ユークリッド原論をどう読むか（１４）
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ユークリッド原論

第１０巻
　
命題１０ー８５（作図.第１の余線分）
　　第１の余線分を
　　　見いだすこと。

• 第１の余線分は、
  　定義１０�Vー１（第１の余線分）
  による。

　有理線分Ａが
　　　定められ，
　　ＢＧを
　　Ａと長さにおいて通約
　　　できるようにせよ。

• 　命題の補足２（定義１０ー３）(作図.任意の有理線分)、
  　命題１０ー５（通約可能なら数：数の比）
  　命題１０ー６の系（作図.線分で数：数となる線分）
  による。
  
• 　Ａ；有理線分、
  　ＢＧ；∩Ａ
  となっている。

そうすれば、
　ＢＧも
　　有理線分
　　　である。

• 　前節、
  　定義１０ー３の補足（有理線分）
  による。
• 　ＢＧ；有理線分
  となっている。

　二つの平方数ＤＥ、ＥＦが
　　　定められ，
　その差が
　　平方数で
　　　ないようにせよ。
　　　　　　[......(３)]

• 　命題１０ー２９助ａの補足(作図.差が平方数でない２平方数)
  による。
• 　ＤＥ、ＥＦ；平方数
  　　ＤＥーＥＦ；¬平方数
  となっている。

そうすれば
　ＥＤは
　　ＤＦに対し，
　平方数が
　　平方数に対する比を
　　　もたない。
　　　　　　[......(１)]

• 　前節による。
• 　ＥＤ：ＤＦ；¬平方数：平方数
  となっている。

そして
　ＥＤが
　　ＤＦに
　　　対するように，
　ＢＧ上の正方形が
　　ＧＣ上の正方形に
　　　対する
　　ようにされた
とせよ。
　　　　　　[......(２)]

• 　命題６ー１２（作図.比例第４項）
  による。
• 　Ｃ（ＢＧ；ＥＤ：ＤＦ＝正方(_ＢＧ)：正方(_ＧＣ))
  となっている。

そうすれば
　ＢＧ上の正方形は
　　ＧＣ上の正方形と通約
　　　できる。

• 　前節、
  　命題１０ー１１（４量比例で一方が通約なら他方も通約）
  による。
• 　正方(_ＢＧ)∩正方(_ＧＣ)
  となっている。

ところが
　ＢＧ上の正方形は
　　有理面積
　　　である。

• 　命題の設定、
  　定義１０ー４の補足（有理面積、無理面積）
  による。
• 　正方(_ＢＧ)；有理面積
  となっている。

したがって
　ＧＣ上の正方形も
　　有理面積
　　　である。

• 　前節、
  　定義１０ー４の補足（有理面積、無理面積）
  による。
• 　正方(_ＧＣ)；有理面積
  となっている。

ゆえに
　ＧＣも
　　有理線分
　　　である。

• 　前節、
  　定義１０ー３の補足（有理線分）
  による。
• 　ＧＣ；有理線分
  となっている。

そして
　ＥＤは
　　ＤＦに対し，
　平方数が
　　平方数に
　　　対する
　　比を
　　　もたない

• 　（１）による。
• 　ＥＤ：ＤＦ≠平方数：平方数
  となっている。

から，
　ＢＧ上の正方形も
　　ＧＣ上の正方形に対し，
　平方数が
　　平方数に対する比を
　　　もたない。

• 　前節、 （２）
  　命題５ー１１（同一の比に同じ比）
  による。
• 　正方(_ＢＧ)：正方(_ＧＣ)≠平方数：平方数
  となっている。

したがって
　ＢＧは
　　ＧＣと長さにおいて通約
　　　できない。

• 　前節、
  　命題１０ー９（長さで通約と正方形・平方数の比）
  による。
• 　ＢＧ¬∩ＧＣ
  となっている。

そして
　両方とも
　　有理線分
　　　である。

• 　命題の設定、 （２）
  による。
• 　ＢＧ、ＧＣ；有理線分
  となっている。

したがって
　ＢＧ，ＧＣは
　　平方においてのみ通約
　　　できる
　　有理線分
　　　である。

• 　前節、前々節による。
• 　ＢＧ∩^^2 ＧＣ
  となっている。

ゆえに
　ＢＣは
　　余線分
　　　である。

• 　前節、
  　定義の補足(命題１０ー７３)(余線分)
  による。
• 　ＢＣ；余線分
  となっている。

次に
　　第１の余線分
　　　でもある
と主張する。

　　Ｈ上の正方形を
　　ＢＧ上の正方形と
　　ＧＣ上の正方形との差と
　　　せよ。
　　　　　　[......(４)]

• 　命題１０ー１４助（作図.線分上の正方形の差となる正方形の辺）
  による。
  
• 　正方(_Ｈ)＝正方(_ＢＧ)ー正方(_ＧＣ)
  となっている。

そして
　ＥＤが
　　ＦＤに対するように，
　ＢＧ上の正方形が
　　ＧＣ上の正方形に対する

• 　（２）による。
• 　ＥＤ：ＦＤ＝正方(_ＢＧ)：正方(_ＧＣ)
  となっている。

から，
　　反転比により
　ＤＥが
　　ＥＦに対するように，
　ＧＢ上の正方形が
　　Ｈ上の正方形に
　　　対する。

• 　前節、
  命題５ー１９の系の補足２(比例ならば反転も比例)
  による。
• 　ＤＥ：ＥＦ＝正方(_ＧＢ)：正方(_Ｈ)
  となっている。

ところが
　ＤＥは
　　ＥＦに対し，
　どちらも
　　平方数
　　　である
から，
　平方数が
　　平方数に対する比を
　　　もつ。

• 　（３）による。
• 　ＤＥ：ＥＦ＝平方数：平方数
  となっている。

したがって
　ＧＢ上の正方形は
　　Ｈ上の正方形に対し，
　平方数が
　　平方数に対する比を
　　　もつ。

• 　前節、前々節による。
• 　正方(_ＧＢ)：正方(_Ｈ)＝平方数：平方数
  となっている。

ゆえに
　ＢＧは
　　Ｈと長さにおいて通約
　　　できる。

• 　前節
  　命題１０ー９（長さで通約と正方形・平方数の比）
  による。
• 　ＢＧ∩Ｈ
  となっている。

そして
　上の正方形は
　　ＧＣ上の正方形より
　　Ｈ上の正方形だけ
　　　大きい。

• 　（４）による。
• 　正方(_ＢＧ)＝正方(_ＧＣ)＋正方(_Ｈ)
  となっている。

したがって
　ＢＧ上の正方形は
　　ＧＣ上の正方形より
　　ＢＧと長さにおいて通約
　　　できる
　　線分上の正方形だけ
　　　大きい。

• 　前節、前々節による。
• 　正方(_ＢＧ)＝正方(_ＧＣ)＋正方(_Ｈ)
  　ＢＧ∩Ｈ
  となっている。

そして
　全体は
　　定められた有理線分Ａと
　　長さにおいて通約
　　　できる。

• 　命題の設定による。
• 　ＢＧ∩Ａ
  となっている。

したがって
　ＢＣは
　　第１の余線分
　　　である。

• 　前節、
  　定義１０�Vー１（第１の余線分)
  による。
• 　ＢＣ：第１の余線分
  となっている。

よって
　第１の余線分ＢＣが
　　見いだされた。

これが証明すべきことであった

• 命題１０ー８５は、
  　命題１０ー２９助ａの補足(作図.差が平方数でない２平方数)
  により、
  　線分ＤＥ、点Ｆ(ＤＥ)を、
  　　ＤＥ：ＥＦ＝平方数：平方数、
  　　ＤＥ：ＤＥ≠平方数：平方数
  となるようにとり、
  　ある有理線分Ａ
  　線分ＢＧ(;∩Ａ)
  をとり、
  　命題１０ー６の系２により、
  　点Ｃ(ＢＧ;
  　　正方(_ＢＧ)：正方(_ＧＣ)＝ＥＤ：ＤＦ)
  となるようにとれば、
  　ＢＣは、第１の余線分
  のことである。
• 命題１０ー８５は作図用命題である。

  前提	作図・構成	推論
  定義		10-3補,10-4補,補(命題10-73),10�V-1
  公準
  公理
  命題	6-12,補2(義10-3),10-6系,10-14助,10-29助補	5-11,5-19系補2,10-5,10-9,10-11
  その他

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