ユークリッド原論をどう読むか（１４）
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ユークリッド原論

第１０巻
　
命題１０ー３２（作図,２中項線分;平方のみ通約、矩形が中項面積、平方差が大きい方と長さ通約の平方 ）
(作図,２中項線分;平方のみ通約、矩形が中項面積、平方差が大きい方と長さ非通約の平方)
　平方においてのみ通約でき、
　中項面積をかこみ、
　大きい線分上の正方形が
　小さい線分上の正方形より、
　大きい線分と通約できる線分上の正方形だけ大きい
　２つの中項線分
を見いだすこと。

• 平方においてのみ通約は、
  定義の補足（命題１０ー１９助）による。
• 中項面積は、
  定義の補足２（命題１０ー２３）による。
• かこみは、
  定義２ー１による。
• 大きいは、
  公理１ー８による。
• 線分は、
  定義の補足（命題１ー１）による。
• 正方形は、
  定義１ー２２による。
• 小さいは、
  公理１ー８の補足による。
• 通約は、
  定義１０ー１による。
• 中項線分は、
  定義の補足（命題１０ー２１）による。

　平方においてのみ通約できる
　三つの有理線分Ａ、Ｂ、Ｃ
が定められ、
　Ａ上の正方形が
　Ｃ上の正方形より
　Ａと通約できる線分上の正方形だけ大きく、

• 　命題の補足２（定義１０ー３）(作図.任意の有理線分)
  により、
  　Ａ；有理線分
  をとり、
  　Ａに対して、
  　命題１０ー２９（作図.平方のみ通約で、平方差が大きい方と長さ通約の平方となる２有理線分）
  により、
  　Ｃをとる。
  　命題１０ー５（通約可能なら数：数の比）
  により、
  　sq(_Ａ)：sq(_Ｃ)＝Ａ'：Ｃ'（数：数）、
  となっており、
  　命題１０ー１０助の系（非相似平面数は平方数：平方数とならず）
  により、
  　Ａ'、Ｃ'；相似な平面数でない
  となっている。
  　Ｂ'；Ａ'、Ｃ'のどちらとも相似な平面数でない
  をとる。
  　命題１０ー６の系２（作図.平方で数：数となる線分）
  により、
  　Ｂ；sq(_Ａ)：sq(_Ｂ)＝Ａ'：Ｂ'
  をとる。
  
• 　Ａ∩^^2Ｂ、Ｂ∩^^2Ｃ、Ｃ∩^^2Ａ
  となっている。
  

　Ｄ上の正方形が
　矩形Ａ、Ｂに等しい
とせよ。
　　　　　　[......(ａ)]

• 　命題２ー１の補足（作図.矩形）
  により、
  　rec(Ａ、Ｂ)
  をとり、
  　命題６ー１７の補足(作図.線分上に矩形と等しい正方形)
  による。
  
• 　Ｄ；sq(_Ｄ)＝rec(Ａ、Ｂ) をとる。

そうすれば
　Ｄ上の正方形は
　中項面積である。

• 　前節、 命題の設定、
  　定義の補足２（命題１０ー２３）(中項面積)
  による。
• 　sq(_Ｄ)；中項面積 となっている。

したがって
　Ｄも中項線分である。
　　　　　　[......(１)]

• 　前節、
  　定義の補足（命題１０ー２１）（中項線分）
  による。
• 　Ｄ；中項線分
  となっている。
  

　矩形Ｄ、Ｅが
　矩形Ｂ、Ｃに等しい
とせよ。
　　　　　　[......(ｂ)]

• 　命題６ー１４（等積で等角な平行四辺形と逆比例）
  により、
  　Ｄ：Ｃ＝Ｂ：Ｅ
  となるので、
  　命題６ー１２（作図.比例第４項）
  により、
  　Ｅ；Ｄ：Ｃ＝Ｂ：Ｅ
  をとり、
  　命題２ー１の補足（作図.矩形）
  により、
  　rec(Ｄ、Ｅ)
  をとる。
  
• rec(Ｄ、Ｅ)＝rec(Ｂ、Ｃ) となっている。

そうすれば
　矩形Ａ、Ｂが矩形Ｂ、Ｃに対するように、
　ＡがＣに対し、

• 　命題６ー２３（等角な平行四辺形と辺の比の積）
  により、
  　rec(Ａ、Ｂ)：rec(Ｂ、Ｃ)
  　＝（Ｂ：Ｃ）×（Ａ：Ｂ）
  となり、
  　定義６ー５（合成・積）
  により、
  　（Ｂ：Ｃ）×（Ａ：Ｂ）
  　＝Ａ：Ｃ
  となるので、
  　命題５ー１１（同一の比に同じ比）
  による。
  
• 　rec(Ａ、Ｂ)：rec(Ｂ、Ｃ)
  　＝Ａ：Ｃ
  となっている。

他方
　Ｄ上の正方形が矩形Ａ、Ｂに等しく、
　矩形Ｄ、Ｅが矩形Ｂ、Ｃに等しい

• 　（ａ）、 （ｂ）
  による。
  
• 　sq(_Ｄ)＝rec(Ａ、Ｂ)、
  　rec(Ｄ、Ｅ)＝rec(Ｂ、Ｃ)
  となっている。

から、
　ＡがＣに対するように、
　Ｄ上の正方形が矩形Ｄ、Ｅに対する。

• 　前節、
  　命題５ー７（同一量の比）
  により、
  　sq(_Ｄ)：rec(Ｄ、Ｅ)
  　＝rec(Ａ、Ｂ)：rec(Ｂ、Ｃ)
  となり、
  　前々節、
  　命題５ー１１（同一の比に同じ比）
  による。
  　
• 　Ａ：Ｃ＝sq(_Ｄ)：rec(Ｄ、Ｅ)
  となっている。
  

ところが
　Ｄ上の正方形が矩形Ｄ、Ｅに対するように、
　ＤがＥに対する。

• 　命題１０ー２２助（２線分は一方の上の正方形と両者の矩形に比例）
  による。
  
• 　sq(_Ｄ)：rec(Ｄ、Ｅ)＝Ｄ：Ｅ
  となっている。
  

そして
　ＡはＣと平方においてのみ通約できる。

• 　命題の設定による。
• 　Ａ∩^^2Ｃ
  となっている。
  

したがって
　ＤもＥと平方においてのみ通約できる。
　　　　　　[......(２)]

• 　前々節、前々々節
  　命題５ー１１（同一の比に同じ比）
  により、
  　Ａ：Ｃ＝Ｄ：Ｅ
  　　　　　　[......(３)]
  となり、
  　前節、
  　命題１０ー１１（４量比例で一方が通約なら他方も通約）
  による。
  
• 　Ｄ∩^^2Ｅ
  となっている。
  

ところが
　Ｄは中項線分である。

• 　（１）による。
• 　Ｄ；中項線分
  となっている。
  

したがって
　Ｅも中項線分である。

• 　前節、前々節、
  　命題１０ー２３(中項線分と平方で通約なら中項線分)
  による。
• 　Ｅ；中項線分
  となっている。
  

そして
　ＡがＣに対するように、
　ＤがＥに対し、

• 　（３）による。
• 　Ａ：Ｃ＝Ｄ：Ｅ
  となっている。
  

　Ａ上の正方形は
　Ｃ上の正方形より
　Ａと通約できる線分上の正方形だけ大きい

• 　命題の設定による。
• 　sq(_Ａ)＝sq(_Ｃ)＋sq(_Ｚ)、
  　Ａ∩Ｚ
  となっている。

から、
　Ｄ上の正方形も
　Ｅ上の正方形より
　Ｄと通約できる線分上の正方形だけ大きいであろう。
　　　　　　[......(４)]

• 　前節、前々節、
  　命題１０ー１４（比例４項の各辺で正方形の差の通約が対応）
  による。
• 　sq(_Ｄ)＝sq(_Ｅ)＋sq(_Ｙ)、
  　Ｄ∩Ｙ
  となっている。

次に
　矩形Ｄ、Ｅが中項面積である
と主張する。
なぜなら
　矩形Ｂ、Ｃは矩形Ｄ、Ｅに等しく、
　矩形Ｂ、Ｃは中項面積である
から、
　矩形Ｄ、Ｅも中項面積である。
　　　　　　[......(５)]

• 「なぜなら・・・であるから」は、
  　コメント２（命題１ー１６）
  　参照のこと。
• 　（ｂ）、
  　命題の設定、
  　定義の補足２（命題１０ー２３）(中項面積)、
  　命題の補足（定義１０ー１）(等しい、倍量、約量と通約)、
  　命題１０ー２３の系(中項面積と通約なら中項面積)
  による。
  
• 　rec(Ｂ、Ｃ)＝rec(Ｄ、Ｅ)、
  　rec(Ｂ、Ｃ)、rec(Ｄ、Ｅ)；中項面積
  となっている。

よって
　平方においてのみ通約でき、
　中項面積をかこみ、
　大きい線分上の正方形が
　小さい線分上の正方形より、
　大きい線分と通約できる線分上の正方形だけ大きい、
　２つの中項線分Ｄ、Ｅ
が見いだされた。

• 　（２）、 （５）、 （４）による。
• 　Ｄ∩^^2Ｅ、
  　rec(Ｄ、Ｅ)；中項面積
  　sq(_Ｄ)＝sq(_Ｅ)＋sq(_Ｙ)、
  　Ｄ∩Ｙ
  となるＤ、Ｅをとっている。
  

また同様にして
　Ａ上の正方形が
　Ｃ上の正方形より
　Ａと通約できない線分上の正方形だけ大きい
ならば、
　Ｄ上の正方形は
　Ｅ上の正方形より
　Ｄと通約できない線分上の正方形だけ大きい
(以下、命題１０ー３２の系 (作図,２中項線分;平方のみ通約、矩形が中項面積、平方差が大きい方と長さ非通約の平方)という。)
ことが証明され得る。

• 　前半の証明において、
  　命題の設定
  　「平方においてのみ通約できる
  　三つの有理線分Ａ、Ｂ、Ｃ
  が定められ、
  　Ａ上の正方形が
  　Ｃ上の正方形より
  　Ａと通約できる線分上の正方形だけ大きく、」
  を
  　「平方においてのみ通約できる
  　三つの有理線分Ａ、Ｂ、Ｃ
  が定められ、
  　Ａ上の正方形が
  　Ｃ上の正方形より
  　Ａと通約できない線分上の正方形だけ大きく、」
  と変えることになるので、
  　Ａに対して、Ｃをとる根拠について、
  　命題１０ー２９（作図.２有理線分;平方のみ通約で、平方差が大きい方と長さ通約の平方）
  から、
  　命題１０ー３０（作図.２有理線分;平方のみ通約で、平方差が大きい方と長さ非通約の平方）
  に変更するだけで、
  　証明が成立する。
  
• 命題１０ー３２の系は、
  　Ａ；有理線分
  に対し、
  　命題１０ー３０
  により、
  　Ｃ；有理線分、Ａ∩^^2Ｃ、
  　　　sq(_Ａ)＝sq(_Ｃ)＋sq(_Ｚ)、
  　　　Ａ¬∩Ｚ
  をとり、
  　Ｂ；有理線分、Ａ∩^^2Ｂ、Ｃ∩^^2Ｂ
  をとり、
  　Ａ、Ｂ、Ｃ
  に対して、
  　命題６ー１７の補足
  により、
  　中項線分Ｄ；中項面積sq(_Ｄ)＝rec(Ａ、Ｂ)、
  　命題６ー１２
  により、
  　Ｅ；Ｅ：Ｂ＝Ｃ：Ｄ
  をとると、
  　rec(Ｄ、Ｅ)＝中項面積rec(Ｂ、Ｃ)、
  　Ｄ：Ｅ＝Ａ：Ｃ
  となり、
  　[Ｄ]、[Ｅ]；中項線分、
  　Ｄ∩^^2Ｅ、
  　rec(Ｄ、Ｅ)；中項面積
  　sq(_Ｄ)＝sq(_Ｅ)＋sq(_Ｙ)、
  　Ｄ¬∩Ｙ
  のことである。

• 命題１０ー３２は、
  　Ａ；有理線分
  に対し、
  　命題１０ー２９
  により、
  　有理線分Ｃ；Ａ∩^^2Ｃ、
  　　　sq(_Ａ)＝sq(_Ｃ)＋sq(_Ｚ)、
  　　　Ａ∩Ｚ
  をとり、
  　有理線分Ｂ；Ａ∩^^2Ｂ、Ｃ∩^^2Ｂ
  をとり、
  　Ａ、Ｂ、Ｃ
  に対して、
  　命題６ー１７の補足
  により、
  　中項線分Ｄ；sq(_Ｄ)＝rec(Ａ、Ｂ)、
  　命題６ー１２
  により、
  　Ｅ；Ｅ：Ｂ＝Ｃ：Ｄ
  をとると、
  　rec(Ｄ、Ｅ)＝中項面積rec(Ｂ、Ｃ)、
  　Ｄ：Ｅ＝Ａ：Ｃ、
  となり、
  　Ｄ、Ｅ；中項線分、
  　Ｄ∩^^2Ｅ、
  　rec(Ｄ、Ｅ)；中項面積
  　sq(_Ｄ)＝sq(_Ｅ)＋sq(_Ｙ)、
  　Ｄ∩Ｙ
  のことである。
• 命題１０ー３２の系 (作図,２中項線分;平方のみ通約、矩形が中項面積、平方差が大きい方と長さ非通約の平方)

  前提	作図	推論
  定義
  公準
  公理
  命題	10-32
  その他

• 命題１０ー３２は作図用命題である。

  前提	作図・構成	推論
  定義		6-5,補(義10-1),補(題10-21),補2(題10-23)
  公準
  公理
  命題	2-1補,6-12,6-17補,補2(義10-3),10-6系2,10-29	5-7,5-11,6-14,6-23,10-5,10-10助系,10-11,10-14,10-22助,10-23,10-23系
  その他

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