ユークリッド原論をどう読むか（１０）
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ユークリッド原論

第６巻

命題６ー２６（共通角の平行四辺形の相似と対角線）
もし
　平行四辺形から
　全体に相似で
　　かつ
　　相似な位置にあり、
　　全体と共通な角をもつ
　　平行四辺形が切りとられるならば、
　それは全体と同じ対角線をはさんでいる。

• 平行四辺形は、 定義１ー２２の補足２ による。
• 相似は、 定義６ー１ による。
• 相似な位置は、 定義の補足（命題６ー１８） による。
• 角は、 定義１ー８ による。
• 対角線は、 定義の補足（命題１ー３４） による。

平行四辺形ＡＢＣＤから
　ＡＢＣＤに相似で
　かつ
　相似な位置にあり、
　それと共通な角ＤＡＢをもつ
　平行四辺形ＡＦが切り取られたとせよ。

• 切り取るというのは、
  　書き込むということ。
• 命題６ー１８（作図.線分上に相似な直線図形）
  による。
  
• 次のように描くこともできる。
  平行四辺形ＡＢＣＤに、
  　共通な角ＤＡＢをもつ
  　相似でかつ相似な位置にある
  　平行四辺形ＡＥＦＧ[ＡＥ,ＡＧ]は、
  　定義６ー１（相似）
  により
  　ＡＢ：ＡＤ＝ＡＥ：ＡＧ
  であるから、
  　命題５ー１６（比例すれば錯比も比例）
  により、
  　いれかえて、
  　ＡＢ：ＡＥ＝ＡＤ：ＡＧ。
  命題５ー１７（比例ならば分割比も比例）
  により、
  　合比で比例すれば、
  　分割比によっても比例し、
  　ＥＢ：ＡＥ＝ＧＤ：ＡＧ。
  よって
  　命題６ー２（三角形の辺の平行線による辺の比例区分）
  により
  　ＢＤ‖ＥＧ。
  したがって、
  　次のように作図すれば
  　対角線ＡＣ上にＡと向かい合うＦをとらずに、
  　作図できる。
  公準１ー１の補足（作図.任意の点をとる）
  により
  　点Ｅ[辺ＡＢ]
  をとり、
  　命題１ー３１（作図・平行線）
  により
  　平行線(Ｅ,対角線ＢＤ]
  をとる。
  命題１ー３０の補足(交線に平行な線)
  により、
  　ＢＤ(交)ＡＤ
  なので、
  　交点Ｇ(平行線(Ｅ,対角線ＢＤ],ＡＤ)、
  　Ｇ;同側(ＢＤ,Ａ)。
  そうすれば、
  　命題６ー２（三角形の辺の平行線による辺の比例区分）
  により、
  　ＢＥ：ＥＡ＝ＤＧ：ＧＡ。
  命題５ー１８（比例ならば合比も比例）
  により、
  　分割比が比例すれば、
  　合比も比例するので、
  　ＢＡ：ＥＡ＝ＤＡ：ＧＡ。
  命題５ー１６（比例すれば錯比も比例）
  により、
  　ＢＡ：ＤＡ＝ＥＡ：ＤＡ。
  次に、
  　命題１ー３０の補足(交線に平行な線)
  により、
  　交点Ｆ(平行線(Ｅ,ＡＧ),平行線(Ｇ,ＡＥ))。
  　定義の補足（命題１ー３４）(平行四辺形・対角線)
  により、
  　四辺形ＡＥＦＧ;平行四辺形
  であり、
  　１つの角が
  　平行四辺形ＡＢＣＤと共通であるから、
  　命題６−１４の補足３（１組の角が等しい平行四辺形と等角)
  により、
  　ＡＢＣＤと等角であり、
  　命題１ー３４（平行四辺形の対辺・対角・対角線）
  により、
  　平行四辺形の対辺は等しいから、
  　ＢＡ：ＤＡ＝ＥＡ：ＧＡ
  なので、
  　ＡＢ：ＣＢ＝ＡＥ：ＦＥ、
  　ＢＣ：ＤＣ＝ＥＦ：ＧＦ、
  　ＣＤ：ＡＤ＝ＦＧ：ＡＧ。
  よって、
  　定義６ー１（相似）
  により、
  　平行四辺形ＡＢＣＤ∽ＡＥＦＧ。
  このように作図したとき、
  　Ｆが対角線ＡＣ上にあるか
  　という問いが、
  　本命題である。
  
• 　平行四辺形ＡＢＣＤ
  に対して
  　点Ｅ[ＡＢ]、
  　点Ｇ(ＡＤ;;平四ＡＥＦＧ(ＡＥ,ＡＧ)∽平四ＡＢＣＤ)
  をとっている。

ＡＢＣＤは
　ＡＦと同じ対角線をはさんでいる
　と主張する。
　
そうでないとすれば、
　もし可能ならば

• 背理法の仮定を述べようとしている。
  「もし可能ならば」は、
  　コメント２(命題１−７）参照のこと。

　ＡＨＣを対角線とし、

• 背理法の仮定として、
  　Ｆが対角線ＡＣ上にないとすると、
  　Ｆは、
  　対角線ＡＣについて、
  　Ｂと同じ側にあるか、
  　Ｂと反対側にある。
  反対側にある場合を
  　証明している。
  　同じ側にある場合も
  　同様に証明できることは
  　明らかである。
• 　対角線ＡＣ.平四ＡＢＣＤ
  をとっている。

　ＧＦが延長されてＨまでひかれ、

• 公準１ー２（作図.直線の延長）
  による。
  命題１ー３０の補足(交線に平行な線)
  により、
  　ＧＦの延長が対角線ＡＨＣと交わる。
  その交点をＨ’とし、
  　Ｈ’を改めてＨとして
  　Ｈを遡って用いている。
• 　交点Ｈ(ＡＣ,延長ＧＦ)
  をとっている。

　Ｈを通り
　ＡＤ、ＢＣのどちらかに平行に
　ＨＫがひかれたとせよ。

• 「どちらかに」は、
  　コメント（命題２ー２）参照のこと。
• 命題１ー３１（作図・平行線）
  による。
• 　点Ｋ(ＡＢ,ＢＣ)
  　平四ＫＧ(ＫＡ,ＫＦ)
  をとっている。

　
そうすれば
　ＡＢＣＤは
　ＫＧと同じ対角線をはさんでいるから、

• 　対角線.平四ＫＧ;上.対角線.平四ＡＢＣＤ
  となっている。

　ＤＡがＡＢに対するように、
　ＧＡがＡＫに対する。

• 命題６ー２４（対角線をはさむ平行四辺形と相似）
  による。
• 　ＤＡ：ＡＢ＝ＧＡ：ＡＫ
  となっている。

ところが
　ＡＢＣＤ、ＥＧが相似であるため、

• 　平四ＡＢＣＤ∽平四ＥＧ(ＥＡ,ＥＦ)
  となっている。

　ＤＡがＡＢに対するように、
　ＧＡがＡＥに対する。

• 定義６ー１（相似）
  による。
• 　ＤＡ：ＡＢ＝ＧＡ：ＡＥ
  となっている。

それゆえ
　ＧＡがＡＫに対するように、
　ＧＡがＡＥに対する。

• 命題５ー７（同一量の比）
  による。
• 　ＧＡ：ＡＫ＝ＧＡ：ＡＥ
  となっている。

ゆえに
　ＧＡは
　ＡＫ、ＡＥの双方に対し、
　同じ比をもつ。
すなわち
　小さいものが大きいものに等しい。

• 命題５ー９（同一比の量）
  により、
  　ＡＫ＝ＡＥ。
  ところが、
  　背理法の仮定により、
  　ＧＨ＞ＧＦ、
  　命題１ー３４（平行四辺形の対辺・対角・対角線）
  により、
  　ＡＫ＝ＧＨ、
  　ＡＥ＝ＧＦ
  だから、
  　公理１ー８の補足２（等より大・小、大・小に等）
  により、
  　ＡＫ＞ＡＥ。
• 　ＡＫ＝ＡＥ
  かつ
  　ＡＫ＞ＡＥ
  となっている。

これは不可能なことである。
それゆえ
　ＡＢＣＤは
　平行四辺形ＡＦと同じ対角線をはさんでいる。

• 背理法による。

よってもし
　平行四辺形から
　全体に相似で
　　かつ
　　相似な位置にあり、
　　全体と共通な角をもつ
　　平行四辺形が切りとられるならば、
　それは
　全体と同じ対角線をはさんでいる。
これが証明すべきことであった。

• 命題６ー２６は、
  　平行四辺形ＡＢＣＤ
  に対して
  　点Ｅ[ＡＢ]、
  　点Ｇ(ＡＤ;;平四ＡＥＦＧ(ＡＥ,ＡＧ)∽平四ＡＢＣＤ)
  をとれば、
  　対角線.平四ＡＦ;上.対角線.平四ＡＢＣＤ
  のことである。
• 命題６ー２６は推論用命題である。

  前提	作図	推論
  定義		補(1-34),6-1
  公準	1-1補,1-2
  公理		1-8補2
  命題	1-30補,1-31	1-34,5-7,5-9,5-16,5-17,5-18,6-2,6-14補3 ,6-24
  その他	コ(題2-2)	コ2(題1-7)

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