ユークリッド原論をどう読むか（１４）
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ユークリッド原論

第１０巻
　
命題１０ー７５（中項線分から平方のみ通約で中項面積をかこむ中項線分を引くと第２の中項余線分）
第２の中項余線分
もし
　　　中項線分から
　　　全体と平方においてのみ通約
　　でき、
　　　全体と共に中項面積をかこむ
　中項線分が
　　ひかれる
ならば、
　残りは
　　　無理線分
　　である。
そして
　　　第２の中項余線分と
　　よばれる。

• 中項線分は、
  定義の補足（命題１０ー２１）による。
• 平方においてのみ通約は、
  定義の補足（命題１０ー１９助）による。
• 中項面積は、
  定義の補足２（命題１０ー２３）による。
• 無理線分は、
  定義１０ー４による。
• 第２の中項余線分とは、
  　　　平方においてのみ通約可能な
  　２中項線分が
  　　　中項面積を
  　　かこむ
  とき、
  　　　その差のこと
  をいう
  (以下、定義の補足（命題１０ー７５） (第２の中項余線分)という。)
  による。

　　　中項線分ＡＢから
　中項線分ＣＢが
　　ひかれ、
　ＣＢは
　　　全体ＡＢと
　　　平方においてのみ通約
　　でき、
　　　全体ＡＢと共に
　　　中項面積である矩形ＡＢ、ＢＣを
　　かこむ
とせよ。

• 　命題１０ー２８（作図.２中項線分;矩形が中項面積、平方でのみ通約）
  により、
  　２中項線分を
  　　とり、
  　大きい方を
  　　　ＡＢ、
  　小さい方を
  　　　ＢＣ
  とする。
  　命題１ー３（作図・等しい線分を切り取る）
  により、
  　Ｃ’(ＡＢ;ＢＣ’＝ＢＣ)をとり、
  改めて、
  　Ｃ’を
  　　　Ｃ
  　　とする。
  
• 　ＡＢ、ＢＣ；中項線分、
  　　ＡＢ∩^^2 ＢＣ
  　　矩形(ＡＢ、ＢＣ)；有理面積
  となっている。

　残りのＡＣは
　　　無理線分
　　である
と主張する、
そして
　　　第２の中項余線分と
　　よばれる。

　有理線分ＤＩが
　　定められ、
　　　ＡＢ、ＢＣ上の正方形の和
　　に等しく、
　　　ＤＩ上にＤＧを幅
　　とする
　ＤＥが
　　つくられ、
　　　矩形ＡＢ、ＢＣの２倍
　　に等しく
　　　ＤＩ上にＤＦを幅
　　として
　ＤＨが
　　つくられた
とせよ。
　　　　　　[......(１)]

• 　命題の補足２（定義１０ー３）(作図.任意の有理線分)、
  　命題６ー１６の補足３(作図.線分上に矩形と等しい矩形)
  による。
• 　ＤＩ；有理線分、
  　点Ｇ(;矩形ＤＥ(ＤＩ、ＤＧ)＝正方(_ＡＢ)＋正方(_ＢＣ)
  　点Ｆ(;矩形ＤＨ(ＤＩ、ＤＦ)＝２矩形(ＡＢ、ＢＣ)
  となっている。

そうすれば
　残りのＦＥは
　　　ＡＣ上の正方形
　　に等しい。
　　　　　　[......(４)]

• 　前節、
  　命題２ー７（差の平方）
  による。
  
• 矩形ＦＥ＝正方(_ＡＣ)
  となっている。

＜そして＞〔さて〕
　ＡＢ、ＢＣ上の二つの正方形は
　　　共に中項面積
　　であり
　　通約できる
から、
　ＤＥも
　　　中項面積
　　である。

• 　命題の設定、
  　定義の補足（命題１０ー２１）（中項線分）、
  　命題１０ー１５（通約量はその和・差とも通約）、
  　命題１０ー２３の系 (中項面積と通約なら中項面積)
  による。
• 　正方(_ＡＢ)∩正方(_ＢＣ)；中項面積、
  　ＤＥ；中項面積
  となっている。

そして
　　　有理線分ＤＩ上にＤＧを幅として
　　つくられている。

• 　（１）による。
• 　矩形ＤＥ(ＤＩ、ＤＧ)
  となっている。

したがって
　ＤＧは
　　　有理線分
　　であり
　　　ＤＩと長さにおいて通約
　　できない。
　　　　　　[......(２)]

• 　前節、
  　命題１０ー２２（中項線分上正方形に等矩形で底辺有理線分なら幅は有理で非通約）
  による。
• 　ＤＧ；¬∩ＤＩ、有理線分
  となっている。

また
　矩形ＡＢ、ＢＣは
　　　中項面積
　　である
から、
　矩形ＡＢ、ＢＣの２倍も
　　　中項面積
　　である、

• 　命題の設定、
  　定義１０ー１（通約）、
  　命題１０ー２３の系 (中項面積と通約なら中項面積)
  による。
• 　２矩形(ＡＢ、ＢＣ)；中項面積
  となっている。

そして
　　　ＤＨ
　　に等しい。

• 　（１）による。
• 　矩形ＤＨ＝２矩形(ＡＢ、ＢＣ)
  となっている。

したがって
　ＤＨも
　　　中項面積
　　である。

• 　前節、前々節による。
• 　矩形ＤＨ；中項面積
  となっている。

そして
　　　有理線分ＤＩにＤＦを幅として
　　つくられた。

• 　（１）による。
• 　矩形ＤＨ（ＤＩ、ＤＦ）
  となっている。

したがって
　ＤＦは
　　　有理線分
　　であり
　　　ＤＩと長さにおいて通約
　　できない。
　　　　　　[......(３)]

• 　前節、
  　命題１０ー２２（中項線分上正方形に等矩形で底辺有理線分なら幅は有理で非通約）
  による。
• 　ＤＦ；¬∩ＤＩ、有理線分
  となっている。

そして
　ＡＢ、ＢＣは
　　　平方においてのみ通約
　　できる
から、
　ＡＢは
　　　ＢＣと長さにおいて通約
　　できない。
<

• 　命題の設定、
  　定義の補足４（命題１０ー２３）(平方においてのみ通約できる中項線分)
  による。
• 　ＡＢ；¬ＢＣ
  となっている。

したがって
　ＡＢ上の正方形も
　　　矩形ＡＢ、ＢＣと通約
　　できない。

• 　前節、
  　命題６ー１（同高の三角形、平行四辺形は底辺と比例）
  　命題１０ー１３（通約量と非通約なら非通約）
  による。
  
• 　正方(_ＡＢ)；¬∩矩形(ＡＢ、ＢＣ)
  となっている。

ところが
　ＡＢ、ＢＣ上の正方形の和は
　　　ＡＢ上の正方形と通約
　　でき、
　矩形ＡＢ、ＢＣの２倍は
　　　矩形ＡＢ、ＢＣと通約
　　できる。

• 　命題の設定、
  　定義１０ー１（通約）
  　命題１０ー１５（通約量はその和・差とも通約）
  による。
  
• 　正方(_ＡＢ)＋正方(_ＢＣ)∩正方(_ＡＢ)、
  　２矩形(ＡＢ、ＢＣ)∩矩形(ＡＢ、ＢＣ)
  となっている。

したがって
　矩形ＡＢ、ＢＣの２倍は
　　　ＡＢ、ＢＣ上の正方形の和と
　　通約できない。

• 　前節、
  　命題１０ー１３（通約量と非通約なら非通約）
  による。
• 　２矩形(ＡＢ、ＢＣ)¬∩正方(_ＡＢ)＋正方(_ＢＣ)
  となっている。

ところが
　ＤＥは
　　　ＡＢ、ＢＣ上の正方形の和に、
　ＤＨは
　　　矩形ＡＢ、ＢＣの２倍
　　に等しい。

• 　（１）による。
• 　矩形ＤＥ＝正方(_ＡＢ)＋正方(_ＢＣ)
  　矩形ＤＨ＝２矩形(ＡＢ、ＢＣ)
  となっている。

したがって
　ＤＥは
　　　ＤＨと
　　通約できない。

• 　前節、前々節による。
• 　矩形ＤＥ¬∩矩形ＤＨ
  となっている。

ところが
　ＤＥが
　　　ＤＨに
　　対するように、
　ＧＤが
　　　ＤＦに
　　対する。

• 　（１）、
  　命題６ー１（同高の三角形、平行四辺形は底辺と比例）
  による。
  
• 　矩形ＤＥ：矩形ＤＨ＝ＧＤ：ＤＦ
  となっている。

したがって
　ＧＤは
　　　ＤＦと
　　通約できない。

• 　前節、前々節、
  　命題１０ー１１（４量比例で一方が通約なら他方も通約）
  による。
• 　ＧＤ¬∩ＤＦ
  となっている。

そして
　両方とも
　　　有理線分
　　である、

• 　（２） （３）による。
• 　ＧＤ、ＤＦ；有理線分
  となっている。

それゆえ
　ＧＤ、ＤＦは
　　　平方においてのみ通約できる
　　　有理線分
　　である。

• 　前節、前々節、
  　定義１０ー３の補足（有理線分）
  による。
• 　ＧＤ、ＤＦ；有理線分、
  　ＧＤ∩^^2 ＤＦ
  となっている。

したがって
　ＦＧは
　　　余線分
　　である。

• 　前節、
  　定義の補足(命題１０ー７３)(余線分)
  による。
• 　ＦＧ；余線分
  となっている。

ところが
　ＤＩは
　　　有理線分
　　である。

• 　（１）による。
• 　ＤＩ；有理線分
  となっている。

そして
　　　有理線分と無理線分によって
　　かこまれる
　矩形は
　　　無理面積
　　であり、
　　　それ
　　に等しい
　正方形の辺は
　　　無理線分
　　である。

• 　命題１０ー３８の補足(有理線分と無理線分による矩形は無理面積)
  　定義１０ー４（面積の有理、無理、無理線分）
  による。
• 　矩形ＥＦ；無理面積
  となっている。

そして
　ＡＣは
　　　ＦＥに等しい正方形の辺
　　である。

• 　（４）による。
• 　正方(_ＡＣ)＝矩形ＦＥ
  となっている。

よって
　ＡＣは
　　　無理線分
　　である。

• 　前節、前々節、
  　定義１０ー４（面積の有理、無理、無理線分）
  による。
• 　ＡＣ；無理線分
  となっている。

そして
　　　第２の中項余線分と
　　よばれる。

• 　前節、
  　定義の補足（命題１０ー７５）(第２の中項余線分)
  による。
• 　ＡＣ；第２の中項余線分
  となっている。

　これが
　　　証明すべきこと
　　であった。

• 命題１０ー７５は、
  　命題１０ー２８（作図.２中項線分;矩形が中項面積、平方でのみ通約）
  により、
  　２中項線分を
  　　とり、
  　大きい方を
  　　　ＡＢ、
  　小さい方を
  　　　ＢＣ
  　命題１ー３（作図・等しい線分を切り取る）　
  により、
  　　ＡＣからＢＣを引くと、
  　ＡＣは
  　　　第２の中項余線分
  　　とよばれる
  　　　無理線分
  のことである。
  
• 命題１０ー７５は推論用命題である。

  前提	作図・構成	推論
  定義		10-1,10-3補,10-4,補(題10-21),補4(題10-23),補(題10-73),補(題10-75)
  公準
  公理
  命題	1-3,6-16補3,補2(義10-3),10-28	2-7,6-1,10-11,10-13,10-15,10-22,10-23系
  その他

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