ユークリッド原論をどう読むか（６）
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ユークリッド原論

第３巻

□定義

定義３ー１（等しい２円）
　等しい２円とは
　その直径が等しいか
　または
　その半径が等しい
　ものである。

• 直径は
  　定義１ー１７により
  　半径の２倍である。
  したがって
  　半径が等しければ
  　公理１ー５により
  　直径も等しい。
  直径が等しければ
  　公理１ー６により
  　半径も等しい。

定義３ー２（接する）
　円と会し
　延長されて円を切らない直線は
　円に接する
　といわれる。

• 会すとは
  　相手の一部を
  　共有点としてもつこと
  　である。
  　（以下、定義３ー２の補足（会す） という）
• 直線が円を切るとは、
  　直線について
  　両方の側に円の部分が存在する
  　　状態になっていること
  　である。
  　（以下、定義３ー２の補足２（切る） という）
  すなわち、
  　直線が円周と２点で交わり、
  　円を
  　２つの部分に分ける
  　ということである。
• 接する場合に
  　接する線を接線という。
  　共有する点を接点という。
  　（以下、定義３ー２の補足３（接線・接点）という）

定義３ー３（相接する）
　相会し相交わらない円は
　相接するといわれる。

• 相とは互いにということである。
• 交わるとは
  　定義１ー８の補足にあるとおり、
  　境界について両側に
  　（つまり内側と外側に）
  　相手の部分をもつことである。
  

定義３ー４（中心から等距離）
　 円において弦は、
　中心からそれに下す垂線が等しいとき、
　中心から等距離にあるといわれる。

• 弦とは
  　円を切る直線で
  　円の内部にあるもの
  　をいう。（以下、定義３ー４の補足（弦）という。）
• 円周上の２点を結ぶ線分が
  　円の内部にあること
  　については
  　命題３ー２で証明される。
• 命題１ー１２により
  　中心から
  　弦に垂線を下すことができる。
• 直線上の点と
  　中心とを結ぶ線分は
  　公準１ー１により存在するが、
  　命題１ー４７により
  　中心から下ろした垂線
  　より大きい。
• 距離(点と直線)とは
  　点から直線におろした
  　垂線の長さ
  　をいう。（以下、定義３ー４の補足２（距離(点と直線)）という。）

定義３ー５（大きい距離・遠い）
　大きい垂線が下される弦は
　大きい距離にある
　といわれる。

• 中心から遠いということである。
• 小さい垂線が下される弦は
  小さい距離にある
  　といわれる。（以下、定義３ー５の補足（小さい距離・近い）という。）
• 中心から近いということである。

定義３ー６（切片）
　円の切片とは
　弦と弧とにかこまれた
　図形である。

• 半円も切片である。
  （以下、定義３ー６の補足（半円も切片）という。）

定義３ー７（切片の角）
　切片の角とは
　弦と弧とに
　はさまれた角である。

• 原論で初めて登場した、
  　直線角でない角である。
• 半円の角は、半円という切片の角である。
  （以下、定義３ー７の補足（半円の角）
  という。）

定義３ー８（切片内の角）
　切片内の角とは
　切片の弧の上に１点がとられ、
　それから
　切片の底辺をなす弦の両端に
　線分が結ばれるとき、
　結ばれた２線分に
　はさまれた角である。

• 公準１ー１の補足により
  　弧の上に点をとることができる。
  公準１ー１により
  　線分を結ぶことができる。
• この角は直線角である。

定義３ー９（弧の上に立つ）
　この切片内の角をはさむ２直線が
　弧を切り取るとき
　角は弧の上に立つ
　といわれる。

• 円の内部を通る直線は
  　命題の補足２（定義１ー１４）により
  　外部にでる。
  円周と交わる。
• ２直線がはさむ角と
  　　向かい合う部分が
  　切り取られた弧であり、
  　弧に向かい合う角が
  　その弧の上に立つ。

定義３ー１０（扇形）
　円の扇形とは
　円の中心において
　角がつくられるとき、
　角をはさむ２線分と
　それによって切り取られる弧と
　にかこまれた図形である。

• この２線分は半径である。

定義３ー１１（相似な切片）
　２円の相似な切片とは
　等しい角を含む
　≪か≫［、すなわち］、
　切片内の角が
　　互いに等しい
　ものである。

• 相似なという表現が初めて登場する。
• 角を含むは、
  切片内の角としてもつということである。
  （以下、定義３ー１１の補足（含む）という。）
• 「等しい角を含むか、切片内の・・・」の
  　「か」について、
  　Euclid's Elements
  　（Clark University Professor D.E.Joyceの
  　http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/elements.html）
  　において、
  "Similar segments of circles are
  　those which admit equal angles,
  　or
  　in which the angles are equal
  　to one another."
  　というように、
  　”, or”であるが、
  この”, or”は、
  　「言い換えると」
  　「すなわち」
  　と訳すのが妥当である。
  例えば、Ｙａｈｏｏ辞書の新グローバル英和辞典の”ｏｒ”の［２］(a)
  を参照願いたい。
  「等しい角を含む」とは、
  　「切片内の角が等しい」という意味である
  　とするのが、
  　定義の形式という面から考えて
  　妥当であるからである。
• この定義が妥当性を確保できるのは、
  　いわゆる円周角の定理、命題３−２１による。

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