ユークリッド原論をどう読むか（６）
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ユークリッド原論

第３巻

命題３ー１６（直径に直角な直線）　
（系．接線は直径と直角） 切片の角２
（円周上の点を通る接線）
円の直径に
　その端から
　　直角にひかれた直線は
　円の外部におちるであろう。
そして
　この直線と弧との間に
　他の直線は
　ひかれないであろう。
また
　半円の角は
　すべての鋭角の直線角より
　大きく、
　残りの角は
　すべての鋭角より
　小さい。

• 円は、定義１ー１５ による。
• 直径は、定義１ー１７ による。
• 直角は、定義１ー１０ による。
• 直線は、定義１ー４ による。
• 弧は、定義１ー１８の補足 による。
• 半円の角は、定義３ー７の補足 による。
• 鋭角は、定義１ー１２ による。
• 直線角は、定義１ー９ による。
• 大きいは、公理１ー８ による。
• 角は、定義１ー８ による。
• 小さいは、公理１ー８の補足 による。

ＡＢＣを
　Ｄを中心とし、
　ＡＢを直径とする
　　円とせよ。

• 命題３ー１ により、
  　円の中心を求めＤとする。
  公準１ー１の補足 により、
  　円周上にＡをとり、
  公準１ー１ により、
  　ＡとＤとを結ぶ。
  公準１ー２ により、
  　線分ＡＤを延長する。
  命題３ー２の補足 により、
  　直線ＡＤは
  　円周と２点で交わる。
  そのうち
  　１つがＡであり、
  　もう１つをＢとする。

ＡＢに対し
　その端Ａから
　　直角にひかれた直線は

• 命題１ー１１ による。

　円の外部におちるであろう

• Ａを除き、
  　外部の点だけをとおる
  　という意味である。

　と主張する。


そうでないとすれば、
　もし可能ならば

• 背理法の仮定を
  　述べようとしている。
• 外部におちないとすれば、
  　定義１ー１４ により、
  　 内部におちる場合と、
  　 境界（円周）上におちる場合
  　がある。
  
• 「もし可能ならば」は、
  コメント２(命題１−７）参照のこと。

[ 内部におちる場合 ]
　［Ａから直径に直角にひかれた直線が］
　ＣＡのように
　内部におちる［場合について考える］とし、 【・・・(a)】

• 場合分けして考察している。
• 円の内部をとおる直線は、
  　命題３−２の補足 により、
  　円周と２点で交わる。
  そのうち
  　１点がＡであり、
  　もう１つをＣとする。
• 線分ＣＡは、
  　命題３ー２ により、
  　端点Ｃ、Ａを除き、
  　内部にある。

　ＤＣが結ばれたとせよ。

• 公準１ー１ による。

ＤＡはＤＣに等しいから、

• 命題の設定,定義１ー１５ による。

　角ＤＡＣも角ＡＣＤに等しい。

• 命題１ー５ による。

ところが
　角ＤＡＣは直角である。 【・・・(1)】

• (a)である。

それゆえ
　角ＡＣＤも直角である。

• 公理１ー１ による。

かくて
　三角形ＡＣＤにおいて
　２角ＤＡＣ、ＡＣＤの和が
　２直角に等しい。

• (1) ,定義の補足（公理１ー５） による。

これは不可能である。

• 命題１ー３２ により、
  　三角形の３つの内角の和が
  　２直角であるから。
  

ゆえに
　点Ａから
　ＢＡに直角にひかれた直線は
　円の内部に
　おちないであろう。

• 背理法による。

[ 境界（円周）上におちる場合 ]
同様にして
　［円周上にある場合についても
　不可能であり、］
　円周上にもない
　ことを証明しうる。

• 場合分けの
  　もう１つの場合について
  　論じている。
• Ａ以外の点が
  　円周上にない
  　ということである。
• もし
  　Ａ以外の点Ｃが
  　円周上にあれば、
  　命題３ー２ により、
  　線分ＡＣは円の内部におちるから、
  　上で考察した場合になる
  　からである。

したがって
[ ２つの場合の結果により ]
　外部におちるであろう。

• 内部もとおらず、円周上もとおらないので
  　外部しかとおらない
  　ということである。

ＡＥのように
　＜なる＞［外部におちる］とせよ。

• Ａから
  　ＡＤに直角にひいた
  　ＡＥが
  　内部をとおらず、
  　Ａ以外にとおらない
  　ようになっている
  　ということである。

このとき
　直線ＡＥと
　弧ＣＨＡとの間に
　直線はひかれないであろう
　と主張する。

• 直線ＡＥについて、
  　中心Ｄと同じ側に
  　Ａを端点とする半直線をひけば、
  　円の内部をとおり、
  　命題３ー２の補足 により
  　もう１点で円周と交わる
  　ことになってしまう
  　ということである。

もし可能ならば

• 背理法の仮定をのべようとしている。
• 「もし可能ならば」は、
  コメント２(命題１−７）参照のこと。

　ＦＡのようになるとし、

• 半直線ＦＡは
  　Ａ以外に
  　円周と交わっていない
  　ものとしている。 こと。

　そして
　点Ｄから
　ＦＡに垂線ＤＧが
　ひかれたとせよ。
【・・・(b)】

• ＦＡがひかれたとすれば、
  　命題１ー１１ により
  　垂線ＤＧがひかれる。
  　角ＤＡＦが
  　直角ＤＡＥより小さいので、
  　半直線ＡＦ上に
  　垂線はおちる。
• ここまでが
  　背理法の仮定である。

そうすれば
角ＡＧＤは
　直角であり、

• (b) による。

角ＤＡＧは
　直角より小さいから、

• ＡＦは角ＤＡＥの内部にある。
  　公理１ー８の補足２ による。

ＡＤは
　ＤＧより大きい。 【・・・(2)】

• 命題１ー１９ による。

ところが
ＤＡは
　ＤＨに等しい。 【・・・(3)】

• 命題の設定により、
  　Ｈは、
  　線分ＤＧが
  　円周と交わる
  　　点である。
  Ｄは
  　円の内部の点（中心）であり、
  Ｇは
  　背理法の仮定により
  　円の外部の点である。
  したがって
  　命題３−２の補足 により
  　円周と交点をもつ。
  この点をＨとしている。
• 定義１ー１５ による。

それゆえ
ＤＨは
　ＤＧより大きい、

• (2) ,(3) ,公理１ー８の補足 による。

　すなわち
　小さいものが
　大きいものより大きい。

• 公理１ー８ により
  　ＤＨは
  　ＤＧより小さい

これは不可能である。

• 背理法の仮定による矛盾である。

ゆえに
　直線と弧との間に
他の直線は
　ひかれないであろう。 【・・・(4)】

• 背理法による。

また
　弦ＢＡと弧ＣＨＡとにはさまれた
　　半円の角は
　すべての鋭角の直線角より大きく、
　弧ＣＨＡと直線ＡＥとにはさまれた
　　残りの角は

• 直角ＤＡＥが
  　半円の角と
  　残の角とに
  　分けられている

　すべての鋭角の直線角より小さい
　と主張する。
もし
　弦ＢＡと弧ＣＨＡとに
　　はさまれた角よりも
　大きい何らかの［鋭角の］直線角と、
　弧ＣＨＡと直線ＡＥとに
　　はさまれた角よりも
　小さい何らかの直線角とが
　あるならば、

• 背理法の仮定である。
• 定義３ー７ により
  　前者の直線角の
  　　定義１ー９にいう２直線のうち
  　ＢＡと異なる直線は
  　弧ＣＨＡと交点をもたない。
  したがって
  　この直線と直線ＡＥとでできる角は
  　後者の直線角になる。
  すなわち
  　前者の直線角が存在すれば、
  　後者の直線角も存在することになる。

　弧ＣＨＡと直線ＡＥとの間に
　直線が
　ひかれるであろう。

• 直前のコメントの「この直線」のことである。

そして
この直線は
　弦ＢＡと弧ＣＨＡとに
　　はさまれた角よりも
　大きい直線角と
　弧ＣＨＡと直線ＡＥとに
　　はさまれた角よりも
　小さい直線角とを
　つくるでであろう。

• 先にコメントしたことである。

ところが
かかる直線角は
　ひかれない。

• この命題の前半であり
  　(4)のことである。
  背理法の仮定による矛盾である。

それゆえ
　弦ＢＡと弧ＣＨＡとに
　　はさまれた角より
　大きい鋭角の直線角はないし、
　また
　弧ＣＨＡと直線ＡＥとに
　はさまれた角よりも
　小さい角もないであろう。

• 背理法による。

系
これから
　次のことが明らかである。
すなわち
　円の直径に
　その端から直角にひかれた直線は
　円に接する。
［（以下、命題３−１６の系（系．接線は直径と直角）という。）］

• この命題の前半で、
  　半直線ＡＥは
  　Ａを除いて
  　円周と共有点をもたない
  　ことが証明された。
  直線ＡＥにおいて、
  　点Ａについて
  　Ｅと反対側にある半直線も、
  　定義１ー１０（直角）
  により
  　直径ＡＢと直角にひかれており、
  　したがって
  　この命題により
  　Ａを除いて共有点をもたない。
  したがって
  　定義３ー２（接する）
  により
  　直線ＡＥは接線になる。

これが証明すべきことであった。

• 命題３ー１６の系は
  　命題３ー６の補足３ で
  　すでに証明したことである。
• この命題の後半と系から、
  切片の
  　弦と弧とにはさまれた角である
  　　切片の角が
  　弦と
  　　その交点における
  　　　接線と
  　の角であることが分かる。
  （以下、定義の補足２（命題３ー１６）(切片の角２)という。）
• この命題の系から、
  　命題１ー１１（作図・線分からの垂線）
  により、
  円周上の点を通り
  　円に接する直線をひくことができる
  　ことが分かる。
  （以下、命題３ー１６の補足３（円周上の点を通る接線）という。）
• 命題３−１６の系（系．接線は直径と直角）

  前提	作図	推論
  定義		1-10,3-2
  公準
  公理
  命題		3-16
  その他

• 命題３ー１６の補足３（円周上の点を通る接線）

  前提	作図	推論
  定義
  公準
  公理
  命題	1-11	3-16系
  その他

• 命題３ー１６は推論用命題である。

  前提	作図	推論
  定義		1-9 ,1-14 ,1-15 ,補(理1-5) ,3-2 ,3-7
  公準	1-1 ,1-1補 ,1-2
  公理		1-1 ,1-8 ,1-8補2
  命題	1-11 ,3-1 ,3-2補	1-5 ,1-19 ,1-32 ,3-2
  その他		背理法,コ2(題1-7),場合分け

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