ユークリッド原論をどう読むか(16)
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ユークリッド原論

第10巻
 
命題10ー114(各項通約・比例の余・二項線分矩形は有理面積)
(有理面積をかこむ無理線分の存在)
もし
 面積
  余線分ニ項線分とに
   かこまれ、
 ニ項線分の二つの項が
  余線分の二つの項と通約
   でき、
 かつ
  同じ比
   なす
ならば、
  その面積
   に等し
 正方形
  有理線分
   である。



 矩形<<面積>>AB、CDが
  余線分ABとニ項線分CDとによって
   かこまれるとし、
  CEをCDの大きい項
   とし、
 ニ項線分の項CE、EDが
  余線分の項AF、FBと通約
   でき
  かつ
  同じ比
   なすようにし、
  矩形>AB、CD
   に等し
  正方形をG
   とせよ。

 Gは
  有理線分
   である
と主張する。


 有理線分Hが
   定められ、
  H上の正方形
   に等し
  CD上にKLを
   とする
 矩形
   つくられた
とせよ。
    [......(2)]

そうすれば
 KLは
  余線分
   であり、
 その項KM、MLが
  ニ項線分の項CE、EDと通約
   でき
  かつ
  同じ比
   なすようにせよ。

ところが
 CE、EDも
  AF、FBと通約
   でき
  かつ
  同じ比
   をなす。

したがって
[KM、MLも
  AF、FBと通約
   でき、]
 AFが
  FBに
   対するように、
 KMが
  MLに
   対する。
    [......(1)]

ゆえに
いれかえて
 AFが
  KMに
   対するように、
 BFが
  LMに
   対する。

したがって
 残りのABが
  残りのKLに
   対するように、
 AFが
  KMに
   対する。

ところが
 AFは
  KMと通約
   できる。

ゆえに
 ABも
  KLと通約
   できる。

そして
 ABが
  KLに
   対するように、
 矩形CD、ABが
  矩形CD、KLに
   対する。

したがって
 矩形CD、AB
  も矩形CD、KLと通約
   できる。

ところが
 矩形CD、KLは
  H上の正方形
   に等しい。

したがって
 矩形CD、ABは
  H上の正方形通約
   できる。

そして
 G上の正方形
  矩形CD、AB
   に等しい。

ゆえに
 G上の正方形
  H上の正方形通約
   できる。

ところが
 H上の正方形
  有理面積
   である。

したがって
 G上の正方形
  有理面積
   である。

それゆえ
 Gは
  有理線分
   である。

そして
  矩形CD、AB
   に等し
  正方形
   である。


よって
もし
 面積
  余線分ニ項線分とによって
   かこまれ、
 ニ項線分の項が
  余線分の項と通約
   でき
  かつ
  同じ比
   なす
ならば、
  その面積
   に等し
 正方形
  有理線分
   である。




そして
このゆえに
 有理面積
  無理線分によって
   かこまれることが可能である
ことがわれわれに明らかになった。
(以下、命題10ー114の系(有理面積をかこむ無理線分の存在)という。)

これが証明すべきことであった。
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