ユークリッド原論をどう読むか（８）
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ユークリッド原論

第４巻

命題４ー１３（作図.正五角形に円を内接）
与えられた等辺等角な五角形に
　円を内接させること。

• 等辺は、 定義１ー２０の補足 による。
• 等角は、 定義の補足（命題４ー１１） による。
• 五角形は、 定義の補足２（命題４ー１１） による。
• 円は、 定義１ー１５ による。
• 内接は、 定義４ー５ による。

与えられた等辺等角な五角形を
　ＡＢＣＤＥとせよ。

• 　正五角形ＡＢＣＤＥ
  をとっている。

このとき
　五角形ＡＢＣＤＥに
　円を内接させねばならぬ。

角ＢＣＤ、ＣＤＥの双方が
　線分ＣＦ、ＤＦの双方によって
　２等分されたとせよ。 【・・・(a)】
そして
　ＣＦ、ＤＦが相会する
　　点Ｆから

• 命題１ー９ （作図・角の２等分）
  により、
  　角ＢＣＤがＣＦにより、
  　角ＣＤＥがＤＦ’により
  　２等分される。
  定義１ー１９の補足３ （凸多角形）
  により、
  角ＢＣＤ、ＣＤＥは
  　２直角より小さい。
  公理１ー８の補足４ （大きい・小さいもののｎ倍・ｎ等分）
  により、
  角ＦＣＤ、Ｆ’ＤＣは
  　直角より小さい。
  よって、
  　 公理１ー４の補足３ （和が等しく一方が大きい）
  により、
  角ＦＣＤ、Ｆ’ＤＣの和は
  　２直角より小さい。
  したがって
  　 公準１ー５ （平行線公準）
  により、
  ＣＦとＣＦ’は
  　１点で交わる。
  なお、
  この交点は、
  　 定義１ー１９の補足３ （凸多角形）
  により、
  　辺ＣＤについて、
  　他の辺と同じ側にある。
  その交点を改めてＦとし、
  　溯って用いている。
• 　交点Ｆ(二等分線(∠ＢＣＤ),二等分線(∠ＣＤＥ))
  をとっている。

　線分ＦＢ、ＦＡ、ＦＥが
　結ばれたとせよ。

• 公準１ー１ （作図.直線）
  による。
• 　線分ＦＢ、ＦＡ、ＦＥ
  をとっている。

そうすれば
ＢＣは
　ＣＤに等しく、

• 命題の設定による。
• 　ＢＣ＝ＣＤ
  となっている。

ＣＦは
　共通であるから、
２辺ＢＣ、ＣＦは
　２辺ＤＣ、ＣＦに等しい。
そして
角ＢＣＦは
　角ＤＣＦに等しい。

• (a)による。
• 　(ＢＣ、ＣＦ)＝(ＤＣ、ＣＦ)、
  　∠ＢＣＦ＝∠ＤＣＦ
  となっている。

それゆえ
底辺ＢＦは
　底辺ＤＦに等しく、
三角形ＢＣＦは
　三角形ＤＣＦに等しく
残りの角は
　残りの角に、
　すなわち
　等しい辺が対する角は
　等しいであろう。

• 命題１ー４ （２辺挟角相等）
  による。
• 　△ＢＣＦ≡△ＤＣＦ
  となっている。

ゆえに
角ＣＢＦは
　ＣＤＦに等しい。 【・・・(1)】

• 　∠ＣＢＦ＝∠ＣＤＦ
  となっている。

そして、
角ＣＤＥは
　角ＣＤＦの２倍であり、

• (ａ) 、
  定義の補足（公理１ー５） （同じもののｎ倍）
  による。
• 　∠ＣＤＥ＝２∠ＣＤＦ
  となっている。

角ＣＤＥは
　角ＡＢＣに、

• 命題の設定による。
• 　∠ＣＤＥ＝∠ＡＢＣ
  となっている。

角ＣＤＦは
　角ＣＢＦに等しい。

• (1)による。
• 　∠ＣＤＦ＝∠ＣＢＦ
  となっている。

それゆえ
角ＡＢＣは
　線分ＢＦによって２等分された。

• 定義の補足２（公理１ー６） （ｎ等分・ｎ分の１）
  による。
• 　ＢＦ;二等分線(∠ＡＢＣ)
  となっている。

同様にして
角ＢＡＥ、ＡＥＤの双方も
　線分ＦＡ、ＦＥの双方によって
　２等分されたことが証明されうる。

• 　線分ＦＡ;二等分線(∠ＢＡＥ)、
  　線分ＦＥ;二等分線(∠ＡＥＤ)
  となっている。

そして
　点Ｆから
　線分ＡＢ、ＢＣ、ＣＤ、ＤＥ、ＥＡに
　垂線ＦＧ、ＦＨ、ＦＫ、ＦＬ、ＦＭが
　ひかれたとせよ。 【・・・(b)】

• 命題１ー１２ （作図・線分への垂線）
  による。
• 　垂線ＦＧ(Ｆ,ＡＢ)、
  　垂線ＦＨ(Ｆ,ＢＣ)、
  　垂線ＦＫ(Ｆ,ＣＤ)、
  　垂線ＦＬ(Ｆ,ＤＥ)、
  　垂線ＦＭ(Ｆ,ＥＡ)
  をとっている。

そうすれば
角ＨＣＦは
　角ＫＣＦに等しく、

• (a)による。
• 　∠ＨＣＦ＝∠ＫＣＦ
  となっている。

直角ＦＨＣは
　角ＦＫＣに等しいから、

• (b)による。
• 　∠ＦＨＣ＝∠ＦＫＣ
  となっている。

［三角形］ＦＨＣ、ＦＫＣは
　２角が２角に等しく
　１辺が１辺に等しい、
すなわち
　等しい角の１つに対する辺ＦＣを
　　共有する
　２つの三角形である。

• 　(∠ＨＣＦ,∠ＦＨＣ)＝(∠ＫＣＦ,∠ＦＫＣ)、
  　ＦＣ＝ＦＣ
  となっている。

それゆえ
残りの辺も
　残りの辺に等しいであろう。

• 命題１ー２６ （２角挟辺相等）
  による。

ゆえに
垂線ＦＨは
　垂線ＦＫに等しい。

• 　ＦＨ＝ＦＫ
  となっている。

同様にして
　ＦＬ、ＦＭ、ＦＧのおのおのが
　ＦＨ、ＦＫの双方に等しい
　ことも証明されうる。
したがって
５つの線分ＦＧ、ＦＨ、ＦＫ、ＦＬ、ＦＭは
　互いに等しい。

• 公理１ー１の補足 （等しいものに等しい）
  による。
• 　ＦＧ＝ＦＨ＝ＦＫ＝ＦＬ＝ＦＭ
  となっている。

それゆえ
　Ｆを中心とし、
　ＦＧ、ＦＨ、ＦＫ、ＦＬ、ＦＭの
　　１つを半径として
　円が描かれれば、 【・・・(c)】
　残りの点をも通り、

• 公準１ー３ （作図.円）
  による。
• 「の１つ」については、
  　 コメント（命題４ー４） を参照のこと。
• 　Ｇ、Ｈ、Ｋ、Ｌ、Ｍ;上.円周(Ｆ,ＦＧ)
  となっている。

　そして
　点Ｇ、Ｈ、Ｋ、Ｌ、Ｍにおける角が
　直角であるから、

• (b) による。
• 　ＦＧ⊥ＡＢ、
  　ＦＨ⊥ＢＣ、
  　ＦＫ⊥ＣＤ、
  　ＦＬ⊥ＤＥ、
  　ＦＭ⊥ＥＡ
  となっている。

　線分ＡＢ、ＢＣ、ＣＤ、ＤＥ、ＥＡに
　接するであろう。
なぜなら
　もし

• 「なぜならもし」については、
  　コメント（命題１ー４）を参照のこと。
• 背理法の仮定を述べようとしている。

　それらに接しないで、
　それらと交わるならば、

• 背理法の仮定である。
• 定義３ー２ （接する）
  による。
• 交わるとは切ることである。
  定義３ー２の補足２ （切る）
  を参照のこと。

　円の直径に
　その端から直角にひかれた直線が
　円の内部におちる
　ことになるであろう。

• 定義１ー８の補足 （交わる(直線)）
  による。

これが不合理であることは
　先に証明された。

• 命題３ー１６ （直径に直角な直線）
  による。

それゆえ
　Ｆを中心とし、
　線分ＦＧ、ＦＨ、ＦＫ、ＦＬ、ＦＭの
　１つを半径として
　円が描かれれば、
　線分ＡＢ、ＢＣ、ＣＤ、ＤＥ、ＥＡと
　交わらないであろう。

• 背理法による。

ゆえに
　それらに接するであろう。

• 定義３ー２ （接する）
  による。
• 　ＡＢ;（接）円(Ｆ,ＦＧ)、
  　ＢＣ;（接）円(Ｆ,ＦＧ)、
  　ＣＤ;（接）円(Ｆ,ＦＧ)、
  　ＤＥ;（接）円(Ｆ,ＦＧ)、
  　ＥＡ;（接）円(Ｆ,ＦＧ)、
  となり、
  　円(Ｆ,ＦＧ);（内接）五角形ＡＢＣＤＥ
  となっている。

ＧＨＫＬＭのように描かれたとせよ。

• (c) では、
  　実際に描いているのではなく、
  　描いたとしたら
  　という立場で表現している。
  そのため、
  　ここで実際に描くことを
  　「されたとせよ」と
  　指示している。
  コメント２（命題４ー４） を参照のこと
  

　 よって
　与えられた等辺等角な五角形に
　円が内接された。
これが作図すべきものであった。

• 命題４ー１３は、
  　正五角形ＡＢＣＤＥ
  に対して、
  　交点Ｆ(二等分線(∠ＢＣＤ),二等分線(∠ＣＤＥ))、
  　垂線ＦＧ(Ｆ,ＡＢ)
  をとれば、
  　円(Ｆ,ＦＧ);（内接）正五角形ＡＢＣＤＥ
  のことである。
  
• 命題４ー１３は作図用命題である。

  前提	作図	推論
  定義		1-8補,1-19補3,3-2,3-2補2,補(理1-5),補2(理1-6)
  公準	1-1,1-3,1-5
  公理		1-1補,1-4補3,1-8補4
  命題	1-9,1-12	1-4,1-26,3-16
  その他	コ(題4-4)	コ(題1-4)fi, コ2(題4-4)

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