ユークリッド原論をどう読むか(14)
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ユークリッド原論

第10巻
 
命題10ー51(作図.第4の二項線分)
 第4の二項線分を見いだすこと。



 二つのAC、CBが定められ、
 ABが
  BCに対してもACに対しても、
  平方数平方数に対するをもたない
ようにせよ。

 有理線分Dが定められ、

 EFが
  Dと長さにおいて通約できる
とせよ。
     [......(5)]

そうすれぱ
 EFも有理線分である。
       [......(1)]

そして
 BAが
  ACに対するように
 EF上の正方形
  FG上の正方形対するようにされた
とせよ。
      [......(3)]


そうすれば
 EF上の正方形
  FG上の正方形通約できる。

それゆえ
 FGも有理線分である。
      [......(2)]

そして
 BAは
  ACに対し、
  平方数平方数に対するをもたず、

 EF上の正方形
  FG上の正方形に対し、
  平方数平方数に対するをもたない

から、
 EFは
  FGと長さにおいて通約できない。

それゆえ
 EF、FGは
  平方においてのみ通約できる
  有理線分である。
      [......(4)]

したがって
 EGは
  二項線分である。

次に
 第4のニ項線分でもある
と主張する。
 BAが
  ACに対するように
 EF上の正方形
  FG上の正方形に対する

から、
 EF上の正方形
  FG上の正方形より大きい。

そこで
 FG、H上の正方形の和が
  EF上の正方形等し
とせよ。
      [......(3)]

そうすれば
 反転比により
 ABが
  BCに対するように
 EF上の正方形
  H上の正方形に対する。

ところが
 ABは
  BCに対し、
  平方数平方数に対するをもたない。

したがって
 EF上の正方形
  H上の正方形に対し、
  平方数平方数に対するをもたない。

ゆえに
 EFは
  Hと長さにおいて通約できない。

したがって
 EF上の正方形
  GF上の正方形より
  EFと通約できない線分上の正方形だけ大きい。

そして
 EF、FGは
  平方においてのみ通約できる
  有理線分であり、

 EFは
  Dと長さにおいて通約《できない》[できる]。

よって
 EGは
  第4のニ項線分である。

これが証明すべきことであった。
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