ユークリッド原論をどう読むか(14)
頁末
前
次
目次
ユークリッド原論
第10巻
命題10ー51
(作図.第4の二項線分)
第4の二項線分
を見いだすこと。
第4の二項線分は、
定義10Uー4
による。
二つの
数
AC、CBが定められ、
ABが
BCに対してもACに対しても、
平方数
が
平方数
に対する
比
をもたない
ようにせよ。
「数(について)・・・とせよ」は、
コメント4(命題7ー1)
参照のこと。
例えば、
AC、BC、ABを互いに素な数
とすれば、
命題10ー50の補足
(互いに素な2数は平方数の比でない)
による。
AB:BC≠平方数:平方数
AB:AC≠平方数:平方数
となっている。
有理線分
Dが定められ、
命題の補足2(定義10ー3) (作図.任意の有理線分) による。
D;有理線分
となっている。
EFが
Dと
長さにおいて通約
できる
とせよ。
[......(5)]
命題10ー6の系3
(作図.長さ・平方で通約可の線分)
による。
EF∩D
となっている。
そうすれぱ
EFも
有理線分
である。
[......(1)]
定義10ー2の補足
(長さにおいて通約)
による。
EF;有理線分
となっている。
そして
数
BAが
ACに
対するように
、
EF上の
正方形
が
FG上の
正方形
に
対する
ようにされた
とせよ。
[......(3)]
命題6ー12
(作図.比例第4項)
により、
G'(延長EF;BA:AC=EF:FG')
をとり、
命題6ー8の系
(直角三角形の垂線は比例中項)
により、
G(延長EF;EF:FG=FG:FG')
をとる。
BA:AC=正方(_EF):正方(_FG)
となっている。
そうすれば
EF上の
正方形
は
FG上の
正方形
と
通約
できる。
命題10ー6
(量が数:数なら通約可)
による。
正方(_EF)∩正方(_FG)
となっている。
それゆえ
FGも
有理線分
である。
[......(2)]
(1)
、前節、
定義10ー3の補足
(有理線分)
による。
FG;有理線分
となっている。
そして
BAは
ACに対し、
平方数
が
平方数
に対する
比
をもたず、
命題の設定
による。
BA:AC≠平方数:平方数
となっている。
EF上の
正方形
は
FG上の
正方形
に対し、
平方数
が
平方数
に対する
比
をもたない
前節、前々節、
命題5ー13の補足4
(異なる比に同じ比は異なる)
による。
正方(_EF):正方(_FG)≠平方数:平方数
となっている。
から、
EFは
FGと
長さにおいて通約
できない。
前節、
命題10ー9
(長さで通約と正方形・平方数の比)
による。
EF¬∩FG
となっている。
それゆえ
EF、FGは
平方においてのみ通約
できる
有理線分
である。
[......(4)]
(1)
(2)
前節による。
EF、FG;有理線分、
EF∩^^2 FG
となっている。
したがって
EGは
二項線分
である。
前節、
定義の補足(命題10ー36)
(二項線分)
による。
EG;二項線分
となっている。
次に
第4のニ項線分
でもある
と主張する。
BAが
ACに
対するように
、
EF上の
正方形
が
FG上の
正方形
に対する
(3)
による。
BA:AC=正方(_EF):正方(_FG)
となっている。
から、
EF上の
正方形
は
FG上の
正方形
より
大き
い。
前節、
定義5ー5
(同じ比)
による。
EF>FG
となっている。
そこで
FG、H上の
正方形
の和が
EF上の
正方形
に
等し
い
とせよ。
[......(3)]
命題1ー3
(作図・等しい線分を切り取る)
により、
点L(EF;FL=FG)、
をとると、
命題2ー5
(線分の矩形分割)
により、
正方(_EF)=正方(_FG)+矩形(EG,EL)
となり、
命題6ー17の補足
(作図.線分上に矩形と等しい正方形)
により、
線分H(;正方(_H)=矩形(EG,EL))
をとる。
正方(_EF)=正方(_FG)+正方(_H)
となっている。
そうすれば
反転比
により
数
ABが
BCに
対するように
、
EF上の
正方形
が
H上の
正方形
に対する。
前節、
命題5ー19の系の補足2
(比例ならば反転も比例)と
による。
AB:BC=正方(_EF):正方(_H)
となっている。
ところが
ABは
BCに対し、
平方数
が
平方数
に対する
比
をもたない。
命題の設定
である。
AB:BC≠平方数:平方数
となっている。
したがって
EF上の
正方形
も
H上の
正方形
に対し、
平方数
が
平方数
に対する
比
をもたない。
前節、前々節、
命題5ー13の補足4
(異なる比に同じ比は異なる)
による。
正方(_EF):正方(_H)≠平方数:平方数
となっている。
ゆえに
EFは
Hと
長さにおいて通約
できない。
前節、
命題10ー9
(長さで通約と正方形・平方数の比)
による。
EF¬∩H
となっている。
したがって
EF上の
正方形
は
GF上の
正方形
より
EFと
通約
できない線分上の
正方形
だけ
大き
い。
(3)
、前節 による。
正方(_EF)=正方(_GF)+正方(_H)
EF¬∩H
となっている。
そして
EF、FGは
平方においてのみ通約
できる
有理線分
であり、
(4)
による。
EF∩^^2 FG、
EF、FG;有理線分線分
となっている。
EFは
Dと
長さにおいて通約
《できない》[できる]。
共立版の日本語訳の《できない》は
明らかな誤植である。
(5)
による。
EF∩D
となっている。
よって
EGは
第4のニ項線分
である。
前節、前々節、
定義10Uー4
(第4の二項線分)
による。
EG:第4のニ項線分
となっている。
これが証明すべきことであった。
命題10ー51
は、
互いに素な数AC、BC、AB、
D;有理線分、
EF∩D、
点G((延長EF
;BA:AC=正方(_EF):正方(_FG))
をとれば、
EG;第4の二項線分
のことである。
命題10ー51
は推論用命題である。
前提
作図・構成
推論
定義
5-5
,
10-2補
,
10-3補
,
10II-4
公準
公理
命題
1-3
,
6-12
,
6-17補
,
10-6系3
2-5
,
5-13補4
,
5-19系補2
,
6-8系
,
10-6
,
10-9
,
10-50補
その他
コ4(題7-1)
前
次
目次
頁頭