはさまれるBCを共有する
 二つの三角形である。
それゆえ
 残りの2
 残りの2にそれぞれ等しく
 残りのも残りの
等しいであろう。 ゆえに
 ABはCDに、
 ACはBDに等しく
 また
 BACはCDBに等しい
      【・・・(2)】

そして
 ABCはBCDに等しく
 CBDはACBに等しいから、
 ABD全体はACD全体に等しい しかも
 BACが
 CDBに等しいことも先に証明された。 よって
 平行四辺形対辺および対角は互いに等しい
《ついで
 対角線
 平行四辺形を2等分すると主張する。
ABはCDに等しく
 BCは共通なのであるから
 2AB、BCは2CD、BCに
 それぞれ等しい
そして
 ABCはBCDに等しい。》 《それゆえ
 底辺ACもDBに等しい
そして》
 [また、]三角形ABCは三角形BCDに等しい
よって
 対角線BCは平行四辺形ABCDを2等分する。 これが証明すべきことであった。 今回は、
 ここで紙面が尽きてしまった。
前号にも記したところであるが、
 原論の命題は
 「これが作図すべきものであった。」か
 「これが証明すべきことであった。」で証明が終わる。
このことからわかるとおり、
 命題は、
 作図用のものと推論用のものとに分類できる。
この観点に立てば、
 公準や公理も
 作図用と推論用に分かれるのではないかと考えて、
 各命題のコメントの最後に表としてまとめてある。
ここまで書き進めてきた上で判断するに、
 この論考の最初に指摘したこと、
 すなわち、
 公準は作図に関係し、
 公理は推論に関係していることは
 間違っていない。
この論考の目的の一つは、
 このことの実証である。
もちろん、
 公準1ー5(平行線公準)

 「交点をとることができる」と
また、
 公準1ー4(直角は等しい)

 「任意の点で直角を描くことができる」と
 解釈することが前提である。
後一回で
 第一巻を終えることができそうに思われる。
 お付き合いいただきたい。

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