ユークリッド原論をどう読むか(8)
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ユークリッド原論

第4巻

命題4ー13(作図.正五角形に円を内接)
与えられた等辺等角五角形
 内接させること。


与えられた等辺等角五角形
 ABCDEとせよ。

このとき
 五角形ABCDEに
 内接させねばならぬ。

BCD、CDEの双方が
 線分CF、DFの双方によって
 2等分されたとせよ。 【・・・(a)】
そして
 CF、DFが相会する
  Fから
 線分FB、FA、FEが
 結ばれたとせよ。
そうすれば
BCは
 CDに等しく
CFは
 共通であるから、
BC、CFは
 2DC、CFに等しい
そして
BCFは
 DCFに等しい
それゆえ
底辺BFは
 底辺DFに等しく
三角形BCFは
 三角形DCFに等しく
残りの
 残りのに、
 すなわち
 等しいが対する
 等しいであろう。
ゆえに
CBFは
 CDFに等しい【・・・(1)】

そして、
CDEは
 CDFの2であり、
CDEは
 ABCに、
CDFは
 CBFに等しい
それゆえ
ABCは
 線分BFによって2等分された。
同様にして
BAE、AEDの双方も
 線分FA、FEの双方によって
 2等分されたことが証明されうる。

そして
 Fから
 線分AB、BC、CD、DE、EAに
 垂線FG、FH、FK、FL、FMが
 ひかれたとせよ。 【・・・(b)】 そうすれば
HCFは
 KCFに等しく
直角FHCは
 FKCに等しいから、
[三角形]FHC、FKCは
 2が2等しく
 1が1等しい
すなわち
 等しいの1つに対するFCを
  共有する
 2つの三角形である。

それゆえ
残りの
 残りの等しいであろう。
ゆえに
垂線FHは
 垂線FKに等しい

同様にして
 FL、FM、FGのおのおのが
 FH、FKの双方に等しい
 ことも証明されうる。
したがって
5つの線分FG、FH、FK、FL、FMは
 互いに等しい
それゆえ
 Fを中心とし、
 FG、FH、FK、FL、FMの
  1つを半径として
 が描かれれば、 【・・・(c)】
 残りのをも通り、
 そして
 G、H、K、L、Mにおける
 直角であるから、
 線分AB、BC、CD、DE、EAに
 接するであろう。
なぜなら
 もし
 それらに接しないで、
 それらと交わるならば、
 の直径に
 その端から直角にひかれた直線
 の内部におちる
 ことになるであろう。
これが不合理であることは
 先に証明された。
それゆえ
 Fを中心とし、
 線分FG、FH、FK、FL、FMの
 1つを半径として
 が描かれれば、
 線分AB、BC、CD、DE、EAと
 交わらないであろう。
ゆえに
 それらに接するであろう。
GHKLMのように描かれたとせよ。
  よって
 与えられた等辺等角五角形
 内接された。
これが作図すべきものであった。       目次   頁頭