ユークリッド原論をどう読むか（１４）
頁末 　　 前 　　 次 　　 目次

ユークリッド原論

第１０巻
　
命題１０ー２８（作図.２中項線分;矩形が中項面積、平方でのみ通約）
(作図.任意個の平方のみ通約な量)

　中項面積をかこみ、
　平方においてのみ通約できる
　２つの中項線分を見いだす
こと。

• 中項面積は、
  定義の補足２（命題１０ー２３）による。
• かこみは、
  定義２ー１による。
• 平方においてのみ通約は、
  定義の補足（命題１０ー１９助）による。
• 中項線分は、
  定義の補足（命題１０ー２１）による。

　平方においてのみ通約できる
　有理線分Ａ、Ｂ、Ｃが定められ、
　Ａ、Ｂの比例中項Ｄがとられ、
　ＢがＣに対するように、
　ＤがＥに対するようになっている
とせよ。

• 　作図は以下の通り。
  　命題の補足２（定義１０ー３）(作図.任意の有理線分)
  により、
  　Ａ；有理線分
  をとる。
  　互いに相似でない
  　３つの平面数Ａ'、Ｂ'、Ｃ'
  　（例えば、３、４、５）
  をとり、
  　命題１０ー６の系２（作図.平方で数：数となる線分）
  により、
  　Ｂ；sq(_Ａ)：sq(_Ｂ)＝Ａ'：Ｂ'
  　Ｃ；sq(_Ａ)：sq(_Ｃ)＝Ａ'：Ｃ'
  をとると、
  　sq(_Ｂ)：sq(_Ｃ)＝Ｂ'：Ｃ'
  となり、
  　定義１０ー３の補足 （有理線分）
  により、
  　Ｂ、Ｃ；有理線分
  となり、
  　命題１０ー６（量が数：数なら通約可）
  により、
  　Ａ∩^2Ｂ、Ａ∩^2Ｃ、Ｂ∩^2Ｃ
  となり、
  　命題１０ー９（長さで通約と平方で通約）
  により、
  　Ａ¬∩Ｂ、Ａ¬∩Ｃ、Ｂ¬∩Ｃ
  となることによる。
  同様に、
  　互いに平方によってのみ通約できる
  　任意個の量が作図できる。
  (以下、命題１０ー２８の補足 (作図.任意個の平方のみ通約な量)という。)
  　命題６ー１３（作図.２線分の比例中項）
  により、
  　Ａ、Ｂの比例中項Ｄをとる。
  　命題６ー１２（作図.比例第４項）
  により、
  　Ｂ：Ｃ＝Ｄ：Ｅ
  　となるＥをとる。
  
• 　Ａ、Ｂ、Ｃ；有理線分、
  　Ａ∩^^2Ｂ、Ｂ∩^^2Ｃ、Ｃ∩^^2Ａ、
  　Ａ：Ｄ＝Ｄ：Ｂ、
  　Ｂ：Ｃ＝Ｄ：Ｅ
  となっている。

　Ａ、Ｂは
　平方においてのみ通約できる有理線分である

• 　命題の設定による。
• 　Ａ、Ｂ；有理線分、
  　Ａ∩^^2Ｂ
  となっている。

から、
　矩形Ａ、Ｂ、
　すなわちＤ上の正方形は中項面積である。
　　　　　　[......(１)]

• 　前節、 命題の設定、
  　定義の補足２（命題１０ー２３）（中項面積）
  による。
• 　rec(Ａ、Ｂ)＝sq(_Ｄ)；中項面積
  となっている。

したがって
　Ｄは中項線分である。
　　　　　　[......(２)]

• 　前節、
  　定義の補足（命題１０ー２１）（中項線分）
  による。
• 　Ｄ；中項線分
  となっている。

そして
　Ｂ、Ｃは平方においてのみ通約でき、
　ＢがＣに対するように、
　ＤがＥに対する

• 　命題の設定による。
• 　Ｂ∩^^2Ｃ、
  　Ｂ：Ｃ＝Ｄ：Ｅ
  となっている。

から、
　Ｄ、Ｅも平方においてのみ通約できる。

• 　前項、
  　命題１０ー１１（４量比例で一方が通約なら他方も通約）
  による。
• 　Ｄ∩^^2Ｅ
  となっている。

そして
　Ｄは中項線分である。

• 　（２）による。
• 　Ｄ；中項線分
  となっている。

　したがってＥも中項線分である。

• 　前節、前々節、
  　命題１０ー２３(中項線分と平方で通約なら中項線分)
  による。
• 　Ｅ；中項線分
  となっている。

それゆえ
　Ｄ、Ｅは
　平方においてのみ通約できる中項線分である。
　　　　　　[......(３)]

• 　前節、前々節、前々々節による。
• 　Ｄ、Ｅ；中項線分、
  　Ｄ∩^^2Ｅ
  となっている。

次に
　それらは中項面積をかこむ
と主張する。

　ＢがＣに対するように、
　ＤがＥに対する

• 　命題の設定による。
• 　Ｂ：Ｃ＝Ｄ：Ｅ
  となっている。

から、
　いれかえて
　ＢがＤに対するように、
　ＣがＥに対する。

• 　前節、
  　命題５ー１６（比例すれば錯比も比例）
  による。
• 　Ｂ：Ｄ＝Ｃ：Ｅ
  となっている。

ところが
　ＢがＤに対するように、
　ＤがＡに対する。

• 　命題の設定により、
  　ＤがＢ、Ａの比例中項になっている
  ことによる。
• 　Ｂ：Ｄ＝Ｄ：Ａ
  となっている。

したがって
　ＤがＡに対するように、
　ＣがＥに対する。

• 　前節、前々節、
  　命題５ー１１（同一の比に同じ比）
  による。
• 　Ｄ：Ａ＝Ｃ：Ｅ
  になっている。

それゆえ
　矩形Ａ、Ｃは矩形Ｄ、Ｅに等しい。

• 　前節、
  　命題６ー１６（比例４線分と外項矩形、内項矩形）
  による。
• 　rec(Ａ、Ｃ)＝rec(Ｄ、Ｅ)
  となっている。

そして
　矩形Ａ、Ｃは中項面積である。

• 　命題の設定により、
  　Ａ、Ｃ：有理線分、
  　Ａ∩^^2Ｃ
  となっており、
  　定義の補足２（命題１０ー２３）(中項面積)
  による。
• 　rec(Ａ、Ｃ)；中項面積
  となっている。

したがって
　矩形Ｄ、Ｅも中項面積である。

• 　前節、前々節、
  　定義１０ー１（通約）
  　命題１０ー２３の系 (中項面積と通約なら中項面積)
  による。
  
• 　rec(Ｄ、Ｅ)；中項面積
  となっている。

よって
　中項面積をかこみ、
　平方においてのみ通約できる
　２つの中項線分が見いだされた。

• 　前節、
  （３）による。
  

　これが証明すべきことであった。

• 命題１０ー２８は、
  　命題１０ー６の系２により、
  　有理線分Ａ、Ｂ、Ｃ；Ａ∩^^2Ｂ、Ａ∩^^2Ｃ、Ｂ∩^^2Ｃ
  をとり。
  　比例中項Ｄ(Ａ,Ｂ)；中項線分、
  　線分Ｅ；Ｂ：Ｃ＝Ｄ：Ｅ、中項線分
  をとれば、
  　rec(Ｄ、Ｅ)：中項面積
  のことである。
• 命題１０ー２８の補足 (作図.任意個の平方のみ通約な量)

  前提	作図	推論
  定義		10-3補
  公準
  公理
  命題	10-6系2	10-6,10-9
  その他

• 命題１０ー２８は作図用命題である。

  前提	作図・作図	推論
  定義		10-1,10-3補,補(題10-21),補2(題10-23)
  公準
  公理
  命題	6-12,6-13,補2(義10-3),10-6,10-6系2	5-11,5-16,6-16,10-11,10-23,10-23系
  その他

前 　　 次 　　 目次 　　頁頭