ユークリッド原論をどう読むか（１４）
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ユークリッド原論

第１０巻
　
命題１０ー９０（作図.第６の余線分）
　　第６の余線分を
　　　見いだすこと。

• 第６の余線分は、
  定義１０�Vー６による。

　　有理線分Ａと，
　互いに平方数が
　　平方数に対する比を
　　　もたない
　三つの数Ｅ,ＢＣ,ＣＤが
　　　定められたとせよ。

• 　命題の補足２（定義１０ー３）(作図.任意の有理線分)、
  により、
  　有理線分Ａを
  　　　とり、
  　命題の補足（定義７ー２）(作図.数ｎ)
  により、
  　ＣＤをとり、
  　ＣＤの素因数の一つを
  　　ＣＤを合成せず、
  　　その素因数より大きい２つの素因数に
  　　　入れ替えた
  　　数をそれぞれＥ、ＢＣとすると、
  　命題１０ー８７の補足(素因数を１つ含む合成数は、その素因数を含まない数と平方数の比を持たない)
  により
  　Ｅ、ＢＣは
  　　互いに、
  また
  　　ＣＤと平方数：平方数の比を
  　　　持たない．
  
• 　Ａ；有理線分
  　Ｅ：ＢＣ≠平方数：平方数
  　Ｅ：ＣＤ≠平方数：平方数
  　ＢＣ：ＣＤ≠平方数：平方数
  となっている。

そして
また
　ＣＢが
　　ＢＤに対し，
　平方数が
　　平方数に対する比を
　　　もたないようにせよ。
　　　　　[......(５)]

• 　前節により、
  　　ＣＢの合成に
  　　　用いた
  　素数が
  　　ＢＤの素因数
  　　　であるとすると、
  　命題７−１の補足２（倍数の和・差は倍数）
  により、
  　　ＤＣの素因数
  　　　となり矛盾する。
  よって、
  背理法により、
  　ＢＣの１つしかない素因数は、
  　　ＢＤにない
  ので、
  　命題１０ー８７の補足(素因数を１つ含む合成数は、その素因数を含まない数と平方数の比を持たない)
  による。
  
• 　ＢＣ：ＢＤ≠平方数：平方数
  となっている。

そして
　Ｅが
　　ＢＣに対するように，
　Ａ上の正方形が
　　ＦＧ上の正方形に
　　　対し，
　ＢＣが
　　ＣＤに対するように，
　ＦＧ上の正方形が
　　ＧＨ上の正方形に
　　　対するようにされたとせよ。
　　　　　　[......(１)]

• 　命題１０ー６の系２（作図.平方で数：数となる線分）
  による。
• 　Ｅ：ＢＣ＝正方(_Ａ)：正方(_ＦＧ)、
  　ＢＣ：ＣＤ＝正方(_ＦＧ)：正方(_ＧＨ)
  となっている。

そうすれば
　Ｅが
　　ＢＣに対するように，
　Ａ上の正方形が
　　ＦＧ上の正方形に
　　　対する

• 　前節による。
• 　Ｅ：ＢＣ＝正方(_Ａ)：正方(_ＦＧ)、 となっている。

から，
　Ａ上の正方形は
　　ＦＧ上の正方形と通約
　　　できる。

• 　前節、
  　命題１０ー６（量が数：数なら通約可）
  による。
• 　正方(_Ａ)∩正方(_ＦＧ)
  となっている。

ところが
　Ａ上の正方形は
　　有理面積
　　　である。

• 　命題の設定、
  　定義１０ー４の補足（有理面積、無理面積）
  による。
• 　正方(_Ａ)；有理面積
  となっている。

したがって
　ＦＧ上の正方形も
　　有理面積
　　　である。
　　　　　　[......(２)]

• 　前節、前々節、
  　定義１０ー４の補足（有理面積、無理面積）
  による。
• 　正方(_ＦＧ)；有理面積
  となっている。

ゆえに
　ＦＧも
　　有理線分
　　　である。

• 　前節、
  　定義１０ー３の補足（有理線分）
  による。
• 　ＦＧ；有理線分
  となっている。

そして
　Ｅは
　　ＢＣに対し，
　平方数が
　　平方数に対する比を
　　　もたない

• 　命題の設定による。
• 　Ｅ：ＢＣ≠平方数：平方数
  となっている。

から，
　Ａ上の正方形も
　　ＦＧ上の正方形に対し，
　平方数が
　　平方数に対する比を
　　　もたない。

• 　前節、 （１）
  　命題５ー１１（同一の比に同じ比）
  による。
• 　正方(_Ａ)：正方(_ＦＧ)≠平方数：平方数
  となっている。

したがって
　Ａは
　　ＦＧと長さにおいて通約
　　　できない。
　　　　　　[......(４)]

• 　前節、
  　命題１０ー９（長さで通約と正方形・平方数の比）
  による。
• 　Ａ¬∩ＦＧ
  となっている。

また
　ＢＣが
　　ＣＤに対するように，
　ＦＧ上の正方形が
　　ＧＨ上の正方形に
　　　対する

• 　（１）による。
• 　ＢＣ：ＣＤ＝正方(_ＦＧ)：正方(_ＧＨ)
  となっている。

から，
　ＦＧ上の正方形は
　　ＧＨ上の正方形と通約
　　　できる。

• 　前節、
  　命題１０ー６（量が数：数なら通約可）
  による。
• 　正方(_ＦＧ)∩正方(_ＧＨ)
  となっている。

ところが
　ＦＧ上の正方形は
　　有理面積
　　　である。

• 　（２）による。
• 　正方(_ＦＧ)；有理面積
  となっている。

したがって
　ＧＨ上の正方形も
　　有理面積
　　　である。

• 　前節、前々節、
  　定義１０ー４の補足（有理面積、無理面積）
  による。
• 　正方(_ＧＨ)；有理面積
  となっている。

ゆえに
　ＧＨも
　　有理線分
　　　である。
　　　　　　[......(３)]

• 　前節、
  　定義１０ー３の補足（有理線分）
  による。
• 　ＧＨ：有理線分
  となっている。

そして
　ＢＣは
　　ＣＤに対し，
　平方数が
　　平方数に対する比を
　　　もたない

• 　命題の設定による。
• 　ＢＣ：ＣＤ≠平方数：平方数
  となっている。

から，
　ＦＧ上の正方形も
　　ＧＨ上の正方形に対し，
　平方数が
　　平方数に対する比を
　　　もたない。

• 　前節、 （１）
  　命題５ー１１（同一の比に同じ比）
  による。
• 　正方(_ＦＧ)：正方(_ＧＨ)≠平方数：平方数
  となっている。

したがって
　ＦＧは
　　ＧＨと長さにおいて通約
　　　できない。

• 　前節、
  　命題１０ー９（長さで通約と正方形・平方数の比）
  による。
• 　ＦＧ¬∩ＧＨ
  となっている。

そして
　両方とも
　　有理線分
　　　である。

• 　（２）、 （３）による。
• 　ＦＧ、ＧＨ；有理線分
  となっている。

それゆえ
　ＦＧ,ＧＨは
　　平方においてのみ通約
　　　できる
　　有理線分
　　　である。

• 　前節、前々節、
  　定義の補足（命題１０ー１９助）(平方においてのみ通約)
  による。
• 　ＦＧ∩^^2 ＧＨ
  となっている。

したがって
　ＦＨは
　　余線分
　　　である。

• 　前節、
  　定義の補足(命題１０ー７３)(余線分)
  による。
• 　ＦＨ；余線分
  となっている。

次に
　　第６の余線分
　　　でもあると主張する。

　Ｅが
　　ＢＣに対するように，
　Ａ上の正方形が
　　ＦＧ上の正方形に
　　　対し，
　ＢＣが
　　ＣＤに対するように，
　ＦＧ上の正方形が
　　ＧＨ上の正方形に
　　　対する

• 　（１）による。
• 　Ｅ：ＢＣ＝正方(_Ａ)：正方(_ＦＧ)、
  　ＢＣ：ＣＤ＝正方(_ＦＧ)：正方(_ＧＨ)
  となっている。

から，
　　等間隔比により
　Ｅが
　　ＣＤに対するように，
　Ａ上の正方形が
　　ＧＨの正方形に
　　　対する。

• 　前節、
  　命題５ー２２（等間隔比と同じ比）
  による。
• 　Ｅ：ＣＤ＝正方(_Ａ)：正方(_ＧＨ)
  となっている。

ところが
　Ｅは
　　ＣＤに対し，
　平方数が
　　平方数に対する比を
　　　もたない。

• 　命題の設定による。
• 　Ｅ：ＣＤ≠平方数：平方数
  となっている。

したがって
　Ａ上の正方形は
　　ＧＨ上の正方形に対し，
　平方数が
　　平方数に対する比を
　　　もたない。

• 　前節、前々節、
  　命題５ー１１（同一の比に同じ比）
  による。
• 　正方(_Ａ)：正方(_ＧＨ)≠平方数：平方数
  となっている。

したがって
　Ａは
　　ＧＨと長さにおいて通約
　　　できない。

• 　前節、
  　命題１０ー９（長さで通約と正方形・平方数の比）
  による。
• 　Ａ¬∩ＧＨ
  となっている。

ゆえに
　ＦＧ,ＧＨのいずれも
　　有理線分Ａと長さにおいて通約
　　　できない。
　　　　　　　[......(７)]

• 　前節、 （４）による。
• 　ＦＧ、ＧＨ¬∩Ａ
  となっている。

そして
　　Ｋ上の正方形を
　　ＦＧ上の正方形とＧＨ上の正方形の差と
　　　せよ。
　　　　　　[......(６)]

• 　推論の設定である。
• 　正方(_Ｋ)＝正方(_ＦＧ)ー正方(_ＧＨ)
  となっている。

そうすれば
　ＢＣが
　　ＣＤに対するように，
　ＦＧ上の正方形が
　　ＧＨ上の正方形に
　　　対する

• 　（１）による。
• 　Ｅ：ＢＣ＝正方(_Ａ)：正方(_ＦＧ)、
  　ＢＣ：ＣＤ＝正方(_ＦＧ)：正方(_ＧＨ)
  となっている。

から，
　　反転比により
　ＣＢが
　　ＣＤに対するように，
　ＦＧ上の正方形が
　　Ｋ上の正方形に
　　　対する。

• 　前節、
  　命題５ー１９の系の補足２(比例ならば反転も比例)
  による。
• 　ＣＢ：ＣＤ＝正方(_ＦＧ)：正方(_Ｋ)
  となっている。

ところが
　ＣＢは
　　ＢＤに対し，
　平方数が
　　平方数に対する比を
　　　もたない。

• 　（５）による。
• 　ＣＢ：ＢＤ≠平方数：平方数
  となっている。

したがって
　ＦＧ上の正方形も
　　Ｋ上の正方形に対し，
　平方数が
　　平方数に対する比を
　　　もたない。

• 　前節、前々節、
  　命題５ー１１（同一の比に同じ比）
  による。
• 　正方(_ＦＧ)：正方(_Ｋ)≠平方数：平方数
  となっている。

それゆえ
　ＦＧは
　　Ｋと長さにおいて通約
　　　できない。

• 　前節、
  　命題１０ー９（長さで通約と正方形・平方数の比）
  による。
• 　ＦＧ¬∩Ｋ
  となっている。

そして
　ＦＧ上の正方形は
　　ＧＨ上の正方形より
　　Ｋ上の正方形だけ
　　　大きい。

• 　 　（６）による。
• 　正方(_ＦＧ)＝正方(_ＧＨ)＋正方(_Ｋ)
  となっている。

したがって
　ＦＧ上の正方形は
　　ＧＨ上の正方形より
　　ＦＧと長さにおいて通約
　　　できない
　　線分上の正方形だけ
　　　大きい。

• 　前節、前々節による。
• 　正方(_ＦＧ)＝正方(_ＧＨ)＋正方(_Ｋ)
  　Ｋ¬∩ＦＧ
  となっている。 　

そして
　ＦＧ，ＧＨのいずれも
　　定められた有理線分Ａと通約
　　　できない。

• 　（７）による。
• 　ＦＧ、ＧＨ¬∩Ａ
  となっている。

したがって
　ＦＨは
　　第６の余線分
　　　である。

• 　前節、前々節、
  　定義１０�Vー６（第６の余線分）
  による。
• 　ＦＨ；第６の余線分
  となっている。

よって
　第６の余線分ＦＨが
　　　見いだされた。
これが証明すべきことであった。

• 命題１０ー９０は、
  　命題の補足２（定義１０ー３）(作図.任意の有理線分)、
  により、
  　有理線分Ａを
  　　　とり、
  　命題の補足（定義７ー２）(作図.数ｎ)
  により、
  　ＣＤをとり、
  　ＣＤの素因数の一つを
  　　ＣＤを合成せず、
  　　その素因数より大きい２つの素因数に
  　　　入れ替えた
  　　数をそれぞれＥ、ＢＣとすると、
  　Ａ；有理線分
  　Ｅ：ＢＣ≠平方数：平方数
  　Ｅ：ＣＤ≠平方数：平方数
  　ＢＣ：ＣＤ≠平方数：平方数
  　ＢＣ：ＢＤ≠平方数：平方数
  となり、
  　命題１０ー６の系２（作図.平方で数：数となる線分）
  により、
  　Ｅ：ＢＣ＝正方(_Ａ)：正方(_ＦＧ)、
  　ＢＣ：ＣＤ＝正方(_ＦＧ)：正方(_ＧＨ)
  　正方(_Ｋ)＝正方(_ＦＧ)ー正方(_ＧＨ)
  とすると、
  　正方(_ＦＧ)＝正方(_ＧＨ)＋正方(_Ｋ)
  　Ｋ¬∩ＦＧ
  　ＦＧ、ＧＨ¬∩Ａ
  　ＦＧ、ＧＨ；有理線分
  となり、
  　ＦＨは
  　　第６の余線分
  のことである。
  
• 命題１０ー９０は推論用命題である。

  前提	作図・構成	推論
  定義		10-3補,10-4補,補(題10-19助),補(題10-73),10�V-6
  公準
  公理
  命題	補(義7-2),補2(義10-3),10-6系2	5-11,5-19系補2,5-22,7-1補2,10-6,10-9,10-87補
  その他

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