ユークリッド原論をどう読むか(3)
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ユークリッド原論
第1巻

命題1ー26(2角挟辺相等) 
(2角挟辺相等による合同)

もし二つの三角形において
 2が2にそれぞれ等しく
 1が1に、
  すなわち
  等しいにはさまれる
  または
  等しい角の一つに対する等しければ、
 残りの2も残りの2辺に等しく
 残りのも残りの等しいであろう。 ABC、DEFを
 2ABC、BCAが2DEF、EFDに等しい
  すなわち
  ABCがDEFに、
  BCAがEFDにそれぞれ等しい
 二つの三角形とせよ。

そして1が1に、
 まず
 等しい角にはさまれる
  すなわちBCがEFに
 等しいとせよ。

残りの2もそれぞれ残りの2に、
  すなわち
  ABはDEに、
  ACはDFに等しく
 また
 残りのも残りのに、
  すなわち
  BACはEDFに
 等しいと主張する。

もしABがDEに等しくなければ、 それらの一方は大きい ABを大きいとし、
BGがDEに等しくされ、
      【・・・(a)】 GCが結ばれたとせよ。
そうすれば
 BGはDEに等しく BCはEFに等しいから、 BG、BCは
 2DE、EFにそれぞれ等しい
そして
 GBCはDEFに等しい
それゆえ
 底辺GCは底辺DFに等しく
 三角形GBCは三角形DEFに等しく
 残りのは残りの等しい
  すなわち
  等しいが対する等しい
 であろう。 ゆえに
 GCBはDFEに等しい

ところが
 DFEはBCAに等しいと仮定されている。
したがってBCGはBCAに等しく  小さいものが大きいものに等しい
これは不可能である。

 それゆえ
 ABはDEに不等でない。
ゆえに等しい しかも
 BCはEFに等しい よって
 2AB、BCは
 2DE、EFにそれぞれ等しい
しかも
 ABCはDEFに等しい
したがって
 底辺ACは底辺DFに等しく
 残りのBACは残りのEDFに等しい さてまた
 等しい角に対する
  たとえば
  ABがDE
 に等しいとせよ。

このときも
 残りのは残りのに、
  すなわち
  ACはDFに、
  BCはEFに等しく
 また
 残りのBACは残りのEDFに
 等しいと主張する。 もし
 BCがEFに不等であれば、
 それらの一方は大きい もし可能ならば、
 BCが大きいとし、
 BHがEFに等しくされ、 AHが結ばれたとせよ。
      【・・・(b)】 BHはEFに、 ABはDEに等しいから、  2AB、BHは
 2DE、EFにそれぞれ等しい
そして
 等しい角をはさむ。
それゆえ
 底辺AHは底辺DFに等しく
 三角形ABHは三角形DEFに等しく
 残りのは残りのに、
  すなわち
  等しいが対する
 等しいであろう。 ゆえに
 BHAはEFDに等しい

ところが
 EFDはBCAに等しい かくて
 三角形AHCの外角BHAは
 内対角BCAに等しい
これは不可能である。 それゆえ
 BCはEFに不等でない。
ゆえに等しい
しかもABはDEに等しい
このとき
 2AB、BCは2DE、EFに
 それぞれ等しい
そして
 等しい角をはさむ。
したがって
 底辺ACは底辺DFに等しく
 三角形ABCは三角形DEFに等しく、
 残りのBACは残りのEDFに等しい よって
[  2つの場合より ]
 もし
 二つの三角形において
 二つのが二つのにそれぞれ等しく
 1が1に、
  すなわち
  等しいにはさまれる
  または
  等しい角の一つに対する
 等しければ、
 残りの2も残りの2等しく
 残りのも残りの等しいであろう。
これが証明すべきことであった。       目次   頁頭