ユークリッド原論をどう読むか（１４）
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ユークリッド原論

第１０巻
　
命題１０ー２９（作図.２有理線分;平方のみ通約で、平方差が大きい方と長さ通約の平方）

　平方においてのみ通約でき、
　大きい線分上の正方形が
　小さい線分上の正方形より、
　大きい線分と長さにおいて通約できる
　線分上の正方形だけ大きい
　２つの有理線分
を見いだすこと。

• 平方においてのみ通約は、
  定義１０ー２による。
• 大きいは、
  公理１ー８による。
• 線分は、
  定義の補足（命題１ー１）による。
• 正方形は、
  定義１ー２２による。
• 小さいは、
  公理１ー８の補足による。
• 長さにおいて通約は、
  定義１０ー２の補足による。
• 有理線分は、
  定義１０ー３の補足による。

　ある有理線分ＡＢと、
　その差ＣＥが平方数でない
　２つの平方数ＣＤ、ＤＥと
が定められ、

• 　指定された単位に対して、
  　命題の補足２（定義１０ー３）(作図.任意の有理線分)
  により、
  　有理線分ＡＢをとり、
  　命題１０ー２９助ａの補足(作図.平方の差が平方数でない２数)
  により、
  　２数Ｃ'Ｄ'、Ｄ'Ｅ'の平方数ＣＤ、ＤＥをとる。
• 　ＡＢ；有理線分、
  　ＣＤ＝Ｃ'Ｄ'^2、
  　ＤＥ＝Ｄ'Ｅ'^2、
  　ＣＥ＝ＣＤーＤＥ；平方数でない
  となっている。
  

　ＡＢ上に半円ＡＦＢ
が描かれ、

• 　命題１ー１０（作図・線分の２等分）
  により、
  　ＡＢの中点Ｇをとり、
  　公準１ー３（作図.円）
  により、
  　中心Ｇ、半径ＧＡの円をかき、
  　公準１ー１の補足（作図.任意の点をとる）
  により
  　円周上にＦをとり、
  　半円ＡＦＢ
  とする。

　ＤＣがＣＥに対するように、
　ＢＡ上の正方形が
　ＡＦ上の正方形に対する
ようにされ、

• 　前節のＡＢについて、
  　命題１０ー１０の補足(作図.２線分;上の正方形が２線分の比)
  により、
  　ＤＣ：ＣＥ
  　＝正方(_ＡＢ)：正方(_ＡＦ')
  となるＡＦ'をとり、
  　命題４ー１（作図.線分の挿入）
  により、
  　半円ＡＦＧに
  　ＡＦ'＝ＡＦ"
  となるようにＡＦ"を挿入する。
  　Ｆ"を改めてＦとし、
  　Ｆを溯って用いている。
• 　sq(_ＢＡ)：sq(_ＡＦ)＝ＤＣ：ＣＥ
  となっている。

　ＦＢが結ばれた
とせよ。

• 　公準１ー１（作図.直線）
  による。
  

　ＢＡ上の正方形が
　ＡＦ上の正方形に対するように、
　ＤＣがＣＥに対する

• 　前々節による。
• 　sq(_ＢＡ)：sq(_ＡＦ)＝ＤＣ：ＣＥ
  となっている。

から、
　ＢＡ上の正方形はＡＦ上の正方形に対し、
　数ＤＣが数ＣＥに対する比をもつ。

• 　sq(_ＢＡ)：sq(_ＡＦ)＝ＤＣ：ＣＥ
  となっている。

したがって
　ＢＡ上の正方形は
　ＡＦ上の正方形と通約できる。

• 　前節、
  　命題１０ー６（量が数：数なら通約可）
  による。
• 　sq(_ＢＡ)∩sq(_ＡＦ)
  となっている。

ところが
　ＡＢ上の正方形は有理面積である。

• 　命題の設定、
  　定義１０ー４の補足（有理面積、無理面積）
  による。
• 　sq(_ＡＢ)；有理面積
  となっている。
  

したがって
　ＡＦ上の正方形も有理面積である。

• 　前節、前々節、
  　定義１０ー４の補足（有理面積、無理面積）
  による。
• 　sq(_ＡＦ)；有理面積
  となっている。
  

ゆえに
　ＡＦも有理線分である。
　　　　　　[......(１)]

• 　前節、
  　命題の補足３（定義１０ー４）(有理面積正方形の辺は有理線分) による。
• 　ＡＦ；有理線分
  となっている。

そして
　ＤＣはＣＥに対し、
　平方数が平方数に対する比をもたない

• 　命題の設定による。
• 　ＤＣ：ＣＥ≠平方数：平方数 となっている。

から、
　ＢＡ上の正方形もＡＦ上の正方形に対し、
　平方数が平方数に対する比もたない。

• 　前節、 命題の設定、
  　命題１０ー１１（４量比例で一方が通約なら他方も通約）
  による。
  
• 　sq(_ＢＡ)：sq(_ＡＦ)≠平方数：平方数 となっている。

したがって
　ＡＢはＡＦと長さにおいて通約できない。

• 　前節、
  　命題１０ー９（長さで通約と正方形の比）
  による。
• 　ＡＢ¬∩ＡＦ
  となっている。

それゆえ
　ＢＡ、ＡＦは
　平方においてのみ通約できる有理線分である。

• 　前節、 命題の設定、 （１）
  　定義１０ー３の補足（有理線分）
  による。
• 　ＢＡ∩^^2ＡＦ
  となっている。

そして
　ＤＣがＣＥに対するように、
　ＢＡ上の正方形が
　ＡＦ上の正方形に対する

• 　命題の設定による。
• 　ＤＣ：ＣＥ＝sq(_ＢＡ)：sq(_ＡＦ)
  となっている。

から、
　反転比により
　ＣＤがＤＥに対するように、
　ＡＢ上の正方形がＢＦ上の正方形に対する。

• 　命題の設定、
  　命題３ー３１（半円内の角は直角、半円より大小の切片内の角、切片の角）
  により、
  　三角形ＡＢＦは直角三角形
  となり、
  　命題１−４７（三平方の定理）
  により、
  　sq(_ＡＢ)＝sq(_ＢＦ)＋sq(_ＡＦ)
  となり、
  　前節、
  　命題５ー１９（引き去りが比例なら残りも比例）
  による。
• 　ＣＤ：ＤＥ＝sq(_ＡＢ)：sq(_ＢＦ)
  となっている。

ところが
　ＣＤはＤＥに対し、
　平方数が平方数に対する比をもつ。

• 　命題の設定による。
• 　ＣＤ：ＤＥ＝平方数：平方数
  となっている。　

したがって
　ＡＢ上の正方形も
　ＢＦ上の正方形に対し、
　平方数が平方数に対する比をもつ。

• 　前節、 命題の設定、
  　命題５ー１１（同一の比に同じ比）
  による。
• 　sq(_ＡＢ)：sq(_ＢＦ)＝平方数：平方数
  となっている。　 　

それゆえ
　ＡＢはＢＦと長さにおいて通約できる。

• 　前節、
  　命題１０ー９（長さで通約と正方形の比）
  による。
• 　ＡＢ∩ＢＦ
  となっている。

そして
　ＡＢ上の正方形は
　ＡＦ、ＦＢ上の正方形［の和］に等しい。

• 　命題の設定、
  　命題３ー３１（半円内の角は直角、半円より大小の切片内の角、切片の角）、
  　　命題１−４７（三平方の定理）
  による。
• 　sq(_ＡＢ)＝sq(_ＡＦ)＋sq(_ＦＢ)
  となっている。

したがって
　ＡＢ上の正方形は
　ＡＦ上の正方形より
　ＡＢと長さにおいて通約できる
　ＢＦ上の正方形だけ大きい。

• 　前節、前々節による。
• 　sq(_ＡＢ)＝sq(_ＡＦ)＋sq(_ＦＢ)
  
  　ＡＢ∩ＢＦ
  となっている。

よって
　平方においてのみ通約でき、
　大きい線分ＡＢ上の正方形が
　小さい線分ＡＦ上の正方形より
　ＡＢと長さにおいて通約できる
　線分ＢＦ上の正方形だけ大きい
　２つの有理線分ＢＡ、ＡＦが見いだされた。

　これが証明すべきことであった。

• 命題１０ー２９は、
  　差ＣーＤが平方数でない２平方数Ｃ、Ｄと、
  　有理線分Ａ
  に対し、
  　命題１０ー１０の補足 により、
  　正方(_Ａ)：正方(_Ｅ)＝Ｃ：Ｄ
  　正方(_Ａ)：正方(_Ｂ)＝Ｃ：ＣーＤ
  　となるＥ、Ｂをとる
  ならば、
  　正方(_Ｅ)＝正方(_Ａ)ー正方(_Ｂ)
  　Ｂ：有理線分、
  　Ａ∩^^2Ｂ
  　Ａ∩Ｅ
  のことである。
  
  
• 命題１０ー２９は作図・構成用命題である。

  前提	作図・構成	推論
  定義		10-3補,10-4補
  公準	1-1,1-1補,1-3
  公理
  命題	1-10,4-1,,補2(義10-3),10-10補10-29助a補	1-47,3-31,5-11,5-19,補3(義10-4),10-6,10-9
  その他

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