ユークリッド原論をどう読むか(14)
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ユークリッド原論
第10巻
命題10ー50
(作図.第3の二項線分)
(約数でない素数とは平方数の比でない)
第3の二項線分
を見いだすこと。
第3の二項線分は、
定義10Uー3
による。
二つの
数
AC、CBが定められ、
それらの和ABがBCに対し、
平方数
が
平方数
に対する
比
をもち、
ACに対し、
平方数
が
平方数
に対する
比
をもたない
とせよ。
「数(について)・・・とせよ」は、
コメント4(命題7ー1)
参照のこと。
命題10ー29助aの補足
(作図.差が平方数でない2平方数)
により、
AB、BC'をとり、
点C(AB;BC=BC')
をとっている。
AB:BC=平方数:平方数、
AB:AC≠平方数:平方数
となっている。
何らかの他の
平方数
でない
数
Dが定められ、
BA、ACの双方に対し、
平方数
が
平方数
に対する
比
をもたない
ようにせよ。
[......(2)]
例えば、
素数D;(互いに素)(AB、AC)
とするとよい。
なぜなら、
命題7ー21
(互いに素な数は同じ比の最小)
により、
D:AB(最小)
となり、
定義7ー12
(素数)
により
D;¬平方数
となるから。
どんな数も約数でない素数との比は、
平方数:平方数
とならない。
(以下。
命題10ー50の補足
(約数でない素数とは平方数の比でない)という。)
D≠平方数
D:BA≠平方数:平方数
D:AC≠平方数:平方数
となっている。
そして
ある
有理線分
Eが定められ
[......(1)]
命題の補足2(定義10ー3)
(作図.任意の有理線分)
による。
E;有理線分
となっている。
DがABに
対するように
、
E上の
正方形
がFG上の
正方形
に
対するように
された
とせよ。
[......(5')]
命題10ー10の補足
(作図.2線分;上の正方形が2線分の比)
により、
D:AB=正方(_D):正方(_E')
となるE'をとり、
命題6ー12
(作図.比例第4項)
により、
D:E'=E:FG
となるように
FGをとる。
D:AB=正方(_E):正方(_FG)
となっている。
そうすれば
E上の
正方形
は
FG上の
正方形
と
通約
できる。
前節、
命題10ー6
(量が数:数なら通約可)
による。
正方(_E)∩正方(_FG)
となっている。
そして
Eは
有理線分
である。
[......(3)]
(1)
による。
E;有理線分
となっている。
ゆえに
FGも
有理線分
である。
前節、前々節、
定義10ー3の補足
(有理線分)
による。
FG;有理線分
となっている。
そして
DはABに対し
平方数
か
平方数
に対する
比
をもたず、
(2)
による。
D:AB≠平方数:平方数
となっている。
E上の
正方形
も
FG上の
正方形
に対し、
平方数
が
平方数
に対する
比
をもたない。
前節、前々節、
命題5ー13の補足4
(異なる比に同じ比は異なる)
による。
正方(_E):正方(_FG)≠平方数:平方数
となっている。
したがって
Eは
FGと
長さにおいて通約
できない。
[......(9)]
前節、
命題10ー9
(長さで通約と正方形・平方数の比)
による。
E¬∩FG
となっている。
次に
数
BAがACに
対するように
、
FG上の
正方形
がGH上の
正方形
に
対するように
された
とせよ。
[......(4)]
命題10ー10の補足
(作図.2線分;上の正方形が2線分の比)
により、
BA:AC=正方(_BA):正方(_H')
となるH'をとり、
命題6ー12
(作図.比例第4項)
により、
FG:H'=FG:GH"
となるように
GH"をとり、
命題1ー3
(作図・等しい線分を切り取る)
により、
点H(延長FG;GH=GH")
をとる。
BA:AC=正方(_FG):正方(_GH)
となっている。
そうすれば
FG上の
正方形
は
GH上の
正方形
と
通約
できる。
[......(5)]
前節、
命題10ー6
(量が数:数なら通約可)
による。
正方(_FG)∩正方(_GH)
となっている。
ところが
FGは
有理線分
である。
ゆえに
GHも
有理線分
である。
(3)
、前節、
定義10ー3の補足
(有理線分)
による。
GH;有理線分
となっている。
そして
BAはACに対し、
平方数
が
平方数
に対する
比
をもたず、
命題の設定
による。
BA:AC≠平方数:平方数
となっている。
FG上の
正方形
もHG上の
正方形
に対し、
平方数
が
平方数
に対する
比
をもたない。
(4)
、前節、
命題5ー13の補足4
(異なる比に同じ比は異なる)
による。
正方(_FG):正方(_HG)≠平方数:平方数
となっている。
したがって
FGはGHと
長さにおいて通約
できない。
前節、
命題10ー9
(長さで通約と正方形・平方数の比)
による。
FG¬∩GH
となっている。
ゆえに
FG、GHは
平方においてのみ通約
できる
有理線分
である。
[......(7)]
(5)
、前節、
命題5ー13の補足4
(異なる比に同じ比は異なる)
による。
FG、GH;有理線分
FG∩^^2 GH
となっている。
したがって
FHは
二項線分
である。
前節、
定義の補足(命題10ー36)
(二項線分)
による。
FH;二項線分
となっている。
第3の二項線分
でもある
と主張する。
DがABに
対するように
、
E上の
正方形
がFG上の
正方形
に対し、
(5')
による。
D:AB=正方(_E):正方(_FG)
となっている。
BAがACに
対するように
、
FG上の
正方形
がGH上の
正方形
に対する
(4)
による。
BA:AC=正方(_FG):正方(_GH)
となっている。
から、
等間隔比
により
DがACに
対するように
、
E上の
正方形
がGH上の
正方形
に対する。
前節、前々節、
命題5ー22
(等間隔比と同じ比)
による。
D:AC=正方(_E):正方(_GH)
となっている。
ところが
DはACに対し、
平方数
が
平方数
に対する
比
をもたない。
(2)
による。
D:AC≠平方数:平方数
となっている。
したがって
E上の
正方形
もGH上の
正方形
に対し、
平方数
が
平方数
に対する
比
をもたない。
前節、前々節、
命題5ー13の補足4
(異なる比に同じ比は異なる)
による。
正方(_E):正方(_GH)≠平方数:平方数
となっている。
それゆえ
Eは
GHと
長さにおいて通約
できない。
[......(8)]
前節、
命題10ー9
(長さで通約と正方形・平方数の比)
による。
E¬∩GH
となっている。
そして
BAがACに
対するように
、
FG上の
正方形
がGH上の
正方形
に対する
[......(6')]
(4)
による。
BA:AC=正方(_FG):正方(_GH)
となっている。
から、
FG上の
正方形
は
GH上の
正方形
より
大き
い。
定義5ー5
(同じ比)
による。
正方(_FG)>正方(_GH)
となっている。
そこで
GH、K上の
正方形
の和が
FG上の
正方形
に
等し
い
とせよ。
命題1ー3
(作図・等しい線分を切り取る)
により、
点L(FG;GL=GH)、
をとると、
命題2ー5
(線分の矩形分割)
により、
正方(_FG)=正方(_GH)+矩形(FH,FL)
となり、
命題6ー17の補足
(作図.線分上に矩形と等しい正方形)
により、
線分K(;正方(_K)=矩形(FH,FL))
をとる。
正方(_GH)+正方(_K)=正方(_FG)
となっている。
そうすれば
反転比
により
ABがBCに
対するように
、
FG上の
正方形
がK上の
正方形
に対する。
[......(7)]
(6')
、前節、
命題5ー19の系の補足2
(比例ならば反転も比例)
命題5ー7
(同一量の比)
による。
AB:BC=正方(_FG):正方(_K)
となっている。
ところが
ABはBCに対し、
平方数
が
平方数
に対する
比
をもつ。
命題の設定
による
AB:BC=平方数:平方数
となっている。
したがって
FG上の
正方形
は
K上の
正方形
に対し、
平方数
が
平方数
に対する
比
をもつ。
前節、
命題5ー11
(同一の比に同じ比)
による。
正方(_FG):正方(_K)=平方数:平方数
となっている。
それゆえ
FGはKと
長さにおいて通約
できる。
前節、
命題10ー9
(長さで通約と正方形・平方数の比)
による。
FG∩K
となっている。
ゆえに
FG上の
正方形
は
GH上の
正方形
より
FGと
通約
できる線分上の
正方形
だけ
大き
い。
(7)
、前節、
による。
正方(_FG)=正方(_GH)+正方(_K)、
FG∩K
となっている。
そして
FG、GHは
平方においてのみ通約
できる
有理線分
であり、
それらのいずれも
Eと
長さにおいて通約
できない。
(7)
(8)
(9)
による。
FG、GH;有理線分、
FG∩^^2 GH、
E¬∩(EF、FG)
となっている。
よって
FHは
第3の二項線分
である。
前節
定義10Uー3
(第3の二項線分)
による。
FH;第3の二項線分
となっている。
これが証明すべきことであった。
命題10ー50
は、
命題10ー29助aの補足
により、
AB:BC=平方数:平方数、
AB:AC≠平方数:平方数、
D;素数
E;有理線分
をとり、
D:AB=正方(_D):正方(_E')
となるE'をとり、
D:E'=E:FG
となるFGをとり、
BA:AC=正方(_BA):正方(_H')
となるH'をとり、
FG:H'=FG:GH"
となるGH"をとり、
点H(延長FG;GH=GH")
をとると、
FHは第3の二項線分
のことである。
命題10ー50の補足(約数でない素数とは平方数の比でない)
前提
作図
推論
定義
7-12
公準
公理
命題
7-21
その他
命題10ー50
は推論用命題である。
前提
作図・構成
推論
定義
5-5
,
7-12
,
7-19
,
10-3補
,
義補(題10-36)
,
10U-3
公準
公理
命題
1-3
,
2-5
,
6-12
,
6-17補
,
補2(義10-3)
,
10-10補
,
10-29a補
5-7
,
5-11
,
5-13補4
,
5-19系補2
,
5-22
,
10-6
,
10-9
,
10-10補
,
10-50補
その他
コ4(題7-1)
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