ユークリッド原論をどう読むか(6)
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ユークリッド原論

第3巻

命題3ー1(作図.円の中心) 
(中心は弦の2等分線上)
(中心を通る直線は円周と2交点)

与えられた中心
 見いだすこと。 与えられた
 ABCとせよ。
このとき
ABCの中心
 見いださねばならぬ。



を通って
 任意に線分ABがひかれ、 Dにおいて2等分され、 DからABに直角にDCがひかれ、 【・・・(a)】 Eまで延長され、 直線C’E上に
ABCの中心
 あり、
C’Eが
 2交わり
 その2を改めてC、Eとできたと仮定したとき] 【・・・(A)】
CEが
 Fにおいて2等分されたとせよ。
Fは
 ABCの中心である
 と主張する。 そうでないとすれば、 もし可能ならば [C’E上にない]
 Gを中心とすると、
定義1ー7の補足 により
 [GがC’Eについて
  Bと同じ側にある場合と、
  Bと反対側にある場合
 がある。

[ Bと同じ側にある場合、]
 GA、GD、GBが
 結ばれたとせよ。 【・・・(b)】 そうすれば
ADは
 DBに等しく DGは
 共通であるから、
AD、DGは
 2《GD、DB》[BD、DG]に等しい
そして
 半径であるから、
底辺GAは
 底辺GBに等しい それゆえ
ADGは
 GDBに等しい ところが
 直線の上に直線が立てられて
 接角を互いに等しくするとき、
等しいの双方は
 直角である。 ゆえに
GDBは
 直角である。
そして
FDBも
 直角である。 したがって
FDBは
 GDBに、
すなわち
大きいものが
 小さいものに等しい これは不可能である。

[Gが
 C’Eについて
Bと反対側にある場合も、
 同様である。]

《したがって
Gは
 ABCの中心ではない。 》 [
したがって
2つの場合の結果から、
中心
 C’E上にある。
中心Fは
 の内部にあるから、
直線C’Eが
 の内部を通る。
直線C’Eと円周との交点
 改めてC、Eとする。 線分CEを
 2等分するを改めてFとすると、
Fは
 ABCの中心である。
なぜなら[もし]
中心
 線分CE上で
 CEの2等分以外のG’であるとすると、
C、Eは
 円周上のであるので、
G’Cは
 G’Eに等しくなるが、
これは
G’が
 CEの2等分でないこと
 に矛盾する。
したがって
Fが
 中心である。
] 同様にして
 F以外のいかなる
 中心でない
 ことを証明しうる。 よって
Fは
 []ABCの中心である。

[3ー1]系
 
《これから》
[本命題の証明の中で前半で]
 次のことが明らかである、
すなわち
もし
 において
 直線直角に2等分するならば、
中心
 2等分上にある。

 
[(以下、命題3−1の系(中心は弦の2等分線上)という。)] これが証明すべきことであった。
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