ユークリッド原論をどう読むか（８）
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ユークリッド原論

第４巻

命題４ー１６（正十五角形を円に内接）
十五角形　 (正１５角形を円に外接)　
(円を正１５角形に内接・外接)　
与えられた円に
　等辺等角な十五角形を
　内接させること。

• 円は、 定義１ー１５ による。
• 等辺は、 定義１ー２０の補足 による。
• 等角は、 定義の補足（命題４ー１１） による。
• 十五角形は、角（辺）の数が１５の、
  定義１ー１９の補足２ にいう多角形である。
  （以下、定義の補足（命題４ー１５）という。）
• 内接は、 定義４ー３ による。

与えられた円を
　ＡＢＣＤとせよ。

• 　円ＡＢＣＤ
  をとっている。

このとき
　円ＡＢＣＤに
　等辺等角な十五角形を
　内接させねばならぬ。

円ＡＢＣＤに
　それに内接する
　等辺三角形の辺ＡＣと、
　等辺［等角な］五角形の辺ＡＢと
　が《内接》［挿入］されたとせよ。

• 公準１ー１の補足 （作図.任意の点をとる）
  により
  　円周上に点Ａをとる。
  命題４ー２ （作図.等角三角形の内接）
  により
  　Ａを頂点の１つとする
  　　正三角形を内接させる。
  このとき
  　残りの頂点をＣ、Ｄとする。
  また、
  　 命題４ー１１ （作図.円に正５角形を内接）
  により
  　Ａを頂点の１つとする
  　　正五角形を内接させる。
  
  • 　正三角形ＡＣＤ[;;（内接）円ＡＢＣＤ]、
    　正五角形ＡＢ(Ａ,;;（内接）円ＡＢＣＤ,Ｂ;反対側(ＡＣ,Ｄ))
    をとっている。
  
  正三角形の頂点は
  　円周を３等分し、
  正五角形の頂点は
  　円周を５等分する。
  定義の補足２（命題４ー１５） (分の１)
  により、
  　円周の３分の１である弧ＡＣの間に、
  　正五角形の頂点Ｂで、
  　　弧ＡＢが円周の５分の１となる
  　ものがある。
  Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄを溯って用いている。
• 　頂点.正三角形ＡＣＤ;三等分点.円ＡＢＣＤ、
  　頂点.正五角形ＡＢ;五等分点.円ＡＢＣＤ
  となっている。

そうすれば
　円周ＡＢＣＤは
　１５の等しい部分に分けられ［て］、
　円周の３分の１である
　　弧ＡＢＣには
　そのうち［の］５つがあり、
　円周の５分の１である
　　弧ＡＢには
　３つがあるであろう。
それゆえ
　残りのＢＣには
　等しい部分のうち［の］２つがある。

• 円周を１５等分した
  　と考えたら
  　こうなるはずだ
  　という推論である。
• 　弧ＡＢＣ;５×１／１５×円周ＡＢＣＤ
  　弧ＡＢ;３×１／１５×円周ＡＢＣＤ
  　弧ＢＣ;２×１／１５×円周ＡＢＣＤ
  となっている。

ＢＣが
　Ｅで２等分されたとせよ。

• 命題３ー３０ （作図.弧の２等分）
  による。
• 　二等分点Ｅ(弧ＢＣ)
  をとっている。

そうすれば
　弧ＢＥ、ＥＣの双方は
　円周ＡＢＣＤの１５分の１である。

• 　弧ＢＥ、ＥＣ;１／１５×円周ＡＢＣＤ
  となっている。

よってもし
　ＢＥ、ＢＣが結ばれ、

• 　線分ＢＥ、ＥＣ
  をとっている。

　それらに等しい線分を
　順次に
　円ＡＢＣＤに挿入するならば、

• 　公準１ー１（作図.直線）
  命題４ー１ （作図.線分の挿入）
  による。
• 　１５等分点.円周ＡＢＣＤ
  をとっている。

　等辺等角な十五角形が
　円に内接された
　ことになるであろう。

• 命題３ー２８ （等しい弦は等しい弧を切り取る）
  により、
  　挿入された線分は
  　すべて円周の１５分の１の弧を切り取る
  ことによる。
• 　１５角形;等辺,等角,（内接）円周ＡＢＣＤ
  となっている。

これが作図すべきものであった。

［系］ そして
　五角形のときと同様に、
　もし
　円周上の区分点を通って
　円の接線をひけば、
　等辺等角な十五角形が
　円に外接されるであろう。
(以下、命題４ー１６の系２ (正１５角形を円に外接)という。)

• 　原論のテキストに、
  　冒頭の命題に関連するものとして
  　記載されている
  ので、
  　以下を
  　系と位置付ける。
  
• 命題４ー１２ （円に正五角形を外接）
  を参照のこと。
• 　円Ｏ
  に対して、
  　正１５角形[;;（内接）円Ｏ]
  をとり、
  　第0１５等分点;第15１５等分点、
  　n=n mod 15
  として、
  　交点Ａn(接線(第n１５等分点.円周Ｏ,円Ｏ),接線(第n+1１５等分点.円周Ｏ,円Ｏ))、
  　線分ＡnＡn+1
  をとると、
  　１５角形Ａ0Ａ1･･･Ａ14;等辺,等角,（外接）円
  となっている。

そしてまた
　五角形のときと同様な証明によって
　与えられた十五角形に
　円を内接および外接させうる。
(以下、命題４ー１６の系３ (円を正１５角形に内接・外接)という。)

• 命題４ー１３ （円に正五角形を内接） 、
  命題４ー１４ （正五角形に円を外接）
  を参照のこと。
• 　正１５角形Ａ0Ａ1･･･Ａ14
  に対して、
  　n=n mod 15
  として、
  　交点Ｏ(二等分線(∠Ａ0Ａ1Ａ2),二等分線(∠Ａ1Ａ2Ａ3))、
  　垂足Ｂn(Ｏ,ＡnＡn+1)、
  をとれば、
  　円(Ｏ,ＯＢ0);（内接）正１５角形Ａ0Ａ1･･･Ａ14、
  　円(Ｏ,ＯＡ0);（外接）正１５角形Ａ0Ａ1･･･Ａ14
  となっている。
  

これが作図すべきものであった。

• 　命題４ー１６は、
  　公準１ー１の補足（作図.任意の点をとる）
  により
  　円周上に点Ａをとり、
  　命題４ー２（作図.等角三角形の内接）
  により
  　Ａを頂点の１つとする
  　　正三角形ＡＣＤを内接させ、
  　命題４ー１１（作図.円に正５角形を内接）
  により
  　Ａを頂点の１つとする
  　　正五角形Ａを内接させると、
  　定義の補足２（命題４ー１５）(分の１)
  により、
  　円周の３分の１である弧ＡＣの間に、
  　正五角形の頂点Ｂで、
  　　弧ＡＢが円周の５分の１となる
  　ものがあり、
  　命題３ー３０（作図.弧の２等分）
  により、
  　弧ＢＣをＥで２等分すると、
  　弧ＢＥ、ＥＣは、
  　　円周の１５分の１となり、
  　公準１ー１（作図.直線）
  により、
  　線分ＢＥを結び、
  　命題４ー１ （作図.線分の挿入）
  により、
  　線分ＢＥに等しい線分を
  　円に順に挿入すると、
  　正１５角形
  のことである。
• 命題４ー１６の系２ (正１５角形を円に外接)
  　命題４ー１２における4-11を4-16に入れ替えたもの

  前提	作図	推論
  定義		1-10補2,1-15,1-20補,補(理1-5),補(理1-6),4-4,補(題4-2)
  公準	1-1
  公理		1-1,1-1補,1-3,1-5,1-5補2,1-6
  命題	1-31補2,3-1,3-16補3,4-16	1-8,1-13,1-26,1-47,1-48補,3-16系,3-27,3-28
  その他

• 命題４ー１６の系３ (円を正１５角形に内接・外接)
  • 　（内接）命題４ー１３（作図.正五角形に円を内接）と同じ。

    前提	作図	推論
    定義		1-8補,1-19補3,3-2,3-2補2,補(理1-5),補2(理1-6)
    公準	1-1,1-3,1-5
    公理		1-1補,1-4補3,1-8補4
    命題	1-9,1-12	1-4,1-26,3-16
    その他	コ(題4-4)	コ(題1-4)fi, コ2(題4-4)

  • （外接）命題４ー１４（作図.正五角形に円を外接）と同じ。

    前提	作図	推論
    定義		1-15,1-19補3,4-6,補(理1-5),補2(理1-6)
    公準	1-3,1-5
    公理		1-1補,1-4補3,1-8補4
    命題	1-9	1-4,1-6
    その他	コ(題4-4)	コ2(題4-4)

  
  
• 命題４ー１６は作図用命題である。

  前提	作図	推論
  定義		補2(題4-15)
  公準	1-1,1-1補
  公理
  命題	3-30,4-1,4-2,4-10	3-28
  その他

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