ユークリッド原論をどう読むか（１４）
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ユークリッド原論

第１０巻
　
命題１０ー４８（作図.第１の二項線分）
　第１の二項線分を見いだすこと．

• 第１の二項線分は、
  定義１０�Uー１による。

　二つの数ＡＣ、ＣＢが定められ、
　それらの和ＡＢが
　　ＢＣに対し、
　　平方数が平方数に対する比
　をもち、
　　ＣＡに対し
　　平方数が平方数に対する比
　をもたないようにし、

• 「数（について）・・・とせよ」は、
  　コメント４（命題７ー１）参照のこと。
  　
• 　命題１０ー２９助ａの補足(作図.差が平方数でない２平方数) により、
  　ＡＢ、ＢＣ'をとり、
  　点Ｃ(ＡＢ;ＢＣ＝ＢＣ')
  をとっている。
• 　ＡＢ：ＢＣ＝平方数：平方数、
  　ＡＢ：ＡＣ≠平方数：平方数
  となっている。

　ある有理線分Ｄが定められ、

• 　命題の補足２（定義１０ー３）(作図.任意の有理線分)
  による。
• 　線分Ｄ(;有理線分)
  となっている。

　ＥＦが
　　Ｄと長さにおいて通約できる
とせよ。
　　　　　　[......(１)]

• 　命題１０ー６の系３（作図.長さ・平方で通約可の線分)
  による。
  
• 　線分ＥＦ(;∩Ｄ)
  となっている。

そうすれば
　ＥＦも有理線分である。

• 　前節、
  　定義１０ー３の補足（有理線分）
  による。
• 　ＥＦ；有理線分
  となっている。

そして
　数ＢＡがＡＣに対するように、
　ＥＦ上の正方形がＦＧ上の正方形に対する
とせよ。
　　　　　　[......(２)]

• 　命題１０ー６の系２（作図.平方で数：数となる線分）
  により
  　ＦＧ'をとり、
  　命題１ー３（作図・等しい線分を切り取る）　
  により、
  　点Ｇ(延長ＥＦ;ＦＧ＝ＦＧ')
  をとる。
  
• 　正方(_ＥＦ)：正方(_ＦＧ)＝ＢＡ：ＡＣ
  となっている。

《ところが》
　ＡＢは
　　ＡＣに対し、
　　数が数に対する比
　をもつ。

• 　命題の設定による。
• 　ＡＢ：ＡＣ＝数：数
  となっている。

したがって
　ＥＦ上の正方形は
　　ＦＧ上の正方形に対し、
　　数が数に対する比
　をもつ。

• 　前節、
  　命題５ー１１（同一の比に同じ比）
  による。
• 　正方(_ＥＦ)：正方(_ＦＧ)＝数：数
  となっている。

それゆえ
　ＥＦ上の正方形は
　　ＦＧ上の正方形
　と通約できる。
　　　　　　[......(３)]

• 　前節、
  　命題１０ー６（量が数：数なら通約可）
  による。
• 　正方(_ＥＦ)∩正方(_ＦＧ)
  となっている。

そして
　ＥＦは
　　有理線分
　である。

• 　（１）による。
• 　ＥＦ；有理線分
  となっている。

したがって
　ＦＧも
　　有理線分
　である。
　　　　　　[......(４)]

• 　前節、前々節、
  　定義１０ー３の補足（有理線分）
  による。
• 　ＦＧ；有理線分
  となっている。

そして
　ＢＡは
　　ＡＣに対し、
　　平方数が平方数に対する比
　をもたない

• 　命題の設定による。
• 　ＢＡ：ＡＣ≠平方数：平方数
  となっている。

から、
　ＥＦ上の正方形も
　　ＦＧ上の正方形に対し、
　　平方数が平方数に対する比
　をもたない。

• 　（２）、前節、
  　命題５ー１３の補足４（異なる比に同じ比は異なる）
  による。
• 　正方(_ＥＦ)：正方(_ＦＧ)≠平方数：平方数
  となっている。

したがって
　ＥＦは
　　ＦＧと長さにおいて通約できない。

• 　前節、
  　命題１０ー９（長さで通約と正方形・平方数の比）
  による。　
• 　ＥＦ¬∩ＦＧ
  となっている。

ゆえに
　ＥＦ、ＦＧは
　　平方においてのみ通約できる
　　有理線分
　である。

• 　（１）、 （３）、 （４）、 前節による。
• 　ＥＦ、ＦＧ；有理線分、
  　　ＥＦ∩^^2 ＦＧ
  となっている。

したがって
　ＥＧは
　　二項線分
　である。

• 　前節、
  　定義の補足（命題１０ー３６）(二項線分)
  による。
• 　ＥＧ；二項線分
  となっている。

　第１の二項線分
　でもある
と主張する。
　数ＢＡが
　　ＡＣに対するように、
　ＥＦ上の正方形が
　　ＦＧ上の正方形に対し、

• 　（２）による。
• 　ＢＡ：ＡＣ＝正方(_ＥＦ)：正方(_ＦＧ)
  となっている。

　ＢＡが
　　ＡＣより大きい

• 　命題の設定による。
• 　ＢＡ＞ＡＣ
  となっている。

から、
　ＥＦ上の正方形も
　　ＦＧ上の正方形より大きい。

• 　前節、
  　定義１ー２２（正方形・矩形・菱形・長斜方形・トラペジオン）、
  　公理１ー８（大きい）
  による。
• 　正方(_ＥＦ)＞正方(_ＦＧ)
  となっている。

そこで
　ＦＧ、Ｈ上の正方形の和が
　　ＥＦ上の正方形に等しい
とせよ。
　　　　　　　　[......(５)]

• 　命題１ー３（作図・等しい線分を切り取る）　
  により、
  　点Ｋ(ＥＦ;ＦＫ＝ＦＧ)、
  をとると、
  　命題２ー５（線分の矩形分割）
  により、
  　正方(_ＥＦ)＝正方(_ＦＧ)＋矩形(ＥＫ,ＥＧ)
  となり、
  　命題６ー１７の補足 (作図.線分上に矩形と等しい正方形)
  により、
  　線分Ｈ(;正方(_Ｈ)＝矩形(ＥＫ,ＥＧ))
  をとる。
  
• 　正方(_ＥＦ)＝正方(_ＦＧ)＋正方(_Ｈ)
  となっている。

そうすれば
　ＢＡが
　　ＡＣに対するように、
　ＥＦ上の正方形が
　　ＦＧ上の正方形に対する

• 　（２）による。
• 　ＢＡ：ＡＣ＝正方(_ＥＦ)：正方(_ＦＧ)
  となっている。

から、
　反転比により
　ＡＢが
　　ＢＣに対するように、
　ＥＦ上の正方形が
　　Ｈ上の正方形に対する。

• 　命題５ー１９の系の補足２(比例ならば反転も比例)
  による。
• 　ＡＢ：ＢＣ＝正方(_ＥＦ)：正方(_Ｈ)
  となっている。

ところが
　ＡＢは
　　ＢＣに対し、
　　平方数が平方数に対する比
　をもつ。

• 　命題の設定による。
• 　ＡＢ：ＢＣ＝平方数：平方数
  となっている。

したがって
　ＥＦ上の正方形は
　　Ｈ上の正方形に対し、
　　平方数が平方数に対する比
　をもつ。

• 　前節、前々節、
  　命題５ー１１（同一の比に同じ比）
  による。
• 　正方(_ＥＦ)：正方(_Ｈ)＝平方数：平方数
  となっている。

ゆえに
　ＥＦは
　　Ｈと長さにおいて通約できる。

• 　前節、
  　命題１０ー９（長さで通約と正方形・平方数の比）
  による。
• 　ＥＦ∩Ｈ
  となっている。

したがって
　ＥＦ上の正方形は
　　ＦＧ上の正方形より
　　ＥＦと通約できる線分上の正方形
　だけ大きい。

• 　（５）、前節による。
• 　正方(_ＥＦ)＝正方(_ＦＧ)＋正方(_Ｈ)
  　ＥＦ∩Ｈ
  となっている。

そして
　ＥＦ、ＦＧは
　　有理線分であり、
　ＥＦは
　　Ｄと長さにおいて通約できる。

• 　（１）、 （４）による。
• 　ＥＦ、ＦＧ；有理線分、
  　ＥＦ∩Ｄ
  となっている。

よって
　ＥＧは
　　第１の二項線分である。

• 　前節、
  　定義１０�Uー１（第１の二項線分）
  による。
• ＥＧ；第１の二項線分
  となっている。

これが証明すベきことであった。

• 命題１０ー４８は、
  　命題１０ー２９助ａの補足により、
  　線分ＡＢ、点Ｃ(ＡＢ)を、
  　　ＡＢ：ＢＣ＝平方数：平方数、
  　　ＡＢ：ＡＣ≠平方数：平方数
  となるようにとり、
  　ある有理線分Ｄ
  　線分ＥＦ(;∩Ｄ)
  をとり、
  　命題１０ー６の系２により、
  　点Ｇ(延長ＥＦ;
  　　正方(_ＥＦ)：正方(_ＦＧ)＝ＢＡ：ＡＣ)
  となるようにとれば、
  　ＥＧは、第１の二項線分
  のことである。
  
• 命題１０ー４８は作図用命題である。

  前提	作図・構成	推論
  定義		1-22,10-3補,補(題10-36),a2-1
  公準
  公理		1-8
  命題	1-3,6-17補,補2(義10-3),10-6系2,10-6系3,10-29助a補	2-5,5-11,5-13系2,5-19系2,10-6,10-9
  その他	コ4(題7-1)

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