ユークリッド原論をどう読むか（１４）
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ユークリッド原論

第１０巻
　
命題１０ー５６（有理線分と第３の二項線分の矩形に等しい正方形の辺は第２の双中項線分）
(双中項線分)
もし
　面積が
　　有理線分と第３の二項線分とによってかこまれる
ならば、
　その面積に等しい正方形の辺は
　　第２の双中項線分
　　とよばれる無理線分である。

• 面積は、
  定義１０ー２の補足２による。
• 有理線分は、
  定義１０ー３の補足による。
• 第３の二項線分は、
  定義１０�Uー３による。
• 等しいは、
  公理１ー７による。
• かこまれるは、
  定義２ー１による。
• 正方形は、
  定義１ー２２による。
• 辺は、
  定義１ー１９の補足による。
• 第２の双中項線分は、
  定義の補足(命題１０ー３７)による。
• 無理線分は、
  定義１０ー４による。

　面積ＡＢＣＤが
　　有理線分ＡＢと
　　第３の二項線分ＡＤ
　　とによってかこまれ、
　ＡＤは
　　Ｅでその項に分けられ、
　　ＡＥが
　　　大きい項である
とせよ。
　面積ＡＣに等しい正方形の辺は
　　第２の双中項線分
　　とよぱれる無理線分である
と主張する。

• 　命題の補足２（定義１０ー３）(作図.任意の有理線分)
  　命題１０ー５０（作図.第３の二項線分）
  　命題２ー１の補足（作図.矩形）
  による。
  
• 　ＡＢ：指定された有理線分
  　ＡＤ：第３の二項線分
  　矩形ＡＣ：矩形(ＡＢ,ＡＤ)
  となっている。
  

　前と同じ作図がなされた
とせよ。
そうすれば
　ＡＤは
　　第３の二項線分である
から、
　ＡＥ、ＥＤは
　　平方においてのみ通約できる有理線分であり、
　ＡＥ上の正方形は
　　ＥＤ上の正方形よりも
　　ＡＥと通約できる線分上の正方形だけ大きく、
　ＡＥ、ＥＤのいずれも
　　ＡＢと長さにおいて通約できない。

• 　命題１０ー４２（二項線分の分割は１通り）
  　定義１０�Uー３（第３の二項線分）
  により、
  　Ｅ(ＡＤ;ＡＥ、ＥＤ；有理線分、ＡＥ∩^^2ＥＤ、
  　　正方(_ＡＥ)＝正方(_ＥＤ)＋正方(_Ｔ)、
  　　ＡＥ∩Ｔ、（ＡＥ、ＥＤ）¬∩ＡＢ)
  をとり、
  　命題１ー１０（作図・線分の２等分）
  により、
  　中点Ｆ(ＥＤ)
  をとり、
  　定義１０�Uー３（第３の二項線分）、
  　命題１０ー１７の補足 、
  　命題１０ー１７（上の正方形の差が大と通約線分上の正方形⇔小の半分上の正方形に等しい大の矩形分割（コ）の辺は通約）
  により、
  　点Ｇ(ＡＥ;ＡＧ×ＧＥ＝ＥＦ^2、
  　　　ＡＧ∩ＧＥ)
  　正方(_ＡＥ)＝正方(_ＥＤ)＋正方(_ＡＧーＧＥ)
  をとり、
  　命題１ー３１（作図・平行線）
  により、
  　ＧＨ‖ＥＫ‖ＦＬ‖ＡＢ‖ＣＤ
  をとり、
  　命題２ー１４（作図.直線図形に等しい正方形）
  により、
  　正方(ＳＮ)＝矩形(ＡＨ)、
  　正方(ＮＰ)＝矩形(ＧＫ)、
  　点Ｑ；延長ＭＮ
  をとり、
  　命題１ー１３（直線と２直角１）
  　定義１ー２２（正方形・矩形・菱形・長斜方形・トラペジオン）
  　命題１ー１４（直線と２直角２）
  により、
  　点Ｒ；延長ＯＮ
  となり、
  　コメント２（命題６ー１４）
  による。
  
• 　ＡＢ；定められた有理線分、
  　Ｅ(ＡＤ;ＡＥ、ＥＤ；有理線分、ＡＥ∩^^2ＥＤ、
  　　正方(_ＡＥ)＝正方(_ＥＤ)＋正方(_Ｔ)、
  　　ＡＥ∩Ｔ、（ＡＥ、ＥＤ）¬∩ＡＢ)
  　中点Ｆ(ＥＤ)
  　点Ｇ(ＡＥ;ＡＧ×ＧＥ＝ＥＦ^2、
  　　　ＡＧ∩ＧＥ)
  　　正方(_ＡＥ)＝正方(_ＥＤ)＋正方(_ＡＧーＧＥ)
  　（ＡＧ、ＧＥ）∩ＡＥ¬∩ＡＢ
  　ＡＧ∩ＡＥ¬∩ＥＤ∩ＥＦ
  　矩形ＡＨ¬∩矩形ＥＬ
  　ＧＨ‖ＥＫ‖ＦＬ‖ＡＢ‖ＣＤ
  　正方(ＳＮ)＝矩形(ＡＨ)、
  　正方(ＮＰ)＝矩形(ＧＫ)、
  　点Ｑ；延長ＭＮ
  　点Ｒ；延長ＯＮ
  　平行四辺形ＳＰ；完結
  となっている。
  　　　　　　[......(１)]
  

そこで
先の証明と同様にして、
　ＭＱが
　　面積ＡＣに等しい正方形の辺であり、
　ＭＮ、ＮＱが
　　平方においてのみ通約できる中項線分である
ことを証明しうる。

• 　命題１０ー５４助（作図.２正方形の完結と比例中項）
  により、
  　矩形(ＭＲ)；比例中項(ＳＮ,ＮＰ)
  となり、
  　命題６ー１７の補足２(等しいものの比例中項は等しい)
  により、
  　矩形(ＥＬ)＝矩形(ＭＲ)
  となり、
  　命題１−４３（平行四辺形の補形）
  により、
  　矩形(ＭＲ)＝矩形(ＯＱ)
  となり、
  　公理１ー２（等しいものに等しいものを加える）
  により、
  　正方(ＳＮ)+正方(ＮＰ)＋矩形(ＭＲ)＋矩形(ＯＱ)
  　　＝矩形(ＡＨ)＋矩形(ＧＫ)＋矩形(ＥＬ)＋矩形(ＦＣ)
  となり、
  　命題２ー４（２分線分上の正方形）
  により、
  　左辺＝正方(ＭＱ)、
  　命題２ー１（任意個分割との矩形）
  により、
  　右辺＝矩形(ＡＣ)
  となることによる。
• 　命題１０ー２１（平方のみ通約可の有理線分の矩形と無理面積・無理線分）
  により、
  　矩形ＡＨ(ＡＧ,ＡＢ)、矩形ＧＫ(ＧＨ,ＡＢ)；中項面積
  　正方(ＳＮ)、正方(ＮＰ)；中項面積
  となり、
  　定義の補足（命題１０ー２１）（中項線分）
  により、
  　ＭＮ、ＮＱ；中項線分
  となっている。
• 　命題１０ー１８（上の正方形の差が大と非通約線分上の正方形⇔小の半分上の正方形に等しい大の矩形分割（コ）の辺は非通約）
  により、
  　矩形ＥＬ；矩形ＡＨ、ＧＫの比例中項、
  となり、
  また、
  　矩形ＭＲ；正方(_ＭＮ)、正方(_ＮＱ)の比例中項
  となり、
  　正方(_ＭＮ)＝矩形ＡＨ、
  　正方(_ＮＱ)＝矩形ＧＫ
  だから、
  　矩形ＭＲ＝矩形ＥＬ
  となる。
  一方、
  　ＡＧ¬∩ＥＦ
  により、
  　矩形ＥＬ¬∩矩形ＡＨ
  となるので、
  　矩形ＭＲ¬∩正方(_ＭＮ)
  となり、
  　ＭＮ¬∩ＮＱ、
  　ＭＮ∩^^2 ＮＱ
  となる。
  
• 　正方(ＭＱ)＝矩形(ＡＣ)
  　矩形(ＡＨ)∩矩形(ＧＫ)；中項面積
  　正方(ＳＮ)、正方(ＮＰ)；中項面積
  　ＭＮ、ＮＱ；中項線分
  　ＭＮ∩^^2 ＮＱ
  となっている

したがって
　ＭＱは双中項線分である。
　　　　　　[......(２)]

• 　前節による。
  　単なる「双中項線分」という定義はこれまでない。
  　通約でない２つの中項線分の
  　和となる線分を
  　双中項線分という。
  　２つの線分によってかこまれる矩形が
  　有理面積なら、 第１の双中項線分、
  　中項面積なら、 第２の双中項線分
  となる。　
  (以下、定義の補足（命題１０ー５６） (双中項線分)という。)
  
• 　ＭＱ；双中項線分
  となっている。

次に
　第２の双中項線分である
ことも証明しなければならない。
　ＤＥは
　　ＡＢ、すなわちＥＫと長さにおいて通約できず、

• 　命題の設定による。
• 　ＤＥ¬∩（ＡＢ、ＥＫ）
  となっている。

　ＤＥは
　　ＥＦと通約できる

• 　（１）による。　
• 　ＤＥ∩ＥＦ
  となっている。

から、
　ＥＦは
　　ＥＫと長さにおいて通約できない。

• 　前節、前々節、
  　命題１０ー１３（通約量と非通約なら非通約）
  による。
• 　ＥＦ¬∩ＥＫ
  となっている。

そして
　それらは
　　有理線分である。

• 　（１）による。
• 　ＥＦ、ＥＫ；有理線分
  となっている。

したがって
　ＦＥ、ＥＫは
　　平方においてのみ通約できる有理線分である。

• 　前節、前々節、
  　定義の補足（命題１０ー１９助）(平方においてのみ通約)
  による。
• 　ＦＥ∩^^2 ＥＫ
  となっている。

ゆえに
　ＥＬ、すなわちＭＲは
　　中項面積である。

• 　前節、
  　命題１０ー２１（平方のみ通約可の有理線分の矩形と無理面積・無理線分）
  による。
• 　ＥＬ＝ＭＲ；中項面積
  となっている。

そして
　ＭＮＱによってかこまれる。

• 　定義２ー１（かこまれる）
  による。
• 　矩形ＭＲ；矩形(ＭＮ、ＮＱ)
  となっている。

したがって
　矩形ＭＮＱは
　　中項面積である。

• 　前節、前々節による。
• 　矩形(ＭＮ、ＮＱ)；中項面積
  となっている。

よって
　ＭＱは
　　第２の双中項線分である。

• 　前節、
  （２）、
  　定義の補足(命題１０ー３８) (第２双中項線分)
  による。
  
• 　ＭＱ；第２の双中項線分
  となっている。

これが証明すべきことであった。

• 命題１０ー５６は、
  　ＡＢ：指定された有理線分
  　ＡＤ：第３の二項線分
  　矩形ＡＣ：矩形(ＡＢ,ＡＤ)
  　Ｅ(ＡＤ;ＡＥ、ＥＤ；有理線分、ＡＥ∩^^2ＥＤ、
  　　正方(_ＡＥ)＝正方(_ＥＤ)＋正方(_Ｔ)、
  　　ＡＥ∩Ｔ、（ＡＥ、ＥＤ）¬∩ＡＢ)
  　中点Ｆ(ＥＤ)
  　点Ｇ(ＡＥ;ＡＧ×ＧＥ＝ＥＦ^2、
  　　　ＡＧ∩ＧＥ)
  をとれば、
  　正方(_ＡＥ)＝正方(_ＥＤ)＋正方(_ＡＧーＧＥ)
  となり、
  　ＧＨ‖ＥＫ‖ＦＬ‖ＡＢ‖ＣＤ
  　正方(ＳＮ)＝矩形(ＡＨ)、
  　正方(ＮＰ)＝矩形(ＧＫ)、
  　点Ｑ；延長ＭＮ
  とすれば、
  　矩形(ＭＲ)；比例中項(ＳＮ,ＮＰ)
  　矩形(ＥＬ)＝矩形(ＭＲ)
  　正方(ＭＱ)＝矩形(ＡＣ)
  となり、
  　ＭＱ第２の双中項線分
  のことである。
  
• 命題１０ー５６は推論用命題である。

  前提	作図・構成	推論
  定義		1-22,2-1,補(題10-19助),補(題10-21),補(題10-38),10�U-3
  公準
  公理		1-2
  命題	1-10,1-31,2-1補,2-14,補2(義10-3),10-17補,10-50,10-54助	1-13,1-14,1-43,2-1,2-4,6-17補2,10-13,10-17,10-18,10-21,10-42
  その他	コ2(題6-14)

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