ユークリッド原論をどう読むか(14)
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ユークリッド原論

第10巻
 
命題10ー54(有理線分と第1の二項線分の矩形に等しい正方形の辺は二項線分)
もし
 面積
  有理線分第1の二項線分
  とによってかこまれる
ならば、
 その面積等し正方形
  二項線分とよばれる無理線分である。



 面積[矩形]ACが
  有理線分ABと
   第1の二項線分AD
   とによってかこまれる
とせよ。
 面積ACに等し正方形
  二項線分とよばれる無理線分である
と主張する。


 ADは
  第1の二項線分である

  から、
  Eでその項に分けられ、
  AEが大きい項である
とせよ。
そうすれば
 AE、EDは
  平方においてのみ通約できる有理線分
であり、
 AE上の正方形
  ED上の正方形より
   AEと通約できる線分上の正方形だけ大きく、
 AEは
  定められた有理線分ABと
   長さにおいて通約できる
ことは明らかである。
      [......(1)]
 EDが
  Fで2等分された
とせよ。
      [......(3)]

そうすれば
 AE上の正方形
  ED上の正方形より
   AEと通約できる線分上の正方形だけ大き

から、
もし
 小さい項の上の正方形の4分の1、
 すなわち
 EF上の正方形等しくて
  正方形だけ欠けている平行四形が
  大きい項AE上につくられた
ならば、
 それを通約できる部分に分ける。
そこで
 AE上に
  EF上の正方形等し
  矩形AG、GEがつくられた
とせよ。
そうすれば
 AGは
  EGと長さにおいて通約できる。
      [......(4)]

 G、E、Fから
  AB、CDのいずれかに平行
  GH、EK、FLがひかれた
とせよ。

 平行四辺形[矩形]AHに等し
  正方形SNが、
 [矩形]GKに等し
  [正方形]NPがつくられ、
 MNが
  NQとー直線をなすようにおかれた
とせよ。
      [......(2)]

そうすれば
 RNもNOと一直線をなす。

そして
 平行四辺形SPが
  完結された
とせよ。

そうすれば
 SPは正方形である。

そして
 矩形AG、GEは
  EF上の正方形等し

から、
 AGが
  EFに対するように
 FEがEGに対する。

したがって
 [矩形]AHが
  [矩形]ELに対するように
 [矩形]ELが[矩形]KGに対する。

それゆえ
 [矩形]ELは
  [矩形]AH、[矩形]GKの比例中項である。

ところが
 [矩形]AHは
  [正方形]SNに等しく、
 [矩形]GKは
  [正方形]NPに等しい。

したがって
 [矩形]ELは
  [正方形]SN、[正方形]NPの比例中項である。

ところが
 [矩形]MRも同じ[正方形]SN、NPの比例中項である。

したがって
 [矩形]ELは
  [矩形]MRに等しい。
      [......(5)]

したがって
 [矩形]OQにも等しい。

ところが
 [矩形]AH、GKは
  [正方形]SN、NPに等しい。

したがって
 [矩形]AC全体は
  [正方形]SP全体に、
  すなわち
  MQ上の正方形等しい。

ゆえに
 MQは
  [矩形]ACに等し正方形である。
        [......(7)]

次に
 MQが二項線分であると主張する。
 AGは
  GEと通約できる

から、
 AEも
  AG、GEの双方と通約できる。

ところが
 AEは
  ABとも通約できる
と仮定される。

したがって
 AG、GEは
  ABと通約できる。

そして
 ABは有理線分である。

したがって
 AG、GEの双方も
  有理線分である。

ゆえに
 [矩形]AH、GKの双方は
  有理面積であり、
 [矩形]AHは
  [矩形]GKと通約できる。
      [......(6)]

ところが
 [矩形]AHは[正方形]SNに、
 [矩形]GKは[正方形]NPに等しい。

したがって
 [正方形]SN、NP、
 すなわち
 MN、NQ上の正方形
  有理面積であり、
  通約できる。

そして
 AEは
  EDと長さにおいて通約できず、
 他方
 AEは
  AGと通約でき、

 DEは
  EFと通約できる

から、
 AGもEFと通約できない。

したがって
 [矩形]AHも
  [矩形]ELと通約できない。

ところが
 [矩形]AHは[正方形]SNに、
 [矩形]ELは[矩形]MRに等しい。

したがって
 [正方形]SNは
  [矩形]MRと通約できない。

ところが
 [正方形]SNが[矩形]MRに対するように
 ONがNRに対する。

したがって
 ONは
  NRと通約できない。

ところが
 ONはMNに、
 NRはNQに等しい。

したがって
 MNはNQと通約できない。

そして
 MN上の正方形
  NQ上の正方形通約でき、
 双方は有理面積である。

したがって
 MN、NQは
  平方においてのみ通約できる有理線分である。

よって
 MQは二項線分であり、

  [矩形]ACに等し正方形である。

これが証明すべきことであった。
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