ユークリッド原論をどう読むか（１４）
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ユークリッド原論
第１０巻
命題１０ー３９（平方で非通約，平方和が有理面積，かこむ矩形が中項面積の２線分の和は優線分）
優線分
もし
平方において通約できず，
それらの上の正方形の和が有理面積で，
それらによってかこまれる矩形が
中項面積である２線分
が加えられるならば，
この線分全休は無理線分であり。
そして優線分とよぱれる。
- 平方において通約は、
定義１０ー２による。
- 正方形は、
定義１ー２２による。
- 有理面積は、
定義１０ー４の補足による。
- 矩形は、
定義１ー２２による。
- 中項面積は、
定義の補足２（命題１０ー２３）による。
- 線分は、
定義の補足（命題１ー１）による。
- 無理線分は、
定義１０ー４による。
-
優線分とは、
平方において通約できず，
それらの上の正方形の和が有理面積で，
それらによってかこまれる矩形が
中項面積である２線分
の和をいう。
(以下、定義の補足(命題１０ー３９)
(優線分)という。)
優線分上の正方形は、
面積が
有理面積（２分辺上の正方形の和）と
中項面積（矩形）
の和になっている
定義の補足(命題１０ー４０)にいう
中項と有理面積の和となる正方形の１辺は、
その上の正方形の面積が
中項面積（２分辺上の正方形の和）と
有理面積（矩形）
の和になっている
平方において通約できないで，
与えられた条件をみたす
２線分ＡＢ，ＢＣ
が加えられた
とせよ。
ＡＣは
無理線分である
と主張する。
-
命題１０ー３３（作図.２線分；平方で非通約、平方和が有理面積、矩形が中項面積）
による。
-
線分ＡＢ、ＢＣ；
ＡＢ¬∩^^2 ＢＣ
、正方(_ＡＢ)＋正方(_ＢＣ)；有理面積
、矩形(ＡＢ,ＢＣ)；中項面積
をとっている。
矩形ＡＢ，ＢＣは
中項面積である
-
命題の設定による。
-
矩形(ＡＢ,ＢＣ)；中項面積
となっている。
から，
矩形ＡＢ，ＢＣの２倍も
中項面積である。
-
命題１０ー２３の系 (中項面積と通約なら中項面積)
による。
-
２矩形(ＡＢ,ＢＣ)；中項面積
となっている。
ところが
ＡＢ，ＢＣ上の正方形の和は
有理面積である。
-
命題の設定による。
-
正方(_ＡＢ)＋正方(_ＢＣ)；有理面積
となっている。
したがって
矩形ＡＢ，ＢＣの２倍は
ＡＢ，ＢＣ上の正方形の和
と通約できない。
-
背理法の仮定として、
２矩形(ＡＢ,ＢＣ)∩正方(_ＡＢ)＋正方(_ＢＣ)
とすると、
命題１０ー２３の系 (中項面積と通約なら中項面積)
により
正方(_ＡＢ)＋正方(_ＢＣ)；中項面積
となり、矛盾する。
-
２矩形(ＡＢ,ＢＣ)¬∩正方(_ＡＢ)＋正方(_ＢＣ)
となっている。
したがって
ＡＢ，ＢＣ上の二つの正方形と
矩形ＡＢ，ＢＣの２倍との和，
すなわち
ＡＣ上の正方形は
ＡＢ，ＢＣ上の正方形の和
と通約できない。
-
命題１０ー１６（非通約量はその和・差とも非通約）
による。
-
正方(_ＡＢ)＋正方(_ＢＣ)¬∩２矩形(ＡＢ,ＢＣ)
＋正方(_ＡＢ)＋正方(_ＢＣ)
となっている。
したがって
ＡＣ上の正方形は
無理面積である。
-
定義１０ー４（面積の有理、無理、無理線分）
による。
-
正方(_ＡＣ)；無理面積
となっている。
よって
ＡＣも
無理線分であり，
-
定義１０ー４（面積の有理、無理、無理線分）
による。
-
ＡＣ；無理線分
となっている。
そして
優線分とよぱれる。
これか証明すべきことであった。
- 命題１０ー３９は、
命題１０ー３３により、
線分ＡＢ、ＢＣ；
ＡＢ¬∩^^2 ＢＣ
、正方(_ＡＢ)＋正方(_ＢＣ)；有理面積
、矩形(ＡＢ,ＢＣ)；中項面積
をとれば、
ＡＣ：ＡＢ＋ＢＣ；無理線分、優線分
のことである。
- 命題１０ー３９は推論用命題である。
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