ユークリッド原論をどう読むか（１４）
頁末 　　 前 　　 次 　　 目次

ユークリッド原論

第１０巻
　
命題１０ー５（通約可能なら数：数の比）
商(量)
　通約できる量は
　互いに数が数に対する比をもつ。

• 通約は、
  定義１０ー１による。
• 量は、
  定義５ー１の補足による。
• 数は、
  定義７ー２による。
• 対するは、
  定義の補足３（命題５ー１１）による。
• 比は、
  定義５ー３による。

　Ａ、Ｂを通約できる量
とせよ。

• 　「量（について）・・・とせよ」は、
  　コメント６（命題５ー１）
  　参照のこと。
  「通約できる量を表す線分の作図（仮想的）」は、
  コメント３(命題１０ー３）
  　参照のこと。
  
• 　Ａ∩Ｂ
  となっている。

　ＡはＢに対し
　数が数に対する比をもつ
と主張する。

　Ａ、Ｂは通約できる

• 　命題の設定による。

から、
　何らかの量がそれらを割り切る
であろう。

• 　前節、
  　定義１０ー１（通約）
  による。

　割り切る
とし、
　それをＣ
とせよ。

• 　前節による。
• 　Ｃ｜（Ａ、Ｂ）
  となっている。

そして
　ＣでＡを割った商と
　同じ個数の単位がＤのうちにある
とし、
　ＣでＢを割った商と
　同じ個数の単位がＥのなかにある
とせよ。
　　　　　　[......(ａ)]

• 　商（量）とは、
  　割る量で割られる量を
  　何個分と測った個数である。
  (以下、定義の補足（命題１０ー５） （商(量)）という。)
  　数の場合は
  　定義７ー８の補足（商）と
  　一致する。
  
• 　前節による。
• 　定義７ー２（数）
  により、
  　Ｄ、Ｅは数である。
  
• 　Ａ／Ｃ＝Ｄ、
  　Ｂ／Ｃ＝Ｅ
  となっている。

そうすれば
　ＣでＡを割った商は
　Ｄのなかにある単位の個数であり、

• 　前節による。

　単位でＤを割った商は
　Ｄのなかにある単位の個数である

• 　定義７ー８の補足（商） による。

から、
　単位で数Ｄを割った商は
　量Ｃで量Ａを割った商に等しい。

• 　公理１ー１（同じものに等しい）
  による。
• 　Ｄ／単位＝Ａ／Ｃ
  となっている。

したがって
　ＣがＡに対するように、
　単位がＤに対する。

• 　前節、
  　定義５ー５（同じ比）
  による。
  
• 　Ｃ：Ａ＝単位：Ｄ
  となっている。

ゆえに
逆に、
　ＡがＣに対するように、
　Ｄが単位に対する。
　　　　　　[......(１)]

• 　前節、
  　命題５ー７の系(比例すれば逆も比例)
  による。
• 　Ａ：Ｃ＝Ｄ：単位
  となっている。

また
　ＣでＢを割った商は
　Ｅのなかにある単位の個数であり、

• 　（ａ）による。
• 　Ｂ／Ｃ＝Ｅ
  となっている。

　単位でＥを割った商も
　Ｅのなかにある単位の個数である

• 　定義７ー８の補足（商）
  による。
  
• 　Ｅ／単位＝Ｅ
  となっている。

から、
　単位でＥを割った商は
　ＣでＢを割った商に等しい。

• 　前節、前々節、
  　公理１ー１（同じものに等しい）
  による。
• 　Ｅ／単位＝Ｂ／Ｃ
  となっている。

したがって
　ＣがＢに対するように、
　単位がＥに対する。

• 　前節、
  　　定義５ー５（同じ比）
  による。
  
• 　Ｃ：Ｂ＝単位：Ｅ
  となっている。

そして
　ＡがＣに対するように、
　Ｄが単位に対する
ことが先に証明された。

• 　（１）による。
• 　Ａ：Ｃ＝Ｄ：単位
  となっている。

したがって
　等間隔比により
　量Ａが量Ｂに対するように、
　数Ｄが数Ｅに対する。

• 　前節、前々節、
  　命題５ー２２（等間隔比と同じ比）
  による。
  
• 　Ａ：Ｂ（量）＝Ｄ：Ｅ（数）
  となっている。

よって
　通約できる量Ａ、Ｂは
　互いに
　数Ｄが数Ｅに対する比をもつ。

　これが証明すべきことであった。

• 命題１０ー５は、
  　Ａ∩Ｂ
  ならば、
  　Ａ:Ｂ＝整数:整数
  のことである。
• 命題１０ー５は推論用命題である。

  前提	作図・構成	推論
  定義		5-5,7-2,7-8補,10-1
  公準
  公理		1-1
  命題		5-7系,5-22
  その他	コ6(題5-1), コ3(題10-3)

前 　　 次 　　 目次 　　頁頭