ユークリッド原論をどう読むか(6)
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ユークリッド原論
第3巻
命題3ー16
(直径に直角な直線)
(系.接線は直径と直角)
切片の角2
(円周上の点を通る接線)
円
の
直径
に
その端から
直角
にひかれた
直線
は
円
の外部におちるであろう。
そして
この
直線
と
弧
との間に
他の
直線
は
ひかれないであろう。
また
半円の角
は
すべての
鋭角
の
直線角
より
大きく
、
残りの
角
は
すべての
鋭角
より
小さい
。
円は、
定義1ー15
による。
直径は、
定義1ー17
による。
直角は、
定義1ー10
による。
直線は、
定義1ー4
による。
弧は、
定義1ー18の補足
による。
半円の角は、
定義3ー7の補足
による。
鋭角は、
定義1ー12
による。
直線角は、
定義1ー9
による。
大きいは、
公理1ー8
による。
角は、
定義1ー8
による。
小さいは、
公理1ー8の補足
による。
ABCを
Dを
中心
とし、
ABを
直径
とする
円
とせよ。
命題3ー1
により、
円の中心を求めDとする。
公準1ー1の補足
により、
円周上にAをとり、
公準1ー1
により、
AとDとを結ぶ。
公準1ー2
により、
線分ADを延長する。
命題3ー2の補足
により、
直線ADは
円周と2点で交わる。
そのうち
1つがAであり、
もう1つをBとする。
ABに対し
その端Aから
直角
にひかれた
直線
は
命題1ー11
による。
円
の外部におちるであろう
Aを除き、
外部の点だけをとおる
という意味である。
と主張する。
そうでないとすれば、
もし可能ならば
背理法の仮定を
述べようとしている。
外部におちないとすれば、
定義1ー14
により、
内部におちる場合と、
境界(円周)上におちる場合
がある。
「もし可能ならば」は、
コメント2(命題1−7)
参照のこと。
[ 内部におちる場合 ]
[Aから直径に直角にひかれた直線が]
CAのように
内部におちる[場合について考える]とし、
【・・・(a)】
場合分けして考察している。
円の内部をとおる直線は、
命題3−2の補足
により、
円周と2点で交わる。
そのうち
1点がAであり、
もう1つをCとする。
線分CAは、
命題3ー2
により、
端点C、Aを除き、
内部にある。
DCが結ばれたとせよ。
公準1ー1
による。
DAはDCに
等しい
から、
命題の設定
,
定義1ー15
による。
角
DACも
角
ACDに
等しい
。
命題1ー5
による。
ところが
角
DACは
直角
である。
【・・・(1)】
(a)
である。
それゆえ
角
ACDも
直角
である。
公理1ー1
による。
かくて
三角形
ACDにおいて
2
角
DAC、ACDの和が
2
直角
に
等しい
。
(1)
,
定義の補足(公理1ー5)
による。
これは不可能である。
命題1ー32
により、
三角形の3つの内角の和が
2直角であるから。
ゆえに
点
Aから
BAに
直角
にひかれた
直線
は
円
の内部に
おちないであろう。
背理法による。
[ 境界(円周)上におちる場合 ]
同様にして
[
円周
上にある場合についても
不可能であり、]
円周
上にもない
ことを証明しうる。
場合分けの
もう1つの場合について
論じている。
A以外の点が
円周上にない
ということである。
もし
A以外の点Cが
円周上にあれば、
命題3ー2
により、
線分ACは円の内部におちるから、
上で考察した場合になる
からである。
したがって
[ 2つの場合の結果により ]
外部におちるであろう。
内部もとおらず、円周上もとおらないので
外部しかとおらない
ということである。
AEのように
<なる>[外部におちる]とせよ。
Aから
ADに直角にひいた
AEが
内部をとおらず、
A以外にとおらない
ようになっている
ということである。
このとき
直線
AEと
弧
CHAとの間に
直線
はひかれないであろう
と主張する。
直線AEについて、
中心Dと同じ側に
Aを端点とする半直線をひけば、
円の内部をとおり、
命題3ー2の補足
により
もう1点で円周と交わる
ことになってしまう
ということである。
もし可能ならば
背理法の仮定をのべようとしている。
「もし可能ならば」は、
コメント2(命題1−7)
参照のこと。
FAのようになるとし、
半直線FAは
A以外に
円周と交わっていない
ものとしている。 こと。
そして
点
Dから
FAに
垂線
DGが
ひかれたとせよ。
【・・・(b)】
FAがひかれたとすれば、
命題1ー11
により
垂線DGがひかれる。
角DAFが
直角DAEより小さいので、
半直線AF上に
垂線はおちる。
ここまでが
背理法の仮定である。
そうすれば
角
AGDは
直角
であり、
(b)
による。
角
DAGは
直角
より
小さい
から、
AFは角DAEの内部にある。
公理1ー8の補足2
による。
ADは
DGより
大きい
。
【・・・(2)】
命題1ー19
による。
ところが
DAは
DHに
等しい
。
【・・・(3)】
命題の設定
により、
Hは、
線分DGが
円周と交わる
点である。
Dは
円の内部の点(中心)であり、
Gは
背理法の仮定により
円の外部の点である。
したがって
命題3−2の補足
により
円周と交点をもつ。
この点をHとしている。
定義1ー15
による。
それゆえ
DHは
DGより
大きい
、
(2)
,
(3)
,
公理1ー8の補足
による。
すなわち
小さい
ものが
大きい
ものより
大きい
。
公理1ー8
により
DHは
DGより小さい
これは不可能である。
背理法の仮定による矛盾である。
ゆえに
直線
と
弧
との間に
他の
直線
は
ひかれないであろう。
【・・・(4)】
背理法による。
また
弦
BAと
弧
CHAとにはさまれた
半円の角
は
すべての
鋭角
の
直線角
より
大きく
、
弧
CHAと
直線
AEとにはさまれた
残りの
角
は
直角DAEが
半円の角と
残の角とに
分けられている
すべての
鋭角
の
直線角
より
小さい
と主張する。
もし
弦
BAと
弧
CHAとに
はさまれた
角
よりも
大きい
何らかの[鋭角の]
直線角
と、
弧
CHAと
直線
AEとに
はさまれた
角
よりも
小さい
何らかの
直線角
とが
あるならば、
背理法の仮定である。
定義3ー7
により
前者の直線角の
定義1ー9
にいう2直線のうち
BAと異なる直線は
弧CHAと交点をもたない。
したがって
この直線と直線AEとでできる角は
後者の直線角になる。
すなわち
前者の直線角が存在すれば、
後者の直線角も存在することになる。
弧
CHAと
直線
AEとの間に
直線
が
ひかれるであろう。
直前のコメントの「この直線」のことである。
そして
この
直線
は
弦
BAと
弧
CHAとに
はさまれた
角
よりも
大きい
直線角
と
弧
CHAと
直線
AEとに
はさまれた
角
よりも
小さい
直線角
とを
つくるでであろう。
先にコメントしたことである。
ところが
かかる
直線角
は
ひかれない。
この命題の前半であり
(4)
のことである。
背理法の仮定による矛盾である。
それゆえ
弦
BAと
弧
CHAとに
はさまれた
角
より
大きい
鋭角
の
直線角
はないし、
また
弧
CHAと
直線
AEとに
はさまれた
角
よりも
小さい
角
もないであろう。
背理法による。
系
これから
次のことが明らかである。
すなわち
円
の
直径
に
その端から
直角
にひかれた
直線
は
円
に接する。
[(以下、
命題3−16の系
(系.接線は直径と直角)という。)]
この命題の前半で、
半直線AEは
Aを除いて
円周と共有点をもたない
ことが証明された。
直線AEにおいて、
点Aについて
Eと反対側にある半直線も、
定義1ー10
(直角)
により
直径ABと直角にひかれており、
したがって
この命題により
Aを除いて共有点をもたない。
したがって
定義3ー2
(接する)
により
直線AEは接線になる。
これが証明すべきことであった。
命題3ー16の系は
命題3ー6の補足3
で
すでに証明したことである。
この命題の後半と系から、
切片の
弦と弧とにはさまれた角である
切片の角
が
弦と
その交点における
接線と
の角であることが分かる。
(以下、
定義の補足2(命題3ー16)
(切片の角2)という。)
この命題の系から、
命題1ー11
(作図・線分からの垂線)
により、
円周上の点を通り
円に接する直線をひくことができる
ことが分かる。
(以下、
命題3ー16の補足3
(円周上の点を通る接線)という。)
命題3−16の系(系.接線は直径と直角)
前提
作図
推論
定義
1-10
,
3-2
公準
公理
命題
3-16
その他
命題3ー16の補足3(円周上の点を通る接線)
前提
作図
推論
定義
公準
公理
命題
1-11
3-16系
その他
命題3ー16
は推論用命題である。
前提
作図
推論
定義
1-9
,
1-14
,
1-15
,
補(理1-5)
,
3-2
,
3-7
公準
1-1
,
1-1補
,
1-2
公理
1-1
,
1-8
,
1-8補2
命題
1-11
,
3-1
,
3-2補
1-5
,
1-19
,
1-32
,
3-2
その他
背理法,
コ2(題1-7)
,場合分け
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