ユークリッド原論をどう読むか（１４）
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ユークリッド原論

第１０巻
　
命題１０ー５１（作図.第４の二項線分）
　第４の二項線分を見いだすこと。

• 第４の二項線分は、
  定義１０�Uー４による。

　二つの数ＡＣ、ＣＢが定められ、
　ＡＢが
　　ＢＣに対してもＡＣに対しても、
　　平方数が平方数に対する比をもたない
ようにせよ。

• 　「数（について）・・・とせよ」は、
  　コメント４（命題７ー１）参照のこと。
• 　例えば、
  　ＡＣ、ＢＣ、ＡＢを互いに素な数
  とすれば、
  　命題１０ー５０の補足(互いに素な２数は平方数の比でない)
  による。
• 　ＡＢ：ＢＣ≠平方数：平方数
  　ＡＢ：ＡＣ≠平方数：平方数
  となっている。

　有理線分Ｄが定められ、

• 　命題の補足２（定義１０ー３） (作図.任意の有理線分) による。
• 　Ｄ；有理線分
  となっている。

　ＥＦが
　　Ｄと長さにおいて通約できる
とせよ。
　　　　　[......(５)]

• 　命題１０ー６の系３（作図.長さ・平方で通約可の線分)
  による。
• 　ＥＦ∩Ｄ
  となっている。

そうすれぱ
　ＥＦも有理線分である。
　　　　　　　[......(１)]

• 　定義１０ー２の補足 （長さにおいて通約）
  による。
• 　ＥＦ；有理線分
  となっている。

そして
　数ＢＡが
　　ＡＣに対するように、
　ＥＦ上の正方形が
　　ＦＧ上の正方形に対するようにされた
とせよ。
　　　　　　[......(３)]

• 　命題６ー１２（作図.比例第４項）
  により、
  　Ｇ'(延長ＥＦ;ＢＡ：ＡＣ＝ＥＦ：ＦＧ')
  をとり、
  　命題６ー８の系（直角三角形の垂線は比例中項）
  により、
  　Ｇ(延長ＥＦ;ＥＦ：ＦＧ＝ＦＧ：ＦＧ')
  をとる。　
• 　ＢＡ：ＡＣ＝正方(_ＥＦ)：正方(_ＦＧ)
  となっている。

そうすれば
　ＥＦ上の正方形は
　　ＦＧ上の正方形と通約できる。

• 　命題１０ー６（量が数：数なら通約可）
  による。
• 　正方(_ＥＦ)∩正方(_ＦＧ)
  となっている。

それゆえ
　ＦＧも有理線分である。
　　　　　　[......(２)]

• 　（１）、前節、
  　定義１０ー３の補足 （有理線分）
  による。
• 　ＦＧ；有理線分
  となっている。

そして
　ＢＡは
　　ＡＣに対し、
　　平方数が平方数に対する比をもたず、

• 　命題の設定による。
• 　ＢＡ：ＡＣ≠平方数：平方数
  となっている。

　ＥＦ上の正方形は
　　ＦＧ上の正方形に対し、
　　平方数が平方数に対する比をもたない

• 　前節、前々節、
  　命題５ー１３の補足４（異なる比に同じ比は異なる）
  による。
• 　正方(_ＥＦ)：正方(_ＦＧ)≠平方数：平方数
  となっている。

から、
　ＥＦは
　　ＦＧと長さにおいて通約できない。

• 　前節、
  　命題１０ー９（長さで通約と正方形・平方数の比）
  による。
• 　ＥＦ¬∩ＦＧ
  となっている。

それゆえ
　ＥＦ、ＦＧは
　　平方においてのみ通約できる
　　有理線分である。
　　　　　　[......(４)]

• 　（１） （２）前節による。
• 　ＥＦ、ＦＧ；有理線分、
  　ＥＦ∩^^2 ＦＧ
  となっている。

したがって
　ＥＧは
　　二項線分である。

• 　前節、
  　定義の補足（命題１０ー３６）(二項線分)
  による。
• 　ＥＧ；二項線分
  となっている。

次に
　第４のニ項線分でもある
と主張する。
　ＢＡが
　　ＡＣに対するように、
　ＥＦ上の正方形が
　　ＦＧ上の正方形に対する

• 　（３）による。
• 　ＢＡ：ＡＣ＝正方(_ＥＦ)：正方(_ＦＧ)
  となっている。

から、
　ＥＦ上の正方形は
　　ＦＧ上の正方形より大きい。

• 　前節、
  　定義５ー５（同じ比）
  による。
• 　ＥＦ＞ＦＧ
  となっている。

そこで
　ＦＧ、Ｈ上の正方形の和が
　　ＥＦ上の正方形に等しい
とせよ。
　　　　　　[......(３)]

• 　命題１ー３（作図・等しい線分を切り取る）　
  により、
  　点Ｌ(ＥＦ;ＦＬ＝ＦＧ)、
  をとると、
  　命題２ー５（線分の矩形分割）
  により、
  　正方(_ＥＦ)＝正方(_ＦＧ)＋矩形(ＥＧ,ＥＬ)
  となり、
  　命題６ー１７の補足(作図.線分上に矩形と等しい正方形)
  により、
  　線分Ｈ(;正方(_Ｈ)＝矩形(ＥＧ,ＥＬ))
  をとる。
  
• 　正方(_ＥＦ)＝正方(_ＦＧ)＋正方(_Ｈ)
  となっている。

そうすれば
　反転比により
　数ＡＢが
　　ＢＣに対するように、
　ＥＦ上の正方形が
　　Ｈ上の正方形に対する。

• 　前節、
  　命題５ー１９の系の補足２(比例ならば反転も比例)と
  による。
• 　ＡＢ：ＢＣ＝正方(_ＥＦ)：正方(_Ｈ)
  となっている。

ところが
　ＡＢは
　　ＢＣに対し、
　　平方数が平方数に対する比をもたない。

• 　命題の設定である。
• 　ＡＢ：ＢＣ≠平方数：平方数
  となっている。

したがって
　ＥＦ上の正方形も
　　Ｈ上の正方形に対し、
　　平方数が平方数に対する比をもたない。

• 　前節、前々節、
  　命題５ー１３の補足４（異なる比に同じ比は異なる）
  による。
• 　正方(_ＥＦ)：正方(_Ｈ)≠平方数：平方数
  となっている。

ゆえに
　ＥＦは
　　Ｈと長さにおいて通約できない。

• 　前節、
  　命題１０ー９（長さで通約と正方形・平方数の比）
  による。
• 　ＥＦ¬∩Ｈ
  となっている。

したがって
　ＥＦ上の正方形は
　　ＧＦ上の正方形より
　　ＥＦと通約できない線分上の正方形だけ大きい。

• 　（３）、前節 による。
• 　正方(_ＥＦ)＝正方(_ＧＦ)＋正方(_Ｈ)
  　ＥＦ¬∩Ｈ
  となっている。

そして
　ＥＦ、ＦＧは
　　平方においてのみ通約できる
　　有理線分であり、

• 　（４）による。
• 　ＥＦ∩^^2 ＦＧ、
  　ＥＦ、ＦＧ；有理線分線分
  となっている。

　ＥＦは
　　Ｄと長さにおいて通約《できない》［できる］。

• 　共立版の日本語訳の《できない》は
  明らかな誤植である。
  
• 　（５）による。
• 　ＥＦ∩Ｄ
  となっている。

よって
　ＥＧは
　　第４のニ項線分である。

• 　前節、前々節、
  　定義１０�Uー４（第４の二項線分）
  による。
• 　ＥＧ：第４のニ項線分
  となっている。

これが証明すべきことであった。

• 命題１０ー５１は、
  　互いに素な数ＡＣ、ＢＣ、ＡＢ、
  　Ｄ；有理線分、
  　ＥＦ∩Ｄ、
  　点Ｇ((延長ＥＦ
  　　;ＢＡ：ＡＣ＝正方(_ＥＦ)：正方(_ＦＧ))
  をとれば、
  　ＥＧ；第４の二項線分
  のことである。
• 命題１０ー５１は推論用命題である。

  前提	作図・構成	推論
  定義		5-5,10-2補,10-3補,10II-4
  公準
  公理
  命題	1-3,6-12,6-17補,10-6系3	2-5,5-13補4,5-19系補2,6-8系,10-6,10-9,10-50補
  その他	コ4(題7-1)

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