ユークリッド原論をどう読むか（９519）
頁末 　　 前 　　 次 　　 目次

ユークリッド原論

第５巻

命題５ー１９（引き去りが比例なら残りも比例）
（系：合比で得られた比例は反転も比例）
（比例ならば反転も比例）
（反転が比例ならば比例）
全体が全体に対するように、
　引き去られた部分が
　引き去られた部分に対するならば
　残りの部分も残りの部分に対し、
　全体が全体に対するようであろう。

• 対する・ようには 定義の補足３（命題５ー１１） による。

　


ＡＢ全体がＣＤ全体に対するように、
　引き去られた部分ＡＥが
　引き去られた部分ＣＦに対するとせよ。

• 同じ比をもつ線分の作図（仮想的）は、
  　コメント２（命題５ー４）参照のこと。
• 　ＡＢ、ＣＤ
  　点Ｅ[ＡＢ]
  に対して、
  　点Ｆ(ＣＤ;;ＡＢ：ＣＤ＝ＡＥ：ＣＦ)
  をとっている。

残りのＥＢも
　残りのＦＤに対し、
　ＡＢ全体がＣＤ全体に対するようであろう
　と主張する。
　
ＡＢがＣＤに対するように、
　ＡＥがＣＦに対するから、

• 命題の設定 による。
• 　ＡＢ：ＣＤ＝ＡＥ：ＣＦ
  となっている。

　いれかえて
　ＢＡがＡＥに対するように、
　ＤＣがＣＦに対する。

• 命題５ー１６（比例すれば錯比も比例）
  による。
  いれかえては、錯比をとることである。
• 　ＢＡ：ＡＥ＝ＤＣ：ＣＦ
  となっている。

そして
　量が合比によって比例するから、
　分割比によっても比例し、

• 命題５ー１７（合比で比例なら分割比でも比例）
  のことである。

　ＢＥがＥＡに対するように、
　ＤＦがＣＦに対するであろう。

• 命題５ー１７（合比で比例なら分割比でも比例）
  による。
• 　ＢＥ：ＥＡ＝ＤＦ：ＣＦ
  となっている。

そして
　いれかえて
　ＢＥがＤＦに対するように、
　ＥＡがＦＣに対する。【・・・(1)】

• 命題５ー１６（比例すれば錯比も比例）
  による。
• 　ＢＥ：ＤＦ＝ＥＡ：ＦＣ
  となっている。

ところが
　ＡＥがＣＦに対するように、
　ＡＢ全体がＣＤ全体に対する
　と仮定されている。【・・・(2)】

• 命題の設定 による。
• 　ＡＥ：ＣＦ＝ＡＢ：ＣＤ
  となっている。

それゆえ
　残りのＥＢも残りのＦＤに対して、
　ＡＢ全体がＣＤ全体に対するようであろう。

• (1) (2) 命題５ー１１（同一の比に同じ比）
  による。
• 　ＥＢ：ＦＤ＝ＡＢ：ＣＤ
  となっている。

よってもし
　全体が全体に対するように、
　引き去られた部分が
　引き去られた部分に対するならば
　残りの部分も残りの部分に対し、
　全体が全体に対するようであろう。

系
これから次のことが明らかである。
すなわち
　もし
　量が
　合比によって［得られた］比例する［量］
ならば、
　反転しても比例するであろう。
以下、命題５ー１９の系（合比で得られた比例は反転も比例）という。

• 量は、定義５ー１の補足 による。
• 合比は、定義５ー１４ による。
• 比例は、定義５ー６ による。
• 反転は、定義５ー１６ による。
• 　ＡＢ、ＣＤ
  に対して。
  　Ｅ[ＡＢ]、
  　Ｆ(ＣＤ;;ＡＢ：ＢＥ＝ＣＤ：ＤＦ)
  をとると、
  　ＡＢ、ＢＥ、ＣＤ、ＤＦは、
  　合比によって得られた比例する量
  であり、
  　命題５ー１６（比例すれば錯比も比例）
  により、
  　ＡＢ：ＣＤ＝ＢＥ：ＤＦ
  となり、
  　命題５ー１９（引き去りが比例なら残りも比例）
  により、
  　ＡＢ：ＣＤ＝ＡＥ：ＣＦ
  となり、
  　命題５ー１６（比例すれば錯比も比例）
  により、
  　ＡＢ：ＡＥ＝ＣＤ：ＣＦ、
  すなわち、
  　ＡＢ：ＡＢーＢＥ＝ＣＤ：ＣＤーＤＦ
  となり、
  　定義５ー１６（比の反転）
  により、
  　反転しても比例する。
  
  
  • 　合比によって得られた比例する量
    とするのは、
    　比の前項と後項が一致するのを除く
    ためである。
    
  • 以上の本命題による証明は、
    　ＡＢとＣＤが同種の量であることを前提とする
    が、
    　本系は、
    　それらが同種の量であることを前提としない。
    その場合の証明は、
    　以下の通りである。
    　ＡＢ、ＣＤ
    に対して、
    　Ｅ[ＡＢ]、
    　Ｆ(ＣＤ;;ＡＢ：ＢＥ＝ＣＤ：ＤＦ)
    をとると、
    　ＡＢ、ＢＥ、ＣＤ、ＤＦは、
    　合比によって得られた比例する量
    であり、
    　命題５ー１７（比例なら分割比も比例）
    により、
    　ＡＥ：ＢＥ＝ＣＦ：ＤＦ
    となり、
    　命題５ー７の系(比例すれば逆も比例)
    により、
    　ＢＥ：ＡＥ＝ＤＦ：ＣＦ
    となり、
    　命題５ー１８（比例なら合比も比例）
    により
    　ＡＢ：ＡＥ＝ＣＤ：ＣＦ、
    すなわち、
    　ＡＢ：ＡＢーＢＥ＝ＣＤ：ＣＤーＤＦ
    となり、
    　定義５ー１６（比の反転）
    により、
    　反転しても比例する。
    
  
  
  
• 　比例する４量
  　ＡＢ：ＣＤ＝ＥＦ：ＧＨ
  において、
  　公理１ー７の補足（線分・角は大か等か小）
  により、
  　ＡＢ、ＣＤについて、
  　ＡＢ＞ＣＤの場合、
  　ＡＢ＝ＣＤの場合
  　ＡＢ＜ＣＤの場合
  がある。
  　命題５ー１６の補足（同じ比の項の大等小２）
  により、
  　ＡＢ(＜、＝、＞)ＣＤ
  ならば、
  　ＥＦ(＜、＝、＞)ＧＨ
  となる。
  まず、
  　ＡＢ＞ＣＤ の場合、
  　Ｋ(ＡＢ;;ＫＢ＝ＣＤ)、
  　Ｌ(ＥＦ;;ＬＦ＝ＧＨ)
  をとると、
  　命題５ー７（同一量の比）
  により、
  　ＡＢ：ＣＤ＝ＡＢ：ＫＢ、
  　ＥＦ：ＧＨ＝ＥＦ：ＬＦ
  となり、
  　命題５ー１１（同一の比に同じ比）
  により、
  　ＡＢ：ＫＢ＝ＥＦ：ＬＦ
  となり、
  　合比によって得られた比例する量
  となる。
  　命題５ー１９の系（合比で得られた比例は反転で比例）
  により、
  　ＡＢ：ＡＢーＫＢ＝ＥＦ：ＥＦーＬＦ
  となり、
  　命題５ー７（同一量の比）
  により、
  　ＡＢ：ＡＢーＣＤ＝ＥＦ：ＥＦーＧＨ
  となる。
  　ＡＢ＝ＣＤ の場合、
  　反転は定義できない。
  　ＡＢ＜ＣＤ の場合、
  　命題５ー７の系(比例すれば逆も比例)
  により、
  　ＣＤ：ＡＢ＝ＧＨ：ＥＦ
  となり、
  　ＣＤ＞ＡＢ
  であるので、
  　ＡＢ＞ＣＤの場合により、
  　ＣＤ：ＣＤーＡＢ＝ＧＨ：ＧＨーＥＦ
  となり、
  　命題５ー１７（比例なら分割比も比例）
  により、
  　ＡＢ：ＣＤーＡＢ＝ＥＦ：ＧＨーＥＦ
  となる。
  以上の３つの場合から、
  　定義５ー１６（比の反転）
  により、
  　比例において、
  　前項と後項が異
  なれば、
  　反転も比例する。
  (以下、命題５ー１９の系の補足２ (比例ならば反転も比例)という。)
  
• 　反転が比例する
  ならば、
  　比例する。
  (以下、命題５ー１９の系の補足３ (反転が比例ならば比例)という。)
  すなわち、
  　量Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ
  において、
  　Ａ：｜ＡーＢ｜＝Ｃ：｜ＣーＤ｜
  ならば、
  　Ａ：Ｂ＝Ｃ：Ｄ
  となる。
  証明は、以下の通り。
  　公理１ー７の補足（線分・角は大か等か小）
  により、
  　Ａ、Ｂについて、
  　Ａ＞Ｂの場合、
  　Ａ＝Ｂの場合
  　Ａ＜Ｂの場合
  がある。
  　命題５ー１６の補足（同じ比の項の大等小２）
  により、
  　Ａ(＜、＝、＞)Ｂ
  ならば、
  　Ｃ(＜、＝、＞)Ｄ
  となる。
  まず、
  　Ａ＞Ｂの場合、
  　Ａ：ＡーＢ＝Ｃ：ＣーＤ
  となり、
  　命題５ー１９の系の補足２ (比例ならば反転も比例)
  により、
  　Ａ：Ｂ＝Ｃ：Ｄ
  となる。
  　Ａ＝Ｂの場合、
  　比の反転が定義されている
  ので、
  　本補足において、この場合はない。
  　Ａ＜Ｂの場合、
  　Ａ：ＢーＡ＝Ｃ：ＤーＣ
  となり、
  　命題５ー１９の系の補足２ (比例ならば反転も比例)
  により、
  　Ａ：Ｂ＝Ｃ：Ｄ
  となる。
  以上の３つの場合から、
  　Ａ：｜ＡーＢ｜＝Ｃ：｜ＣーＤ｜
  ならば、
  　Ａ：Ｂ＝Ｃ：Ｄ
  となる。
  

これが証明すべきことであった。

• 命題５ー１９の系の補足３は、
  　Ａ：｜ＡーＢ｜＝Ｃ：｜ＣーＤ｜
  ならば、
  　Ａ：Ｂ＝Ｃ：Ｄ
  のことである。
  
  
• 　本質的に、
  　命題５ー１９の系の補足２は、
  　それ自身が自身の逆となっている。
• 命題５ー１９の系の補足２は、
  　Ａ：Ｂ＝Ｃ：Ｄ
  において、
  　Ａ≠Ｂ
  ならば、
  　Ａ：｜ＡーＢ｜＝Ｃ：｜ＣーＤ｜
  のことである。
• 命題５ー１９の系は、
  　ＡＢ、ＣＤ
  に対して、
  　Ｅ[ＡＢ]、
  　Ｆ(ＣＤ;;ＡＢ：ＥＢ＝ＣＤ：ＦＤ)
  をとれば、
  　ＡＢ：ＥＢ＝ＣＤ：ＦＤ
  ならば、
  　ＡＢ：ＡＢーＥＢ＝ＣＤ：ＣＤーＦＤ
  のことである。
• 命題５ー１９は、
  　Ａ：Ｃ＝Ｂ：Ｄ
  ならば、
  　（ＡーＢ）：（ＣーＤ）＝Ａ：Ｃ
  のことである。
  
  
• 命題５ー１９の系の補足３は推論用命題である。
  

  前提	作図	推論
  定義
  公準
  公理		1-7補
  命題		5-16補,5-19系補2
  その他		場合分け

  
  
• 命題５ー１９の系の補足２は推論用命題である。
  

  前提	作図	推論
  定義		5-16
  公準
  公理		1-7補
  命題		5-7,5-7系,5-11,5-16補,5-17,5-19系
  その他		場合分け

  
  
• 命題５ー１９の系は推論用命題である。
  

  前提	作図	推論
  定義		5-16
  公準
  公理
  命題		5-7系,5-17,5-18
  その他

  
  
• 命題５ー１９は推論用命題である。

  前提	作図	推論
  定義
  公準
  公理
  命題		5-11,5-16,5-17
  その他		コ2(題5-4)

前 　　 次 　　 目次 　　頁頭