ユークリッド原論をどう読むか（３）
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ユークリッド原論
第１巻
命題１ー３４（平行四辺形の対辺・対角・対角線）
平行四辺形・対角線
（平行四辺形と長斜方形とは同義）
（平行四辺形の対角線は互いに他を２等分）
（作図.隣り合う２辺から平行四辺形）
平行四辺形において
対辺および対角は互いに等しく、
対角線はこれを２等分する。
- 平行四辺形とは
向かい合う２組の辺が
それぞれ平行である四辺形をいう。
対角線とは向かい合う角を結ぶ線分をいう。
（以下、定義の補足（命題１ー３４）(平行四辺形・対角線)という）
平行四辺形、対角線の用語は初めてここに登場する。
- 対辺、対角は、定義１ー２２の補足による。
- 等しいは、公理１ー７による。
- 等分は、定義の補足（公理１ー６）による。
ＡＣＢＤを平行四辺形とし、
ＢＣをその対角線とせよ。
平行四辺形ＡＣＢＤの対辺および対角は
互いに等しく、
対角線ＢＣは平行四辺形ＡＣＤＢを
２等分すると主張する。
ＡＢはＣＤに平行であり、
線分ＢＣがそれらに交わっているから、
錯角ＡＢＣ、ＢＣＤは互いに等しい。
【・・・(1)】
- 命題１ー２９（平行と錯角、内対角、同側内角）
による。
-
∠ＡＢＣ＝∠ＢＣＤ
となっている。
またＡＣはＢＤに平行であり、
ＢＣがそれらに交わっているから、
錯角ＡＣＢ、ＣＢＤは互いに等しい。
- 命題１ー２９（平行と錯角、内対角、同側内角）
による。
-
∠ＡＣＢ＝∠ＣＢＤ
となっている。
このときＡＢＣ、ＢＣＤは
２角ＡＢＣ、ＢＣＡが
２角ＢＣＤ、ＣＢＤにそれぞれ等しく、
１辺が１辺に等しい。
- (1)
にもよる。
-
(∠ＡＢＣ,∠ＢＣＡ)＝(∠ＢＣＤ,ＣＢＤ)、
ＢＣ＝ＢＣ
となっている。
すなわち
等しい角にはさまれる辺ＢＣを共有する
二つの三角形である。
それゆえ
残りの２辺も
残りの２辺にそれぞれ等しく、
残りの角も残りの角に
等しいであろう。
- 命題１ー２６（２角挟辺相等）
である。
-
△ＡＢＣ≡△ＢＣＤ
となっている。
ゆえに
辺ＡＢはＣＤに、
ＡＣはＢＤに等しく、
また
角ＢＡＣは角ＣＤＢに等しい。
【・・・(2)】
-
前節による。
-
ＡＢ＝ＣＤ、
ＡＣ＝ＢＤ、
∠ＢＡＣ＝∠ＣＤＢ
となっている。
そして
角ＡＢＣは角ＢＣＤに等しく、
角ＣＢＤは角ＡＣＢに等しいから、
角ＡＢＤ全体は角ＡＣＤ全体に等しい。
- 公理１ー２（等しいものに等しいものを加える）
による。
-
∠ＡＢＤ＝∠ＡＣＤ
となっている。
しかも
角ＢＡＣが
角ＣＤＢに等しいことも先に証明された。
- (2)
による。
-
∠ＢＡＣ＝∠ＣＤＢ
となっている。
よって
平行四辺形の対辺および対角は互いに等しい。
《ついで
対角線が
平行四辺形を２等分すると主張する。
ＡＢはＣＤに等しく、
ＢＣは共通なのであるから
２辺ＡＢ、ＢＣは２辺ＣＤ、ＢＣに
それぞれ等しい。
そして
角ＡＢＣは角ＢＣＤに等しい。》
- 命題１ー４（２辺挟角相等）
による。
しかし、すでに
命題の前半を
いわゆる２角挟辺相等の命題１ー２６（２角挟辺相等）
により
証明している。
命題１ー２６の補足（２角挟辺相等による合同）
から明らかなように、
この部分は本来必要がない。
ここであえて
命題１ー４（２辺挟角相等）
を持ち出す意味を考えると、
証明過程で
命題１ー４（２辺挟角相等）
は重ね合わせをしているが、
命題１ー２６（２角挟辺相等）
は重ね合わせをしていない
ためであろう。
いわゆる２辺挟角相等の命題１ー４（２辺挟角相等）
に対する
ユークリッドのこだわりが感じられる。
すなわち、
命題１ー４（２辺挟角相等）
には
２つの三角形が等しい
という文言を入れているが、
本来入れていても何の不思議もない
命題１ー８（３辺相等２）、
命題１ー２６（２角挟辺相等）
には
入れていないということである。
《それゆえ
底辺ＡＣもＤＢに等しい。
そして》
［また、］三角形ＡＢＣは三角形ＢＣＤに等しい。
よって
対角線ＢＣは平行四辺形ＡＢＣＤを２等分する。
- ２等分という意味が、
二つの合同な図形に分割できるという意味と、
二つの面積が等しい図形に分割できるという意味と
２通りに考えられる。
次の命題１ー３５（平行四辺形の等積変形１）
で
面積が等しいという意味であることが明確になる。
面積については
定義の中で触れられていない。
原論としては、
公理１ー７等しい）
で互いに重なり合うものは
等しいというものの中に、
図形を切り貼りして重なり合うという意味も
含めているようである。
これが証明すべきことであった。
- この命題によって
平行四辺形が
原論の定義１ー２２（正方形・矩形・菱形・長斜方形・トラペジオン）
にいう
長斜方形になることが証明された。
逆に長斜方形は、
対角線を一つひいてできる、
二つの三角形が
定義１ー２２（正方形・矩形・菱形・長斜方形・トラペジオン）
により
２辺とその間の角が等しいことから、
命題１ー４（２辺挟角相等）
により
合同となる。
その結果、
２組の錯角が等しいことから、
命題１ー２７（錯角と平行）
により
向かい合う辺が２組とも平行となり、
平行四辺形であることがわかる。
よって、
平行四辺形と長斜方形とは同義である。
（以下、命題１ー３４の補足２（平行四辺形と長斜方形とは同義）という。）
- 定義１ー１９の補足３（凸多角形）
により、
平行四辺形の任意の角について、
その対角及び対角線は
２つの辺の間にある。
したがって、
対角線ＢＣについて、
点Ａ、Ｄは
異なる側にあるので
公準１ー１（作図.直線）
により対角線ＡＤをひくと
命題の補足２（定義１ー１４）（図形と直線の交点）
により
２つの対角線ＢＣとＡＤとは交わる。
その交点をＥとすると、
三角形ＡＢＥとＤＣＥについて、
本命題により
ＡＢとＤＣが等しく、
また
命題１ー２９（平行と錯角、内対角、同側内角）
により
角ＥＡＢ、ＥＢＡとＥＤＣ、ＥＣＤとが
それぞれ等しいので、
命題１ー２６の補足（２角挟辺相等による合同）
により、
２つの三角形は合同であり、
ＥＡ、ＥＢとＥＤ、ＥＣとが
それぞれ等しい。
したがって、
平行四辺形において、
２つの対角線は
互いに他を２等分する。
（以下、命題１ー３４の補足３（平行四辺形の対角線は互いに他を２等分）という。）
-
２線分ＡＢ、ＡＣがＡで交わっている
ならば
これらを隣り合う２辺とする
平行四辺形ＡＢＤＣ
を作図することができる。
(以下、命題１ー３４の補足４
（作図.隣り合う２辺から平行四辺形）という。)
命題１ー３１（作図・平行線）
により、
Ｂを通りＡＣに平行に
直線をひき、
また、
Ｃを通りＡＢに平行に
直線をひく
と、
命題１ー３０の補足（交線に平行な線）
により、
２直線は交わる。
その交点をＤ
とすると、
定義の補足（命題１ー３４）（平行四辺形）
により、
四角形ＡＢＤＣは平行四辺形になっている。
- 命題1-34は、
平行四辺形ＡＣＢＤ
に対して
ＡＢ＝ＣＤ、
ＡＢ‖ＣＤ、
ＡＣ＝ＢＤ、
ＡＣ‖ＢＤ
のことである。
今回は、
ここで紙面が尽きてしまった。
前号にも記したところであるが、
原論の命題は
「これが作図すべきものであった。」か
「これが証明すべきことであった。」で証明が終わる。
このことからわかるとおり、
命題は、
作図用のものと推論用のものとに分類できる。
この観点に立てば、
公準や公理も
作図用と推論用に分かれるのではないかと考えて、
各命題のコメントの最後に表としてまとめてある。
ここまで書き進めてきた上で判断するに、
この論考の最初に指摘したこと、
すなわち、
公準は作図に関係し、
公理は推論に関係していることは
間違っていない。
この論考の目的の一つは、
このことの実証である。
もちろん、
公準１ー５（平行線公準）
を
「交点をとることができる」と
また、
公準１ー４（直角は等しい）
も
「任意の点で直角を描くことができる」と
解釈することが前提である。
後一回で
第一巻を終えることができそうに思われる。
お付き合いいただきたい。
- 命題1-34は、
平行四辺形ＡＣＢＤ
に対して
ＡＢ＝ＣＤ、
ＡＢ‖ＣＤ、
ＡＣ＝ＢＤ、
ＡＣ‖ＢＤ
のことである。
-
命題１ー３４の補足２（平行四辺形と長斜方形とは同義）
-
命題１ー３４の補足３（平行四辺形の対角線は互いに他を２等分）
-
命題１ー３４の補足４ （作図.隣り合う２辺から平行四辺形）
- 命題1-34は推論用命題である。
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