ユークリッド原論をどう読むか（１４）
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ユークリッド原論

第１０巻
　
命題１０ー３８（平方でのみ通約、中項面積を囲む中項線分の和は第２双中項線分）
第２の双中項線分
(有理線分と無理線分による矩形は無理面積)
もし
　平方においてのみ通約でき，
　　中項面積をかこむ
　　二つの中項線分が加えられる
ならぱ，
　全体は
　　無理線分であり，
　そして
　第２の双中項線分
とよばれる。

• 平方においてのみ通約は、
  定義の補足（命題１０ー１９助）による。
• 中項面積は、
  定義の補足２（命題１０ー２３）による。
• 中項線分は、
  定義の補足（命題１０ー２１）による。
• 無理線分は、
  定義１０ー４による。
• 第２の双中項線分とは、
  　平方においてのみ通約でき，
  　　中項面積をかこむ
  　　二つの中項線分の和をいう
  (以下、定義の補足(命題１０ー３８) (第２双中項線分)という)
  

　平方においてのみ通約でき，
　　中項面積をかこむ
　二つの中項線分ＡＢ，ＢＣが加えられた
とせよ。
　ＡＣは
　　無理線分である
と主張する。

• 　命題１０ー２８（作図.２中項線分;矩形が中項面積、平方でのみ通約） による。
• 　中項線分ＡＢ、ＢＣ；
  　　ＡＢ∩^^2 ＢＣ、
  　　矩形(ＡＢ,ＢＣ)；中項面積
  をとっている。

　有理線分ＤＥが定められ，
　　　　　　[......(３)]

• 　命題の補足２（定義１０ー３） (作図.任意の有理線分)
  による。
• 　有理線分ＤＥ
  をとっている。

　ＡＣ上の正方形に等しくて
　　ＤＧを幅とする
　　平行四辺形ＤＦがＤＥ上に描かれた
　　　　　　[......(１)]
とせよ。

• 　命題６ー１１（作図.比例第３項）
  により、
  　線分ＤＧ’；ＤＥ：ＡＣ＝ＡＣ：ＤＧ’
  をとり、
  　命題２ー１の補足（作図.矩形）
  により、
  　矩形(ＤＥ,ＤＧ)；ＤＧ＝ＤＧ’
  をとっている。
• 　矩形(ＤＥ,ＤＧ)；正方(_ＡＣ)
  となっている。

そうすれば
　ＡＣ上の正方形は
　　ＡＢ，ＢＣ上の二つの正方形と
　　矩形ＡＢ，ＢＣの２倍
　　との和に等しい

• 　命題２ー４（２分線分上の正方形）　
  による。
  
• 　正方(_ＡＣ)
  　　＝正方(_ＡＢ)＋正方(_ＡＣ)＋２矩形(ＡＢ,ＢＣ)
  となっている。

から，
　ＡＢ，ＢＣ上の正方形の和に等しく
　　ＤＥにＥＨがつくられたとせよ。
　　　　　　[......(２)]

• 　命題１０ー１４助の系 （作図.２線分の正方形の和となる正方形の辺
  により、
  　線分ＸＹ；正方(_ＸＹ)＝正方(_ＡＢ)＋正方(_ＢＣ)
  をとり、
  　　命題６ー１１（作図.比例第３項）
  により、
  　線分ＥＨ；ＤＥ：ＸＹ＝ＸＹ：ＥＨ
  をとっている。
• 　矩形(ＤＥ)＝正方(_ＡＢ)＋正方(_ＢＣ)
  となっている。

そうすれば
　残りのＨＦは
　　矩形ＡＢ，ＢＣの２倍に等しい。

• 　公理１ー３（等しいものから等しいものをひく）
  による。
  
• 　矩形(ＨＦ)＝２矩形(ＡＢ,ＢＣ)
  となっている。

　そして
　ＡＢ，ＢＣの双方は
　　中項線分である

• 　命題の設定による。
• 　ＡＢ、ＢＣ；中項線分
  となっている。

から，
　ＡＢ，ＢＣ上の正方形の和も中項面積である。

• 　前節、
  　定義１０ー２（平方において通約）
  により、
  　正方(_ＡＢ)∩正方(_ＢＣ)；中項面積
  となり、
  　命題１０ー１５（通約量はその和・差とも通約）
  により、
  　正方(_ＡＢ)∩正方(_ＡＢ)＋正方(_ＢＣ)
  となり、
  　　　　　　[......(４)]
  　命題１０ー２３の系 (中項面積と通約なら中項面積)
  による。
• 　正方(_ＡＢ)＋正方(_ＢＣ)；中項面積
  となっている。

ところが
　矩形ＡＢ，ＢＣの２倍も中項面積であると仮定される。

• 　命題の設定による。
• 　２矩形(ＡＢ,ＢＣ)；中項面積
  となっている。

そして
　ＥＨは
　　ＡＢ，ＢＣ上の正方形の和に等しく，
　ＦＨは
　　矩形ＡＢ，ＢＣの２倍に等しい，
　　　　　[......(５)]

• 　（１） （２）による。
• 　矩形(ＥＨ)＝正方(_ＡＢ)＋正方(_ＢＣ)、
  　矩形(ＦＨ)＝２矩形(ＡＢ,ＢＣ)
  となっている。

したがって
　ＥＨ，ＨＦの双方は
　　中項面積である。

• 　命題１０ー２３の系 (中項面積と通約なら中項面積)
  による。
• 　矩形(ＥＨ)、矩形(ＨＦ)；中項面積
  となっている。

　そして
　有理線分ＤＥ上につくられている。

• 　（３）による。
• 　矩形(ＥＨ)＝矩形(ＤＥ,ＤＨ)、
  　矩形(ＨＦ)＝矩形(ＤＥ,ＨＧ)
  となっている。

したがって
　ＤＨ，ＨＧの双方は
　　有理線分であり，
　　ＤＥと長さにおいて通約できない。
　　　　　　[......(６)]

• 　命題１０ー２２（中項線分上正方形に等矩形で底辺有理線分なら幅は有理で非通約）
  による。
• 　有理線分ＤＨ¬∩有理線分ＤＥ
  　有理線分ＨＧ¬∩有理線分ＤＥ
  となっている。

そこで
　ＡＢは
　　ＢＣと長さにおいて通約できず，

• 　命題の設定による。
• 　ＡＢ¬∩ＢＣ
  となっている。

　ＡＢがＢＣに対するように，
　ＡＢ上の正方形は
　　矩形ＡＢ，ＢＣに対する

• 　命題１０ー２２助（２線分は一方の上の正方形と両者の矩形に比例）
  　による。
  
• 　ＡＢ：ＢＣ＝正方(_ＡＢ)：矩形(ＡＢ,ＢＣ)
  となっている。

から，
　ＡＢ上の正方形は
　　矩形ＡＢ，ＢＣと通約できない。

• 　前節、
  　命題１０ー１１（４量比例で一方が通約なら他方も通約）
  による。
• 　正方(_ＡＢ)¬∩矩形(ＡＢ,ＢＣ)
  となっている。

ところが
　ＡＢ，ＢＣ上の正方形の和は
　　ＡＢ上の正方形と通約でき，

• 　（４）による。
• 　正方(_ＡＢ)＋正方(_ＢＣ)∩正方(_ＡＢ)
  となっている。

　矩形ＡＢ，ＢＣの２倍は
　　矩形ＡＢ，ＢＣと通約できる。

• 　定義１０ー１（通約）
  による。
• 　２矩形(ＡＢ)∩矩形(ＡＢ)
  となっている。

したがって
　ＡＢ，ＢＣ上の正方形の和は
　　矩形ＡＢ，ＢＣの２倍と通約できない。

• 　前節、前々節、
  　命題１０ー１３（通約量と非通約なら非通約）
  による。
• 　正方(_ＡＢ)＋正方(_ＢＣ)¬∩２矩形(ＡＢ,ＢＣ)
  となっている。

ところが
　ＥＨは
　　ＡＢ，ＢＣ上の正方形の和に等しく，
　ＨＦは
　　矩形ＡＢ，ＢＣの２倍に等しい。

• 　（５）による。
• 　矩形(ＥＨ)＝正方(_ＡＢ)＋正方(_ＢＣ)、
  　矩形(ＦＨ)＝２矩形(ＡＢ,ＢＣ)
  となっている。

したがって
　ＥＨは
　　ＨＦと通約できない，

• 　前節、前々節、
  　命題１０ー１３（通約量と非通約なら非通約）
  による。
• 　矩形(ＥＨ)¬∩矩形(ＨＦ)
  となっている。

それゆえ
　ＤＨ，ＨＧは
　　平方においてのみ通約できる有理線分である。

• 　　（６） 、
  により、
  　有理線分であり、
  　前節、
  　定義１０ー３の補足 （有理線分）
  による。
• 　ＤＨ∩^^2 ＨＧ
  となっている。

したがって
　ＤＧは
　　無理線分である。

• 　前節、
  　命題１０ー３６（平方でのみ通約の有理線分の和は無理線分(二項線分)）
  による。
• 　ＤＧ；無理線分
  となっている。

ところが
　ＤＥは有理線分である。

• 　（３）による。
• 　ＤＥ；有理線分
  となっている。

　そして
　無理線分と有理線分によってかこまれる矩形は
　　無理面積である。

• 背理法の仮定として、
  　矩形が有理面積となる
  ならば、
  　前節により
  　ＤＥ；有理線分
  なので、
  　命題１０ー２０（有理線分上の有理面積の矩形幅は底辺と長さで通約）
  により、
  　ＤＧ；∩ＤＥ、有理線分
  となり、
  　前々節と矛盾する
  ので、
  背理法により
  　矩形(ＤＥ,ＤＧ)；無理面積
  となっている。
  　上記のことから、
  次のことがわかる。
  　有理線分と無理線分によってできる矩形は、
  　無理面積である。
  (命題１０ー３８の補足２(有理線分と無理線分による矩形は無理面積))
  　

したがって
　面積ＤＦは
　　無理面積であり，
　それと等しい正方形の辺は
　　無理線分である。

• 　前節、
  　定義１０ー４（面積の有理、無理、無理線分）
  による。
• 　矩形(ＤＦ)＝矩形(ＤＥ,ＤＧ)；無理面積、
  　辺.正方(_;＝矩形(ＤＦ))；無理線分
  となっている。

ところが
　ＡＣは
　　ＤＦと等しい正方形の辺である。

• 　（１）による。
  
• 　ＡＣ＝辺.正方(_;＝矩形(ＤＦ))
  

よって
　ＡＣは
　　無理線分であり，

• 　前節、前々節による。
  
• 　ＡＣ；無理線分
  となっている。

　そして
　第２の双中項線分とよばれる。

• 　定義の補足(命題１０ー３７)(第２双中項線分)
  による。
  

これが証明すベきことであった。

• 命題１０ー３８は、
  　命題１０ー２８
  により、
  　中項線分ＡＢ、ＢＣ；
  　　ＡＢ∩^^2 ＢＣ、
  　　矩形(ＡＢ,ＢＣ)；中項面積、
  とれば、
  　ＡＣ；無理線分、第２の双中項線分
  のことである。
  
• 命題１０ー３８の補足２(有理線分と無理線分による矩形は無理面積)

  前提	作図	推論
  定義
  公準
  公理
  命題		10-20
  その他		背理法

• 命題１０ー３８は推論用命題である。

  前提	作図・構成	推論
  定義		10-1,10-2,10-3補,10-4,補(題10-37)
  公準
  公理		1-3
  命題	2-1補,6-11,補2(義10-3),10-14助系,10-28	2-4,10-11,10-13,10-15,10-20,10-22,10-22助,10-23系,10-36
  その他

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