ユークリッド原論をどう読むか（９）
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ユークリッド原論
　
第６巻

□定義
＜相似＞
定義６ー１（相似）
　 相似な直線図形とは、
　角がそれぞれ等しく
　かつ
　等しい角をはさむ辺が比例する
　ものである。

• 円においては、
  　定義３ー１１ において、
  　相似な切片が定義されている。
• ここの比例を論じるために、
  　第５巻が準備されている。

定義６ー２（逆比例）
　 ２つの図形の［対応する２辺の］双方に
　前項と後項の比があるとき、
　２つの図形［の各辺］は逆比例する。

• 反比例ともいう。
• 一方の図形にＡ、Ｂの２辺があり、
  　他方にＣ、Ｄがあって、
  　Ａ：Ｃ＝Ｄ：Ｂ
  　となっているとき、
  　(ＡとＢ)と(ＣとＤ)とのことをいう。
  それぞれの比の前項、後項に
  　双方の辺が前後を変えてある。
  図形が三角形の場合、
  　一定の角をはさむ辺が逆比例（反比例）すれば、
  　面積が一定であり、
  　逆も成立する。
  命題６ー１５参照のこと。
• 　今日のような
  　比例定数を想定していないので、
  　上記のような表現となる。
  

定義６ー３（外中比）
　 線分は、
　不等な部分に分けられ、
　全体が大きい部分に対するように、
　大きい部分が小さい部分に対するとき、
　外中比に分けられたといわれる。

• いわゆる黄金比のことである。
• 外中比という用語は、
  　この巻がふさわしい。
  命題６ー３０が、
  　第６巻における比例を活用した
  　作図であるが、
  　面積を活用した
  　命題２ー１１の作図の方が
  　簡明である。
  比例について
  　外項の積と内項の積が等しい
  　という見方をすれば、
  　矩形の面積に関する命題となる。
  この観点からすれば、
  　第２巻に登場する。
  

定義６ー４（高さ）
　 すべての図形において
　高さとは
　頂点から底辺にひかれた垂線である。

• 底辺とは、
  　高さの基準であり、
  頂点とは、
  　底辺に対して、
  　高さを定める点であり、
  　角をなす２つの辺の交点である。
  （以下、定義６ー４の補足 （底辺・頂点）という。）
  原論では、
  底辺に対応するものとして、
  頂点という用語が
  　ここで初めて登場する。
  底辺の初出は、
  　命題１ー４（２辺挟角相等）
  「もし
  　二つの三角形が
  　２辺が２辺にそれぞれ等しく、
  　その等しい２辺に
  　はさまれる角が等しい
  ならば、
  　底辺は底辺に等しく、
  　三角形は三角形に等しく、
  　残りの２角は残りの２角に、
  　すなわち
  　等しい辺が対する角は
  　それぞれ等しい
  であろう。」
  

定義６ー５（合成・積）
　 比の大きさがかけあわされて
　ある比をつくるとき、
　この比は
　比から合成される
　といわれる。

• ［比の］積ともいう。
  ＡのＢに対する比と
  　ＣのＤに対する比との積
  　(Ｃ：Ｄ)×(Ａ：Ｂ)は、
  　命題６ー１２（作図.比例第４項）
  により
  　ＣがＤに対するように、
  　　Ｂに対するＥをもとめたとき、
  　ＡのＥに対する比(Ａ：Ｅ)
  のことである。
  すなわち、
  　(Ｃ：Ｄ)×(Ａ：Ｂ)
  　＝(Ｂ：Ｅ)×(Ａ：Ｂ)
  　＝Ａ：Ｅ
  命題６ー２３参照のこと。
• 定義５ー３ では、
  　量に関して大きさが語られる。
  　ここでは、
  　比に関して大きさが語られる。
• 　同じ比との合成・積は
  　同じ比である。
  (以下、公理の補足（定義６ー５）（同じ比の合成・積は同じ）という)
  なぜなら、
  　以下の通りである。
  　Ｃ：Ｄ＝Ｅ：Ｆ
  とする。
  
  　前節、
  　命題５ー９（同一比の量）
  により
  　Ｂ：Ｇ＝Ｃ：Ｄ
  となるＧと
  　Ｂ：Ｈ＝Ｅ：Ｆ
  となるＨについて
  　Ｇ＝Ｈ
  となる。
  
  　定義６ー５（合成・積）
  により、
  　Ｂ：Ｇ＝Ｃ：Ｄ
  となるＧについて
  　（Ｃ：Ｄ）×（Ａ：Ｂ）
  　＝（Ｂ：Ｇ）×（Ａ：Ｂ）
  　＝Ａ：Ｇ
  となり、
  　Ｂ：Ｈ＝Ｅ：Ｆ
  となるＨについて
  　（Ｅ：Ｆ）×（Ａ：Ｂ）
  　＝（Ｂ：Ｈ）×（Ａ：Ｂ）
  　＝Ａ：Ｈ
  となっている。
  
  　前節、前々節
  　命題５ー７（同一量の比）、
  命題５ー１１（同一の比に同じ比）
  により、
  　（Ｃ：Ｄ）×（Ａ：Ｂ）
  　＝（Ｅ：Ｆ）×（Ａ：Ｂ）
  となる。　
  　公理の補足２（定義６ー５）(比の合成・積は可換)
  により、
  　（Ａ：Ｂ）×（Ｃ：Ｄ）
  　＝（Ａ：Ｂ）×（Ｅ：Ｆ）
  ともなる。
  
• 　第１の比と第２の比の合成・積と、
  　第２の比と第１の比の合成・積は、
  　等しい。
  (以下、公理の補足２（定義６ー５） (比の合成・積は可換)という。)
  
  なぜなら、
  　以下の通りである。
  　定義６ー５（合成・積）
  により、
  　Ｂ：Ｏ＝Ｃ：Ｄ
  となるＯに対して
  　（Ｃ：Ｄ）×（Ａ：Ｂ）
  　＝Ａ：Ｏ、
  　Ｄ：Ｐ＝Ａ：Ｂ
  となるＰに対して
  　（Ａ：Ｂ）×（Ｃ：Ｄ）
  　＝Ｃ：Ｐ
  となっている。
  
  　第１の３つの量、Ａ、Ｂ、Ｏと
  　第２の３つの量、Ｃ、Ｄ、Ｐ
  において、
  　Ａ：Ｂ＝Ｄ：Ｐ、Ｂ：Ｏ＝Ｃ：Ｄ
  となっているから、
  　命題５ー２３（乱比例の等間隔比は同じ比）
  により、
  　Ａ：Ｏ＝Ｃ：Ｐ
  となっている。
  
  　前節と前々節
  　命題５ー７（同一量の比）、
  命題５ー１１（同一の比に同じ比）
  により、
  　（Ｃ：Ｄ）×（Ａ：Ｂ）
  　＝（Ａ：Ｂ）×（Ｃ：Ｄ）
  となる。
  
• 　大きい(小さい)比との
  　合成・積の方が大きい(小さい)。
  (以下、公理の補足３（定義６ー５） (大きい(小さい)比との合成・積の方が大(小さい))という。)
  
  なぜなら、
  　以下の通りである。
  　Ｃ：Ｄ＞Ｅ：Ｆ
  とすると、
  　命題５ー１０（比の大小と量の大小）
  により、
  　Ｂ：Ｏ＝Ｃ：Ｄ
  となるＯと、
  　Ｂ：Ｐ＝Ｅ：Ｆ
  となるＰとは、
  　Ｏ＜Ｐ
  となっている。
  
  　定義６ー５（合成・積）
  により、
  　Ｂ：Ｏ＝Ｃ：Ｄ
  となるＯに対して
  　（Ｃ：Ｄ）×（Ａ：Ｂ）
  　＝Ａ：Ｏ、
  　Ｂ：Ｐ＝Ｅ：Ｆ
  となるＰに対して
  　（Ｅ：Ｆ）×（Ａ：Ｂ）
  　＝Ａ：Ｐ
  となっている。
  
  　前節、前々節、
  　命題５ー８（量の大小と比の大小）
  により、
  　Ａ：Ｏ＞Ａ：Ｐ
  となり、
  　命題５ー１３の補足４（異なる比に同じ比は異なる）
  により、
  　（Ｃ：Ｄ）×（Ａ：Ｂ）
  　＞（Ｅ：Ｆ）×（Ａ：Ｂ）
  となる。
  
  　公理の補足２（定義６ー５） (比の合成・積は可換) により、 　（Ａ：Ｂ）×（Ｃ：Ｄ）
  　＞（Ａ：Ｂ）×（Ｅ：Ｆ）
  ともなる。
  
  　小さい比との
  　合成・積の方が小さい
  ことも同様である。
  

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