ユークリッド原論をどう読むか（５）
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ユークリッド原論

第２巻

命題２ー４（２分線分上の正方形）　
(正方形の対角線をはさむ正方形)>
もし
　線分が
　任意に２分されるならば、
　全体の上の正方形は、
　二つの部分の上の正方形と、
　二つの部分によってかこまれた矩形の２倍と
　の和に等しい。

• 線分は、定義の補足（命題１ー１）による。
• 正方形は、定義１ー２２による。
• かこまれたは、定義２ー１による。
• 矩形は、定義１ー２２による。
• 倍は、定義の補足（公理１ー５）による。
• 等しいは、公理１ー７による。

線分ＡＢが
　Ｃにおいて任意に分けられたとせよ。
ＡＢ上の正方形は
　ＡＣ、ＣＢ上の正方形と
　ＡＣ、ＣＢにかこまれた矩形の２倍と
　の和に等しいと主張する。
　


ＡＢ上に正方形ＡＤＥＢが描かれ、

• 命題１−４６による。

ＢＤが結ばれ

• 公準１−１による。

Ｃを通り
　ＡＤ、ＥＢのどちらかに平行に
　ＣＦがひかれ、

• 命題１−３１により一方に平行に引くと、
  　命題１−３０により他方とも平行となる。
• 「どちらかに」については、
  　コメント（命題２ー２）を参照のこと
  

［ＣＦとＢＤとの交点をＧとし、］

• ＢＤとＢＥは交わっており、
  　ＣＦとＢＥは平行だから、
  　命題１−３０の補足により交わる。
  この点をＧとする。

Ｇを通り
　ＡＢ、ＤＥのどちらかに平行に
　ＨＩがひかれたとせよ。

• 命題１−３１により一方に平行に引くと、
  　命題１−３０により他方とも平行となる。
• 命題１−３０の補足により、
  　ＣＦと交わっているＨＩは
  　ＣＦに平行なＡＢ、ＤＥと交わり、
  　その交点をそれぞれＨ、Ｉとして、
  　溯ってＨ、Ｉを用いている。

そうすれば、
　ＣＦはＡＤに平行であり、

• 作図の設定である。

ＢＤがそれらに交わるから、
　外角ＣＧＢは
　内対角ＡＤＢに等しい。

• 命題１−２９による。
• 平行線に直線が交わっているとき、
  　平行線の外側にできる角を外角、
  　その同位角を内対角と表現している。
  　定義の補足（命題１−１６）

ところが
　辺ＢＡがＡＤに等しいから、

• 作図の設定である。

角ＡＤＢは
　角ＡＢＤに等しい。

• 命題１−５による。

それゆえ
　角ＣＧＢは
　角ＧＢＣにも等しい。

• 公理１−１による。

ゆえに
　辺ＢＣも
　辺ＣＧに等しい。

• 命題１−６による。

ところが
　ＢＣはＧＩに、
　ＣＧはＩＢに等しい。

• 作図の設定により、
  　ＢＣとＧＩ、
  　ＣＧとＩＢ
  　はそれぞれ平行だから、
  　命題１−３４により、
  　それぞれ等しい。

したがって
　ＧＩもＩＢにひとしい。

• 公理１−１による。

よって
　ＣＧＩＢは等辺である。

• 定義１−２０の補足による。

ついで
　矩形でもあると主張する。
ＣＧはＢＩに平行であるから、

• 作図の設定である。

角ＩＢＣ、ＧＣＢの和は
　２直角に等しい。

• 命題１−２９による。

また
　角ＩＢＣは直角である。

• 作図の設定である。

それゆえ
　ＢＣＧも直角である。

• 公理１−３による。

ゆえに
　対角ＣＧＩ、ＧＩＢも直角である。

• 命題１−３４による。

しかも
　等辺であることも先に証明された。
したがって正方形である。

• 定義１−２２による。
• 「正方形の対角線上の点を通り、
  　対角線をはさむ２組の2辺に
  　それぞれ平行な直線を引いてできる、
  　対角線をはさむ２つの平行四辺形は、
  　ともに正方形である。」
  （以下、命題２ー４の補足(正方形の対角線をはさむ正方形)という。）
  　ことが証明された。
  次の命題以降、
  この部分の証明を原論は省略している

そして
　ＣＢの上にある。
同じ理由でＨＦも正方形である。

• すなわち命題２ー４の補足による。

そして
　ＨＧすなわちＡＣの上にある。

• ＡＣの上にあるとは、
  　ＡＣを一辺とする正方形である
  　という意味である。

それゆえ
　ＨＦ、ＩＣは
　ＡＣ、ＣＢ上の正方形である。

• 命題２ー４の補足の正方形は、
  　「元の正方形の辺を
  　平行線で２分したものの
  　上の正方形となっている。」
  　（以下、これも含めて命題２ー４の補足(正方形の対角線をはさむ正方形)という。）
• 　rec(ＨＦ)＝sq(_ＡＣ)
  　rec(ＩＣ)＝sq(_ＣＢ)
  　　　　　　【・・・(１)】

そしてＡＧはＧＥに等しく、

• 辺ＡＣ、ＣＧは
  　それぞれ辺ＩＥ、ＧＩに等しいから、
  　定義２ー１による。
• 矩形ＡＧという表現は
  　点Ａ、Ｇに依存するので、
  　矩形ＧＥと別物と扱ったうえで、
  　等しいと表現している。
• 　rec(ＡＧ)＝rec(ＧＥ)
  　　　　　　【・・・(２)】

また、
　ＧＣがＣＢに等しいゆえ、

• 上の命題２ー４の補足による。

ＡＧは
　矩形ＡＣ、ＣＢであるから、

• 定義２ー１による。
• 　rec(ＡＧ)=rec(ＡＣ、ＣＢ)
  　　　　　　【・・・(３)】

ＧＥも
　矩形ＡＣ、ＣＢに等しい。

• 命題１−４３による。
• (２) (３) より
  　rec(ＧＥ)＝rec(ＡＣ、ＣＢ)
  　　　　　　　【・・・(４)】

それゆえ
　ＡＧ、ＧＥの和は
　矩形ＡＣ、ＣＢの２倍に等しい。

• 公理１−２、 定義の補足（公理１ー５）による。
• (３) (４) より
  　rec(ＡＧ)＋rec(ＧＥ)
  　＝２×rec(ＡＣ、ＣＢ)
  　　　　　　【・・・(５)】

また
　ＨＦ、ＣＩは
　ＡＣ、ＣＢ上の正方形である
　［ことは先に証明された］。

• (１) による。
• 　rec(ＨＦ)＝sq(_ＡＣ)、
  　rec(ＣＩ)＝sq(_ＣＢ)
  となっている。

ゆえに、
　ＨＦ、ＣＩ、ＡＧ、ＧＥの四つの和は、
　ＡＣ、ＣＢ上の正方形と
　ＡＣ、ＣＢにかこまれた矩形の２倍と
　の和に等しい。

• 公理１−２による。
• (１) (５) より
  　rec(ＨＦ)＋rec(ＣＩ)
  　＋rec(ＡＧ)＋rec(ＧＥ)
  　＝sq(_ＡＣ)＋sq(_ＣＢ)
  　＋２×rec(ＡＣ、ＣＢ)
  　　　　　　【・・・(６)】

ところが
　ＨＦ、ＣＩ、ＡＧ、ＧＥの和は
　ＡＤＥＢ全体、
　すなわちＡＢ上の正方形である。

• 公理１−７による。
• 　rec(ＨＦ)＋rec(ＣＩ)
  　＋rec(ＡＧ)＋rec(ＧＥ)
  　＝sq(_ＡＢ)
  　　　　　　【・・・(７)】

したがって
　ＡＢ上の正方形は
　ＡＣ、ＣＢ上の正方形と
　ＡＣ、ＣＢにかこまれた矩形の２倍と
　の和に等しい。

• 公理１−１による。
• (６) (７) より
  　sq(_ＡＣ)＋sq(_ＣＢ)
  　＋２×rec(ＡＣ、ＣＢ)
  　＝sq(_ＡＢ)
  となっている。

よってもし
　線分が任意に２分されるならば、
　全体の上の正方形は、
　二つの部分の上の正方形と、
　二つの部分によってかこまれた矩形の２倍と
　の和に等しい。
　
これが証明すべきことであった。

• 対角線は
  　以下グノーモーンの活用のために
  　登場したと見られる。
• 以下のような証明が可能である。
  命題２−２により
  　矩形ＢＡ、ＡＣと矩形ＡＢ、ＢＣの和は
  　ＡＢ上の正方形に等しい。
  
  • 　rec(ＢＡ、ＡＣ)＋rec(ＡＢ、ＢＣ)
    　＝sq(_ＡＢ)
    　　　　　　【・・・(８)】
  命題２−３により
  　矩形ＢＡ、ＡＣは
  　矩形ＡＣ、ＣＢとＡＣ上の正方形との和に等しく、
  　矩形ＡＢ、ＢＣは
  　矩形ＢＣ、ＣＡとＢＣ上の正方形との和に等しい。
  
  • 　rec(ＢＡ、ＡＣ)
    　＝rec(ＡＣ、ＣＢ)＋sq(_ＡＣ)
    　rec(ＡＢ、ＢＣ)
    　＝rec(ＢＣ、ＣＡ)＋sq(_ＢＣ)
    　　　　　　【・・・(９)】
  公理１−２により
  ＡＢ上の正方形は矩形ＡＣ、ＣＢとＡＣ上の正方形との和と矩形ＢＣ、ＣＡとＢＣ上の正方形との和との和に等しい。
  
  • (9) により
    　rec(ＢＡ、ＡＣ)＋rec(ＡＢ、ＢＣ)
    　＝rec(ＡＣ、ＣＢ)＋sq(_ＡＣ)
    　＋rec(ＢＣ、ＣＡ)＋sq(_ＢＣ)
    　　　　　　【・・・(10)】
  • 公理１−１により
    (8) (10) から
    　sq(_ＡＢ)
    　＝rec(ＡＣ、ＣＢ)＋sq(_ＡＣ)
    　＋rec(ＢＣ、ＣＡ)＋sq(_ＢＣ)
    　　【・・・(11)】
  定義２−１により
  矩形ＡＣ、ＣＢと矩形ＢＣ、ＣＡは同じものであるから、
  
  • 　rec(ＡＣ、ＣＢ)＝rec(ＢＣ、ＣＡ)
    　　　　　　【・・・(12)】
  公理１−２、公理１−１により
  　ＡＢ上の正方形は
  　ＡＣ上の正方形と
  　ＣＢ上の正方形と矩形ＡＣ、ＣＢの２倍と
  　の和に等しい。
  • (11) (12) により
    　sq(_ＡＢ)
    　＝sq(_ＡＣ)＋sq(_ＢＣ)
    　＋２×rec(ＡＣ、ＣＢ)
    
  • 命題2-4は第２巻の命題によると次のようになる。

    前提	作図	推論
    定義		2-1
    公準
    公理		1-1,1-2
    命題		2-2、2-3
    その他

• 命題2-4は、
  　ＡＢ；線分、
  　Ｃ；点（ＡＢ）
  に対して、
  　sq(_ＡＢ)
  　＝sq(_ＡＣ)＋sq(_ＣＢ)
  　＋２×rec(ＡＣ、ＣＢ)
  ことである。
  
• 命題２ー４の補足(正方形の対角線をはさむ正方形)

  前提	作図	推論
  定義		1-20補, 1-22
  公準	1-1
  公理		1-1, 1-3
  命題	1-30補, 1-31, 1-46	1-5, 1-6, 1-29, 1-30, 1-34
  その他

• 命題2-4は推論用命題である。

  前提	作図	推論
  定義		1-20補,1-22,2-1
  公準	1-1
  公理		1-1,1-2,1-3,1-7
  命題	1-30補,1-31,1-46	1-5,1-6,1-29,1-30,1-34
  その他	どちらかに

  
  

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