ユークリッド原論をどう読むか（８）
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ユークリッド原論

第４巻

命題４ー１（作図.線分の挿入）
与えられた円に
　円の直径より大きくない
　　与えられた線分に
　等しい線分を
　挿入すること。

• 円は、 定義１ー１５ による。
• 直径は、 定義１ー１７ による。
• 大きいは、 公理１ー８ による。
• 線分は、 定義の補足（命題１ー１） による。
• 等しいは、 公理１ー７ による。
• 挿入は、 定義４ー７ による。

与えられた円をＡＢＣ、
　円の直径より大きくない
　　与えられた線分を
　Ｄとせよ。

• 　円ＡＢＣ
  に対して、
  　線分Ｄ[;;Ｄ＜＝直径..円ＡＢＣ]
  をとっている。

このとき
　円ＡＢＣに
　線分Ｄに等しい線分を
　挿入せねばならぬ。

円ＡＢＣの直径ＢＣが
　ひかれたとせよ。

• 公準１ー１の補足 （作図.任意の点をとる）
  により、
  円周上の任意の点をとり、
  　それをＣとする。
  命題３ー１ （作図.円の中心）
  により、
  　円の中心Ｇをとる。
  公準１ー１ （作図.直線）
  により、
  　ＧとＣとを結ぶ。
  公準１ー２ （作図.直線の延長）
  により、
  　線分ＣＧを直線に延長する。
  命題３−１の補足２ (中心を通る直線は円周と２交点)
  により、
  直線ＣＧは
  　円周とＣ以外のもう１点で交わる。
  その点をＢとし、
  　溯ってＢ、Ｃを用いている。
  
• 定義１ー１７ （直径）
  により、
  　線分ＢＣは直径となる。
• 　点Ｃ[円周ＡＢＣ]、
  　交点Ｂ(円周ＡＢＣ,延長(中心.円ＡＢＣ,Ｃ))
  　線分ＢＣ;直径..円ＡＢＣ
  をとっている。

［ＢＣが、
　Ｄに等しい場合と
　Ｄより大きい場合と
　がある。

Ｄに等しい場合］

そうすればもし
　ＢＣが
　Ｄに等しいければ、

• 　ＢＣ＝Ｄ
  としている。

　命じられたことは
　なされているであろう。
なぜなら
　円ＡＢＣに
　線分Ｄに等しいＢＣが
　挿入されたから。

• 「なぜなら・・・であるから」については、
  　コメント２（命題１ー１６）を参照のこと。

ところがもし
　ＢＣがＤより大きければ、

• 場合分けのもう１つの場合である。
• 　ＢＣ＞Ｄ
  としている。

　ＣＥをＤに等しくし、

• 命題１ー３の補足 （作図.等しい線分となる点）
  による。
• 　点Ｅ(ＣＢ;;ＥＣ＝Ｄ)
  をとっている。

　Ｃを中心に、
　ＣＥを半径として
　円ＥＡＦが描かれ、 【・・・(a)】

• 公準１ー３ （作図.円）
  による。
  公準１ー２ （作図.直線の延長）
  により、
  　半径ＣＥを延長する。
  命題３−１の補足２ (中心を通る直線は円周と２交点)
  により、
  直線ＣＥは、
  　Ｅ以外に
  　もう１点で円周と交わる。
  その点をＨとする。
  公理１ー８ （大きい）
  により、
  　ＧＨは
  　ＧＣより大きい。
  定義１ー１６の補足２ （円の内部）
  により、
  Ｈは
  　円ＡＢＣの外部にあり、
  Ｅは
  　内部にある。
  定義１ー１４の補足 （交わる(図形)）
  により、
  もとの円は
  　後から描いた円と交わる。
  命題３−５の補足 (２円の交点は２つ)
  により、
  ２円の交点は
  　２つあり、
  　一方を改めてＡとし、
  　他方をＦとする。
  Ａを溯って用いている。
• 　円(Ｃ,ＣＥ)、
  　交点Ａ[円ＡＢＣ,円(Ｃ,ＣＥ)]、
  　交点Ｆ(円ＡＢＣ,円(Ｃ,ＣＥ);;外.Ａ)
  をとっている。

　ＣＡが結ばれたとせよ。

• 公準１ー１ （作図.直線）
  による。
• 　線分ＣＡ
  をとっている。

そうすれば
点Ｃは
　円ＥＡＦの中心であるから、

• (a) による。
• 　Ｃ;中心.円ＥＡＦ
  となっている。

ＣＡは
　ＣＥに等しい。

• 定義１ー１５ （円）
  による。
• 　ＣＡ＝ＣＥ
  となっている。

ところが
ＣＥは
　Ｄに等しい。

• (a) による。
• 　ＣＥ＝Ｄ
  となっている。

それゆえ
Ｄは
　ＣＡに等しい。

• 公理１ー１ （同じものに等しい）
  による。
• 　Ｄ＝ＣＡ
  となっている。

したがって、
　２つの場合の結果により
　円ＡＢＣに
　Ｄに等しい線分が挿入された。

よって
　与えられた円ＡＢＣに
　　与えられた線分Ｄに
　等しいＣＡが挿入された
これが
　作図すべきものであった。

• 線分の挿入は、
  　直径より小さい線分に等しい
  　　弦を
  　とることができるということである。
• 命題４ー１は、
  　円ＡＢＣ
  　線分Ｄ[;;Ｄ＜＝直径..円ＡＢＣ]
  に対して、
  　直径ＢＣ..円ＡＢＣ、
  　点Ｅ(ＣＢ;;ＥＣ＝Ｄ)、
  　交点Ａ[円ＡＢＣ,円(Ｃ,ＣＥ)]、
  　線分ＥＡ
  をとれば、
  　ＥＡ＝Ｄ
  のことである。
• 命題４ー１は作図用命題である。

  前提	作図	推論
  定義		1-14補 ,1-15 ,1-16補2 ,1-17
  公準	1-1 ,1-1補 ,1-2 ,1-3
  公理		1-1 ,1-8
  命題	1-3補 ,3-1 ,3-1補2	3-5補
  その他		場合分け,コ2(題1-16)f

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