ユークリッド原論をどう読むか（１４）
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ユークリッド原論

第１０巻
　
命題１０ー５０（作図.第３の二項線分）
(約数でない素数とは平方数の比でない)
　第３の二項線分を見いだすこと。

• 第３の二項線分は、
  定義１０�Uー３による。

　二つの数ＡＣ、ＣＢが定められ、
　　それらの和ＡＢがＢＣに対し、
　　　平方数が平方数に対する比をもち、
　　ＡＣに対し、
　　　平方数が平方数に対する比をもたない
とせよ。

• 　「数（について）・・・とせよ」は、
  　コメント４（命題７ー１）参照のこと。
  
• 　命題１０ー２９助ａの補足(作図.差が平方数でない２平方数)
  により、
  　ＡＢ、ＢＣ'をとり、
  　点Ｃ(ＡＢ;ＢＣ＝ＢＣ')
  をとっている。
  
• 　ＡＢ：ＢＣ＝平方数：平方数、
  　ＡＢ：ＡＣ≠平方数：平方数
  となっている。

　何らかの他の平方数でない数Ｄが定められ、
　　ＢＡ、ＡＣの双方に対し、
　　　平方数が平方数に対する比をもたない
ようにせよ。
[......(２)]

• 例えば、
  　素数Ｄ；(互いに素)（ＡＢ、ＡＣ）
  とするとよい。
  なぜなら、
  　命題７ー２１（互いに素な数は同じ比の最小）
  により、
  　Ｄ：ＡＢ（最小）
  となり、
  　定義７ー１２（素数）
  により
  　Ｄ；¬平方数
  となるから。
  　どんな数も約数でない素数との比は、
  　　平方数：平方数
  　とならない。
  (以下。命題１０ー５０の補足(約数でない素数とは平方数の比でない)という。)
  
• 　Ｄ≠平方数
  Ｄ：ＢＡ≠平方数：平方数
  Ｄ：ＡＣ≠平方数：平方数
  となっている。

そして
　ある有理線分Ｅが定められ
　　　　　　[......(１)]

• 　命題の補足２（定義１０ー３）(作図.任意の有理線分)
  による。
• 　Ｅ；有理線分
  となっている。

　　ＤがＡＢに対するように、
　　Ｅ上の正方形がＦＧ上の正方形に対するようにされた
とせよ。
[......(５')]

• 　命題１０ー１０の補足(作図.２線分;上の正方形が２線分の比)
  により、
  　Ｄ：ＡＢ＝正方(_Ｄ)：正方(_Ｅ')
  　　となるＥ'をとり、
  　命題６ー１２（作図.比例第４項）
  により、
  　Ｄ：Ｅ'＝Ｅ：ＦＧ
  となるように
  　ＦＧをとる。
• 　Ｄ：ＡＢ＝正方(_Ｅ)：正方(_ＦＧ)
  となっている。

そうすれば
　Ｅ上の正方形は
　　ＦＧ上の正方形と通約できる。

• 　前節、
  　命題１０ー６（量が数：数なら通約可）
  による。
• 　正方(_Ｅ)∩正方(_ＦＧ)
  となっている。

そして
　Ｅは有理線分である。
[......(３)]

• 　（１）による。　
• 　Ｅ；有理線分
  となっている。

ゆえに
　ＦＧも有理線分である。

• 　前節、前々節、
  　定義１０ー３の補足（有理線分）
  による。
• 　ＦＧ；有理線分
  となっている。

そして
　ＤはＡＢに対し
　　平方数か平方数に対する比をもたず、

• 　（２）による。
• 　Ｄ：ＡＢ≠平方数：平方数
  となっている。

　Ｅ上の正方形も
　　ＦＧ上の正方形に対し、
　　平方数が平方数に対する比をもたない。

• 　前節、前々節、
  　命題５ー１３の補足４（異なる比に同じ比は異なる）
  による。
• 　正方(_Ｅ)：正方(_ＦＧ)≠平方数：平方数
  となっている。

したがって
　Ｅは
　　ＦＧと長さにおいて通約できない。
　　　　　　　[......(９)]

• 　前節、
  　命題１０ー９（長さで通約と正方形・平方数の比）
  による。
• 　Ｅ¬∩ＦＧ
  となっている。

次に
　数ＢＡがＡＣに対するように、
　ＦＧ上の正方形がＧＨ上の正方形に対するようにされた
とせよ。
[......(４)]

• 　命題１０ー１０の補足(作図.２線分;上の正方形が２線分の比)
  により、
  　ＢＡ：ＡＣ＝正方(_ＢＡ)：正方(_Ｈ')
  　　となるＨ'をとり、
  　命題６ー１２（作図.比例第４項）
  により、
  　ＦＧ：Ｈ'＝ＦＧ：ＧＨ"
  となるように
  　ＧＨ"をとり、
  　命題１ー３（作図・等しい線分を切り取る）　
  により、
  　点Ｈ(延長ＦＧ;ＧＨ＝ＧＨ")
  をとる。
  
• 　ＢＡ：ＡＣ＝正方(_ＦＧ)：正方(_ＧＨ)
  となっている。

そうすれば
　ＦＧ上の正方形は
　　ＧＨ上の正方形と通約できる。
[......(５)]

• 　前節、
  　命題１０ー６（量が数：数なら通約可）
  による。
• 　正方(_ＦＧ)∩正方(_ＧＨ)
  となっている。

ところが
　ＦＧは有理線分である。
ゆえに
　ＧＨも有理線分である。

• 　（３）、前節、
  　定義１０ー３の補足（有理線分）
  による。
• 　ＧＨ；有理線分
  となっている。

そして
　ＢＡはＡＣに対し、
　　平方数が平方数に対する比をもたず、

• 　命題の設定による。
• 　ＢＡ：ＡＣ≠平方数：平方数
  となっている。

　ＦＧ上の正方形もＨＧ上の正方形に対し、
　　平方数が平方数に対する比をもたない。

• 　（４）、前節、
  　命題５ー１３の補足４（異なる比に同じ比は異なる）
  による。
• 　正方(_ＦＧ)：正方(_ＨＧ)≠平方数：平方数
  となっている。

したがって
　ＦＧはＧＨと長さにおいて通約できない。

• 　前節、
  　命題１０ー９（長さで通約と正方形・平方数の比）
  による。
• 　ＦＧ¬∩ＧＨ
  となっている。

ゆえに
　ＦＧ、ＧＨは
　　平方においてのみ通約できる有理線分である。
[......(７)]

• 　（５）、前節、
  　命題５ー１３の補足４（異なる比に同じ比は異なる）
  による。
• 　ＦＧ、ＧＨ；有理線分
  　ＦＧ∩^^2 ＧＨ
  となっている。

したがって
　ＦＨは二項線分である。

• 　前節、
  　定義の補足（命題１０ー３６）(二項線分)
  による。
• 　ＦＨ；二項線分
  となっている。

　第３の二項線分でもある
と主張する。
　ＤがＡＢに対するように、
　Ｅ上の正方形がＦＧ上の正方形に対し、

• 　（５'）による。
• 　Ｄ：ＡＢ＝正方(_Ｅ)：正方(_ＦＧ)
  となっている。

　　ＢＡがＡＣに対するように、
　　ＦＧ上の正方形がＧＨ上の正方形に対する

• 　（４）による。
• 　ＢＡ：ＡＣ＝正方(_ＦＧ)：正方(_ＧＨ)
  となっている。

から、
　等間隔比
により
　ＤがＡＣに対するように、
　　Ｅ上の正方形がＧＨ上の正方形に対する。

• 　前節、前々節、
  　命題５ー２２（等間隔比と同じ比）
  による。
• 　Ｄ：ＡＣ＝正方(_Ｅ)：正方(_ＧＨ)
  となっている。

ところが
　ＤはＡＣに対し、
　　平方数が平方数に対する比をもたない。

• 　（２）による。
• 　Ｄ：ＡＣ≠平方数：平方数
  となっている。

したがって
　Ｅ上の正方形もＧＨ上の正方形に対し、
　　平方数が平方数に対する比をもたない。

• 　前節、前々節、
  　命題５ー１３の補足４（異なる比に同じ比は異なる）
  による。
• 　正方(_Ｅ)：正方(_ＧＨ)≠平方数：平方数
  となっている。

それゆえ
　Ｅは
　　ＧＨと長さにおいて通約できない。
[......(８)]

• 　前節、
  　命題１０ー９（長さで通約と正方形・平方数の比）
  による。
• 　Ｅ¬∩ＧＨ
  となっている。

そして
　ＢＡがＡＣに対するように、
　ＦＧ上の正方形がＧＨ上の正方形に対する
[......(６')]

• 　（４）による。
• 　ＢＡ：ＡＣ＝正方(_ＦＧ)：正方(_ＧＨ)
  となっている。

から、
　ＦＧ上の正方形は
　　ＧＨ上の正方形より大きい。

• 　定義５ー５（同じ比）
  による。
• 　正方(_ＦＧ)＞正方(_ＧＨ)
  となっている。

そこで
　ＧＨ、Ｋ上の正方形の和が
　　ＦＧ上の正方形に等しい
とせよ。

• 　命題１ー３（作図・等しい線分を切り取る）　
  により、
  　点Ｌ(ＦＧ;ＧＬ＝ＧＨ)、
  をとると、
  　命題２ー５（線分の矩形分割）
  により、
  　正方(_ＦＧ)＝正方(_ＧＨ)＋矩形(ＦＨ,ＦＬ)
  となり、
  　命題６ー１７の補足 (作図.線分上に矩形と等しい正方形)
  により、
  　線分Ｋ(;正方(_Ｋ)＝矩形(ＦＨ,ＦＬ))
  をとる。
  
• 　正方(_ＧＨ)＋正方(_Ｋ)＝正方(_ＦＧ)
  となっている。

そうすれば
　反転比
により
　ＡＢがＢＣに対するように、
　　ＦＧ上の正方形がＫ上の正方形に対する。
[......(７)]

• 　（６'）、前節、
  　命題５ー１９の系の補足２(比例ならば反転も比例)
  　命題５ー７（同一量の比）
  による。
  
• 　ＡＢ：ＢＣ＝正方(_ＦＧ)：正方(_Ｋ)
  となっている。

ところが
　ＡＢはＢＣに対し、
　　平方数が平方数に対する比をもつ。

• 　命題の設定による
• 　ＡＢ：ＢＣ＝平方数：平方数
  となっている。

したがって
　ＦＧ上の正方形は
　　Ｋ上の正方形に対し、
　　　平方数が平方数に対する比をもつ。

• 　前節、
  　命題５ー１１（同一の比に同じ比）
  による。
• 正方(_ＦＧ)：正方(_Ｋ)＝平方数：平方数
  となっている。

それゆえ
　ＦＧはＫと長さにおいて通約できる。

• 　前節、
  　命題１０ー９（長さで通約と正方形・平方数の比）
  による。
• 　ＦＧ∩Ｋ
  となっている。

ゆえに
　ＦＧ上の正方形は
　　ＧＨ上の正方形より
　　ＦＧと通約できる線分上の正方形だけ大きい。

• 　（７）、前節、
  による。
• 　正方(_ＦＧ)＝正方(_ＧＨ)＋正方(_Ｋ)、
  　ＦＧ∩Ｋ
  となっている。

そして
　ＦＧ、ＧＨは
　　平方においてのみ通約できる有理線分であり、
　それらのいずれも
　　Ｅと長さにおいて通約できない。

• 　（７） （８） （９）による。
• 　ＦＧ、ＧＨ；有理線分、
  　ＦＧ∩^^2 ＧＨ、
  　Ｅ¬∩（ＥＦ、ＦＧ）
  となっている。

よって
　ＦＨは
　　第３の二項線分である。

• 　前節
  　定義１０�Uー３（第３の二項線分）
  による。
• 　ＦＨ；第３の二項線分
  となっている。

　これが証明すべきことであった。

• 命題１０ー５０は、
  　命題１０ー２９助ａの補足
  により、
  　ＡＢ：ＢＣ＝平方数：平方数、
  　ＡＢ：ＡＣ≠平方数：平方数、
  　Ｄ；素数
  　Ｅ；有理線分
  をとり、
  　Ｄ：ＡＢ＝正方(_Ｄ)：正方(_Ｅ')
  　　となるＥ'をとり、
  　Ｄ：Ｅ'＝Ｅ：ＦＧ
  　　となるＦＧをとり、
  　ＢＡ：ＡＣ＝正方(_ＢＡ)：正方(_Ｈ')
  　　となるＨ'をとり、
  　ＦＧ：Ｈ'＝ＦＧ：ＧＨ"
  　　となるＧＨ"をとり、
  　点Ｈ(延長ＦＧ;ＧＨ＝ＧＨ")
  をとると、
  　ＦＨは第３の二項線分
  のことである。
• 命題１０ー５０の補足(約数でない素数とは平方数の比でない)

  前提	作図	推論
  定義		7-12
  公準
  公理
  命題		7-21
  その他

• 命題１０ー５０は推論用命題である。

  前提	作図・構成	推論
  定義		5-5,7-12,7-19,10-3補,義補(題10-36),10�U-3
  公準
  公理
  命題	1-3,2-5,6-12,6-17補,補2(義10-3),10-10補,10-29a補	5-7,5-11,5-13補4,5-19系補2,5-22,10-6,10-9,10-10補,10-50補
  その他	コ4(題7-1)

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