ユークリッド原論をどう読むか(14)
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ユークリッド原論
第10巻
命題10ー54
(有理線分と第1の二項線分の矩形に等しい正方形の辺は二項線分)
もし
面積
が
有理線分
と
第1の二項線分
とによって
かこまれる
ならば、
その
面積
に
等し
い
正方形
の
辺
は
二項線分
とよばれる
無理線分
である。
面積は、
定義10ー2の補足2
による。
有理線分は、
定義10ー3の補足
による。
第1の二項線分は、
定義10Uー1
による。
等しいは、
公理1ー7
による。
かこまれるは、
定義2ー1
による。
したがって、
この段階では明示的でない
が、
面積ACは矩形である。
英語版では、
後半に
、
rectangles AC,GK
という表現が登場する。
正方形は、
定義1ー22
による。
辺は、
定義1ー19の補足
による。
二項線分は、
定義の補足(命題10ー36)
による。
無理線分は、
定義10ー4
による。
面積
[矩形]ACが
有理線分
ABと
第1の二項線分
AD
とによって
かこまれる
とせよ。
面積
ACに
等し
い
正方形
の
辺
は
二項線分
とよばれる
無理線分
である
と主張する。
命題の補足2(定義10ー3)
(作図.任意の有理線分)
命題10ー48
(作図.第1の二項線分)
命題2ー1の補足
(作図.矩形)
による。
AB:指定された有理線分
AD:第1の二項線分
矩形AC:矩形(AB,AD)
となっている。
ADは
第1の二項線分
である
命題の設定
である。
AD:第1の二項線分
となっている。
から、
Eでその項に分けられ、
AEが
大き
い項である
とせよ。
そうすれば
AE、EDは
平方においてのみ通約
できる
有理線分
であり、
AE上の
正方形
は
ED上の
正方形
より
AEと
通約
できる
線分
上の
正方形
だけ
大き
く、
AEは
定められた
有理線分
ABと
長さにおいて通約
できる
ことは明らかである。
[......(1)]
命題10ー42
(二項線分の分割は1通り)
定義10Uー1
(第1の二項線分)
による。
AB;定められた有理線分、
E(AD;AE、ED;有理線分、AE∩^^2ED、
正方(_AE)=正方(_ED)+正方(_T)、
AE∩T、AE∩AB)
となっている。
EDが
点
Fで2
等分
された
とせよ。
[......(3)]
命題1ー10
(作図・線分の2等分)
による。
中点F(ED)
となっている。
そうすれば
AE上の
正方形
は
ED上の
正方形
より
AEと
通約
できる
線分
上の
正方形
だけ
大き
い
(1)
による。
正方(_AE)=正方(_ED)+正方(_K)
AE∩K
となっている。
から、
もし
小さ
い項の上の
正方形
の4分の1、
すなわち
EF上の
正方形
に
等し
くて
正方形
だけ欠けている平行四
辺
形が
大き
い項AE上につくられた
ならば、
それを
通約
できる部分に分ける。
そこで
AE上に
EF上の
正方形
に
等し
く
矩形
AG、GEがつくられた
とせよ。
そうすれば
AGは
EGと
長さにおいて通約
できる。
[......(4)]
前節、
命題10ー17の補足
(作図.小線分上の正方形の4分の1になる大線分の矩形分割)
命題10ー17
(上の正方形の差が大と通約線分上の正方形⇔小の半分上の正方形に等しい大の矩形分割(コ)の辺は通約)
による。
AE>EDとして、
点G(AE;AG×GE=EF^2、
AG∩GE)
ならば、
sq(_AE)=sq(_ED)+sq(_AGーGE)
AGーGE∩AE
となっている。
G、E、Fから
AB、CDのいずれかに
平行
に
GH、EK、FLがひかれた
とせよ。
命題1ー31
(作図・平行線)
による。
GH‖EK‖FL‖AB‖CD
となっている。
平行四辺形
[矩形]AHに
等し
く
正方形
SNが、
[矩形]GKに
等し
く
[正方形]NPがつくられ、
MNが
NQとー
直線
をなすようにおかれた
とせよ。
[......(2)]
命題2ー14
(作図.直線図形に等しい正方形)
による。
正方(SN)=矩形(AH)、
正方(NP)=矩形(GK)、
点Q;延長MN
となっている。
そうすれば
RNもNOと一
直線
をなす。
命題1ー13
(直線と2直角1)
定義1ー22
(正方形・矩形・菱形・長斜方形・トラペジオン)
命題1ー14
(直線と2直角2)
による。
点R;延長ON
となっている。
そして
平行四辺形
SPが
完結された
とせよ。
コメント2(命題6ー14)
による。
平行四辺形SP;完結
となっている。
そうすれば
SPは
正方形
である。
命題10ー54助
(作図.2正方形の完結と比例中項) による。
平行四辺形SP;正方形
となっている。
そして
矩形
AG、GEは
EF上の
正方形
に
等し
い
(4)
による。
矩形(AG,GE)=正方(_EF)
となっている。
から、
AGが
EFに
対するように
、
FEがEGに対する。
前節、
命題6ー17
(比例3線分と外項矩形、中項正方形)
による。
AG:FE=FE:EG
となっている。
したがって
[矩形]AHが
[矩形]ELに
対するように
、
[矩形]ELが[矩形]KGに対する。
命題6ー1
(同高の三角形、平行四辺形は底辺と比例)
による。
矩形(AH):矩形(EL)=矩形(EL):矩形(KG)
となっている。
それゆえ
[矩形]ELは
[矩形]AH、[矩形]GKの
比例中項
である。
定義の補足3(命題6ー8)
(比例中項)
による。
矩形(EL);比例中項(矩形(AH),矩形(KG))
となっている。
ところが
[矩形]AHは
[正方形]SNに
等し
く、
[矩形]GKは
[正方形]NPに
等し
い。
(2)
による。
矩形(AH)=正方(_SN)、
矩形(GK)=正方(_NP)
となっている。
したがって
[矩形]ELは
[正方形]SN、[正方形]NPの
比例中項
である。
前節、前々節、
命題5ー7
(同一量の比)
による。
矩形(EL);比例中項(正方(_SN),正方(_NP))
となっている。
ところが
[矩形]MRも同じ[正方形]SN、NPの
比例中項
である。
命題10ー54助
(作図.2正方形の完結と比例中項)
による。
矩形(MR);比例中項(SN,NP)
となっている。
したがって
[矩形]ELは
[矩形]MRに
等し
い。
[......(5)]
命題6ー17の補足2
(等しいものの比例中項は等しい)
による。
矩形(EL)=矩形(MR)
となっている。
したがって
[矩形]OQにも
等し
い。
命題1−43
(平行四辺形の補形)
による。
矩形(EL)=矩形(MR)=矩形(OQ)
となっている。
ところが
[矩形]AH、GKは
[正方形]SN、NPに
等し
い。
(2)
による。
矩形(AH)=正方(_SN)、
矩形(GK)=正方(_NP)
となっている。
したがって
[矩形]AC全体は
[正方形]SP全体に、
すなわち
MQ上の
正方形
に
等し
い。
(3)
により、
矩形(EL)=矩形(FC)
となり、
命題2ー4
(2分線分上の正方形)
による。
矩形(AC)=正方(SP)=正方(_MQ)
となっている。
ゆえに
MQは
[矩形]ACに
等し
い
正方形
の
辺
である。
[......(7)]
前節による。
正方(_MQ)=矩形(AC)
となっている。
次に
MQが
二項
線分
であると主張する。
AGは
GEと
通約
できる
(4)
による。
AG∩GE
となっている。
から、
AEも
AG、GEの双方と
通約
できる。
命題10ー15
(通約量はその和・差とも通約)
による。
AE∩(AG、GE)
となっている。
ところが
AEは
ABとも
通約
できる
と仮定される。
命題の設定
である。
AE∩AB
となっている。
したがって
AG、GEは
ABと
通約
できる。
前節、前々節、
命題10ー12
(通約量と通約なら通約)
による。
(AG、GE)∩AB
となっている。
そして
ABは
有理線分
である。
命題の設定
である。
AB;有理線分
となっている。
したがって
AG、GEの双方も
有理線分
である。
前節、前々節、
定義10ー3の補足
(有理線分)
による。
AG、GE;有理線分
となっている。
ゆえに
[矩形]AH、GKの双方は
有理面積
であり、
[矩形]AHは
[矩形]GKと
通約
できる。
[......(6)]
Euclid's Elements
(Clark University Professor D.E.Joyceの
http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/elements.html)
においては、
therefore each of the rectangles AH,GK is rational,
and AH is commensurable with GK.
となっている。
前節、前々節、
命題10ー19
(長さで通約な有理線分の矩形は有理面積)
による。
矩形(AH)、矩形(GK);有理面積、
矩形(AH)∩矩形(GK)
となっている。
ところが
[矩形]AHは[正方形]SNに、
[矩形]GKは[正方形]NPに
等し
い。
(2)
による。
矩形(AH)=正方(_SN)、
矩形(GK)=正方(_NP)
となっている。
したがって
[正方形]SN、NP、
すなわち
MN、NQ上の
正方形
は
有理面積
であり、
通約
できる。
前節、前々節、
命題10ー12
(通約量と通約なら通約)
による。
正方(SN)、正方(NP);有理面積、
正方(SN)∩正方(NP)
となっている。
そして
AEは
EDと
長さにおいて通約
できず、
他方
AEは
AGと
通約
でき、
(4)
による。
AE¬∩ED、
AE∩AG
となっている。
DEは
EFと
通約
できる
(3)
、
定義10ー1
(通約)
による。
DE∩EF
となっている。
から、
AGもEFと
通約
できない。
前節、前々節、
命題10ー13
(通約量と非通約なら非通約)
による。
AG¬∩EF
となっている。
したがって
[矩形]AHも
[矩形]ELと
通約
できない。
前節、
命題6ー1
(同高の三角形、平行四辺形は底辺と比例)
命題10ー11
(4量比例で一方が通約なら他方も通約)
による。
矩形(AH)¬∩矩形(EL)
となっている。
ところが
[矩形]AHは[正方形]SNに、
[矩形]ELは[矩形]MRに
等し
い。
(2)
、
(5)
による。
矩形(AH)=正方(SN)、
矩形(EL)=正方(MR)、
となっている。
したがって
[正方形]SNは
[矩形]MRと
通約
できない。
前節、前々節、
命題10ー13
(通約量と非通約なら非通約)
による。
正方(SN)¬∩矩形(MR)
となっている。
ところが
[正方形]SNが[矩形]MRに
対するように
、
ONがNRに対する。
命題6ー1
(同高の三角形、平行四辺形は底辺と比例)
による。
正方(SN):矩形(MR)=ON:NR
となっている。
したがって
ONは
NRと
通約
できない。
前節、前々節、
命題10ー11
(4量比例で一方が通約なら他方も通約)
による。
ON¬∩NR
となっている。
ところが
ONはMNに、
NRはNQに
等し
い。
(2)
による。
ON=MN、
NR=NQ
となっている。
したがって
MNはNQと
通約
できない。
前節、前節、
命題10ー13
(通約量と非通約なら非通約)
による。
MN¬∩NQ
となっている。
そして
MN上の
正方形
は
NQ上の
正方形
と
通約
でき、
双方は
有理面積
である。
(2)
、
(6)
による。
正方(_MN)、正方(_NQ);有理面積、
正方(_MN)∩正方(_NQ)
となっている。
したがって
MN、NQは
平方においてのみ通約
できる
有理線分
である。
前節、前々節、
定義10ー3の補足
(有理線分)
による。
MN∩^^2 NQ
MN、NQ;有理線分
となっている。
よって
MQは
二項線分
であり、
前節、
定義の補足(命題10ー36)
(二項線分)
による。
MQ=MN+NQ、
MN∩^^2 NQ、
MN、NQ;有理線分
となっている。
[矩形]ACに
等し
い
正方形
の
辺
である。
(7)
による。
正方(_MQ)=矩形(AC)
となっている。
これが証明すべきことであった。
命題10ー54
は、
AB:指定された有理線分
AD:第1の二項線分
E(AD;AE、ED;有理線分、AE∩^^2ED、
正方(_AE)=正方(_ED)+正方(_T)、
AE∩T、AE∩AB)
矩形AC:矩形(AB,AD)
中点F(ED)
点G(AE;AG×GE=EF^2、
AG∩GE)
をとれば、
T=AGーGE
となり、
GH‖EK‖FL‖AB‖CD
正方(SONM)=矩形(ABHG)、
正方(NQPR)=矩形(GHKE)、
点Q;延長MN
点R;延長ON
をとれば、
MQ=MN+NQ;二項線分
正方(_MQ)=矩形(AC)
MN∩^^2 NQ、
MN、NQ;有理線分
のことである。
命題10ー54
は推論用命題である。
前提
作図・構成
推論
定義
1-22
,
補3(題6-8)
,
10-1
,
10-3補
,
補(題10-36)
,
10U-1
公準
公理
命題
1-10
,
1-31
,
2-1補
,
2-14
,
補2(義10-3)
,
10-17補
,
10-48
,
10-54助
1-13
,
1-14
,
1-43
,
2-4
,
5-7
,
6-1
,
6-17
,
6-17補2
,
10-11
,
10-12
,
10-13
,
10-15
,
10-17
,
10-19
,
10-42
その他
コ2(題6-14)
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