ユークリッド原論をどう読むか（８）
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ユークリッド原論

第４巻

命題４ー１４（作図.正五角形に円を外接）
与えられた等辺等角な五角形に
　円を外接させること。

• 等辺は、 定義１ー２０の補足 による。
• 等角は、 定義の補足（命題４ー１１） による。
• 五角形は、 定義の補足２（命題４ー１１） による。
• 円は、 定義１ー１５ による。
• 外接は、 定義４ー６ による。

与えられた等辺等角な五角形を
　ＡＢＣＤＥとせよ。

• 　正五角形ＡＢＣＤ
  をとっている。

このとき
　五角形ＡＢＣＤＥに
　円を外接させねばならぬ。

角ＢＣＤ、ＣＤＥの双方が
　線分ＣＦ、ＤＦの双方によって２等分され、
　２線分が相会する点Ｆから、
　Ｂ、Ａ、Ｅに
　線分ＦＢ、ＦＡ、ＦＥが結ばれたとせよ。 【・・・(a)】

• 命題１ー９ （作図・角の２等分）
  により、
  　角ＢＣＤがＣＦにより、
  　角ＣＤＥがＤＦ’により
  　２等分される。
  定義１ー１９の補足３ （凸多角形）
  により、
  角ＢＣＤ、ＣＤＥは
  　２直角より小さい。
  公理１ー８の補足４ （大きい・小さいもののｎ倍・ｎ等分）
  により、
  角ＦＣＤ、Ｆ’ＤＣは
  　直角より小さい。
  よって、
  　 公理１ー４の補足３ （大きい（小さい）ものどうしを加える）
  により、
  角ＦＣＤ、Ｆ’ＤＣの和は
  　２直角より小さい。
  したがって
  　 公準１ー５ （平行線公準）
  により、
  ＣＦとＣＦ’は
  　１点で交わる。
  なお、
  この交点は、
  　 定義１ー１９の補足３ （凸多角形）
  により、
  　辺ＣＤについて、
  　他の辺と同じ側にある。
  その交点を改めてＦとし、
  　溯って用いている。
• 　交点Ｆ(二等分線(∠ＢＣＤ),二等分線(∠ＣＤＥ))、
  　線分ＦＢ、ＦＡ、ＦＥ
  をとっている。

そうすれば
　この前と同様にして、
　角ＣＢＡ、ＢＡＥ、ＡＥＤのおのおのも
　線分ＦＢ、ＦＡ、ＦＥのおのおのによって
　２等分されたことが証明されうる。

• 「この前と同様にして」は、
  　原論で初めて登場する表現である。
  具体的には
  　 命題４ー１３ （円に正五角形を内接）
  の
  　　ＦＢ、ＦＡ、ＦＥが
  　　角を２等分する
  　ことについての論証を指す。
  そこにおいて、
  論拠となる命題等は、
  以下の通りである。
  　 命題１ー４ （２辺挟角相等）、
  　 定義の補足（公理１ー５） （同じもののｎ倍）、
  　 定義の補足２（公理１ー６） （ｎ等分・ｎ分の１）
  
• 原論において、
  　命題の図が
  　頂点の記号も含めて
  　それまでの命題と同一となるのは、
  　これが初めてである。
• 　ＦＢ;二等分線(∠ＣＢＡ)、
  　ＦＡ;二等分線(∠ＢＡＥ)、
  　ＦＥ;二等分線(∠ＡＥＤ)
  となっている。

そして
角ＢＣＤは
　角ＣＤＥに等しく、

• 命題の設定による。
• 　∠ＢＣＤ＝∠ＣＤＥ
  となっている。

角ＦＣＤも
　角ＦＤＣに等しい。

• (a) による。
• 　∠ＦＣＤ＝∠ＦＤＣ
  となっている。

それゆえ
辺ＦＣも
　辺ＦＤに等しい。

• 命題１ー６ （等しい底角なら二等辺三角形）
  による。
• 　ＦＣ＝ＦＤ
  となっている。

同様にして
ＦＢ、ＦＡ、ＦＥのおのおのも
　ＦＣ、ＦＤの双方に等しい
　ことが証明されうる。
ゆえに
５つの線分ＦＡ、ＦＢ、ＦＣ、ＦＤ、ＦＥは
　互いに等しい。

• 公理１ー１の補足 （等しいものに等しい）
  による。
• 　ＦＡ＝ＦＢ＝ＦＣ＝ＦＤ＝ＦＥ
  となっている。

したがって
　Ｆを中心とし、
　ＦＡ、ＦＢ、ＦＣ、ＦＤ、ＦＥの１つを
　半径として
　円が描かれれば、

• 「の１つ」については、
  　 コメント（命題４ー４） を参照のこと。
• 公準１ー３ （作図.円）
  による。

　残りの点をも通り、

• 定義１ー１５ （円）
  による。
• 　Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅ;点[円周(Ｆ,ＦＡ)]
  となっている。

　そして
　外接されているであろう。

• 定義４ー６ （外接(円の)）
  による。
• 　円(Ｆ,ＦＡ);（外接）正方形ＡＢＣＤＥ
  となっている。

外接されたとし、
　それをＡＢＣＤＥとせよ。

• 「されたとし」については、
  　 コメント２（命題４ー４） を参照のこと。

よって
　与えられた等辺等角な五角形に円が外接された。
これが作図すべきものであった。

• 命題４ー１４は、
  　正五角形ＡＢＣＤ
  に対して、
  　交点Ｆ(二等分線(∠ＢＣＤ),二等分線(∠ＣＤＥ))、
  をとれば、
  　円(Ｆ,ＦＡ);（外接）正方形ＡＢＣＤＥ
  のことである。
• 命題４ー１４は作図用命題である。

  前提	作図	推論
  定義		1-15,1-19補3,4-6,補(理1-5),補2(理1-6)
  公準	1-3,1-5
  公理		1-1補,1-4補3,1-8補4
  命題	1-9	1-4,1-6
  その他	コ(題4-4)	コ2(題4-4)

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