ユークリッド原論をどう読むか（３）
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ユークリッド原論
第１巻
命題１ー２６（２角挟辺相等）
（２角挟辺相等による合同）
もし二つの三角形において
２角が２角にそれぞれ等しく、
１辺が１辺に、
すなわち
等しい２角にはさまれる辺か
または
等しい角の一つに対する辺が等しければ、
残りの２辺も残りの２辺に等しく、
残りの角も残りの角に等しいであろう。
ＡＢＣ、ＤＥＦを
２角ＡＢＣ、ＢＣＡが２角ＤＥＦ、ＥＦＤに等しい、
すなわち
角ＡＢＣが角ＤＥＦに、
角ＢＣＡが角ＥＦＤにそれぞれ等しい
二つの三角形とせよ。
そして１辺が１辺に、
まず
等しい角にはさまれる辺
すなわちＢＣがＥＦに
等しいとせよ。
残りの２辺もそれぞれ残りの２辺に、
すなわち
ＡＢはＤＥに、
ＡＣはＤＦに等しく、
また
残りの角も残りの角に、
すなわち
角ＢＡＣは角ＥＤＦに
等しいと主張する。
もしＡＢがＤＥに等しくなければ、
それらの一方は大きい。
ＡＢを大きいとし、
ＢＧがＤＥに等しくされ、
【・・・(a)】
- ＤＥが大きければ、
以下の論証を同様に行えばよい。
- 命題１ー３（作図・等しい線分を切り取る）
による。
-
ＡＢ＞ＤＥ
ＢＧ＝ＤＥ
としている。
ＧＣが結ばれたとせよ。
そうすれば
ＢＧはＤＥに等しく、
ＢＣはＥＦに等しいから、
２辺ＢＧ、ＢＣは
２辺ＤＥ、ＥＦにそれぞれ等しい。
そして
角ＧＢＣは角ＤＥＦに等しい。
-
∠ＧＢＣ＝∠ＡＢＣ
であり、
命題の設定
による。
-
(ＢＧ,ＢＣ)＝(ＤＥ,ＥＦ)、
∠ＧＢＣ＝∠ＤＥＦ
となっている。
それゆえ
底辺ＧＣは底辺ＤＦに等しく、
三角形ＧＢＣは三角形ＤＥＦに等しく、
残りの角は残りの角に等しい、
すなわち
等しい辺が対する角は等しい
であろう。
- 命題１ー４（２辺挟角相等）
である。
-
ＧＣ＝ＤＦ、
△ＧＢＣ≡△ＤＥＦ
となっている。
ゆえに
角ＧＣＢは角ＤＦＥに等しい。
ところが
角ＤＦＥは角ＢＣＡに等しいと仮定されている。
- 命題の設定
による。
-
∠ＤＦＥ＝∠ＢＣＡ
となっている。
したがって角ＢＣＧは角ＢＣＡに等しく、
- 公理１ー１（同じものに等しい）
による。
-
∠ＢＣＧ＝∠ＢＣＡ
となっている。
小さいものが大きいものに等しい。
これは不可能である。
-
(a)により、
∠ＢＣＧ＜∠ＢＣＡ
となっている。
それゆえ
ＡＢはＤＥに不等でない。
ゆえに等しい。
しかも
ＢＣはＥＦに等しい。
よって
２辺ＡＢ、ＢＣは
２辺ＤＥ、ＥＦにそれぞれ等しい。
しかも
角ＡＢＣは角ＤＥＦに等しい。
-
前節、前々節、命題の設定
による。
-
(ＡＢ,ＢＣ)＝(ＤＥ,ＥＦ)、
∠ＡＢＣ＝∠ＤＥＦ
となっている。
したがって
底辺ＡＣは底辺ＤＦに等しく、
残りの角ＢＡＣは残りの角ＥＤＦに等しい。
さてまた
等しい角に対する辺、
たとえば
ＡＢがＤＥ
に等しいとせよ。
このときも
残りの辺は残りの辺に、
すなわち
ＡＣはＤＦに、
ＢＣはＥＦに等しく、
また
残りの角ＢＡＣは残りの角ＥＤＦに
等しいと主張する。
- ２角にはさまれる辺以外の辺が
等しい場合を検討する。
もし
ＢＣがＥＦに不等であれば、
それらの一方は大きい。
もし可能ならば、
- 背理法の仮定である。
- 「もし可能ならば」は、
コメント２(命題１−７）参照のこと。
なお、
本命題の前半の論証における
背理法においては、
この一言がない。
ＢＣが大きいとし、
ＢＨがＥＦに等しくされ、
- 命題１ー３（作図・等しい線分を切り取る）
による。
ＡＨが結ばれたとせよ。
【・・・(b)】
ＢＨはＥＦに、
ＡＢはＤＥに等しいから、
２辺ＡＢ、ＢＨは
２辺ＤＥ、ＥＦにそれぞれ等しい。
そして
等しい角をはさむ。
-
前節、前々節、
命題の設定
による。
-
(ＡＢ,ＢＨ)＝(ＤＥ,ＥＦ)、
∠ＡＢＨ（ＡＢＣ）＝∠ＤＥＦ
のことである。
それゆえ
底辺ＡＨは底辺ＤＦに等しく、
三角形ＡＢＨは三角形ＤＥＦに等しく、
残りの角は残りの角に、
すなわち
等しい辺が対する角は
等しいであろう。
- 命題１ー４（２辺挟角相等）
のことである。
-
ＡＨ＝ＤＦ、
△ＡＢＨ≡△ＤＥＦ
となっている。
ゆえに
角ＢＨＡは角ＥＦＤに等しい。
ところが
角ＥＦＤは角ＢＣＡに等しい。
- 命題の設定
による。
-
∠ＥＦＤ＝∠ＢＣＡ
となっている。
かくて
三角形ＡＨＣの外角ＢＨＡは
内対角ＢＣＡに等しい。
-
前節、前々節、
公理１ー１（同じものに等しい）
による。
-
∠ＢＨＡ＝∠ＢＣＡ
となっている。
これは不可能である。
それゆえ
ＢＣはＥＦに不等でない。
ゆえに等しい。
しかもＡＢはＤＥに等しい。
このとき
２辺ＡＢ、ＢＣは２辺ＤＥ、ＥＦに
それぞれ等しい。
そして
等しい角をはさむ。
-
前節、前々節、命題の設定
による。
-
(ＡＢ,ＢＣ)＝(ＤＥ,ＥＦ)、
∠ＡＢＣ＝∠ＤＥＦ
となっている。
したがって
底辺ＡＣは底辺ＤＦに等しく、
三角形ＡＢＣは三角形ＤＥＦに等しく、
残りの角ＢＡＣは残りの角ＥＤＦに等しい。
- 命題１ー４（２辺挟角相等）
による。
-
ＡＣ＝ＤＦ、
△ＡＢＣ≡△ＤＥＦ
となっている。
よって
[
２つの場合より
]
もし
二つの三角形において
二つの角が二つの角にそれぞれ等しく、
１辺が１辺に、
すなわち
等しい２角にはさまれる辺か
または
等しい角の一つに対する辺が
等しければ、
残りの２辺も残りの２辺に等しく、
残りの角も残りの角に等しいであろう。
これが証明すべきことであった。
- 前半は
いわゆる二角挟辺相等の合同条件である。
命題１ー４（２辺挟角相等）、
命題１ー８（３辺相等２）
と異なって、
動かして重ね合わせる論法ではない。
- 後半では、
三角形の内角の和が
２直角である（命題１ー３２）ということを
前提としていないことに注目したい。
この段階では前半に帰着させることが
できないのである。
- 前半、後半いずれにおいても、
命題１ー４（２辺挟角相等）
により
残りの２辺と
残りの角が
等しいことを論証している。
したがって
２つの三角形が等しい
ことも論証されていることになる。
すなわち、
２つの三角形において、
対応する２角と１辺が等しければ、
残りの１角と２辺がそれぞれ等しく、
２つの三角形は等しい。
（以下、命題１ー２６の補足（２角挟辺相等による合同）という。）
しかし、
ここで
２つの三角形が等しい
ことが明記されていないため、
命題１ー３４（平行四辺形の対辺・対角・対角線）
で
推論がもたもたすることになる。
-
命題1-26、命題1-26の補足は、
∠ＡＢＣ＝∠ＤＥＦ、
∠ＢＣＡ＝∠ＥＦＤ
となる
△ＡＢＣ、△ＤＥＦ
に対して、
ＢＣ＝ＥＦ
または、
ＡＢ＝ＤＥ
または
ＡＣ＝ＤＦ
ならば、
△ＡＢＣ≡△ＤＥＦ
のことである。
-
命題１ー２６の補足（２角挟辺相等による合同）
| 前提 | 作図 | 推論 |
| 定義 |
|
|
| 公準 |
|
|
| 公理 |
|
|
| 命題 |
|
1-26
|
| その他 |
|
|
-
１ー２６は推論用命題である。
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