ユークリッド原論をどう読むか（１）
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ユークリッド原論
第１巻
命題１ー１（作図・正三角形）
線分
与えられた有限な直線（線分
）の上に
等辺三角形をつくる
こと。
-
第一段階として、
一般的な命題を言葉で最初に提示している。
以下の段階を含めて、
原論の論証スタイルである。
-
原論では、
線分を有限な直線として
ここで定義している。
（以下、定義の補足（命題１ー１）(線分)という。）
-
直線は定義１ー４
による。
- 等辺三角形は定義１ー２０
による。
与えられた線分をＡＢ
とせよ。
このとき
線分ＡＢ上に
等辺三角形をつくら
ねばならぬ。
-
第二段階として、
具体的な作図命題の形で提示している。
-
以下、
第三段階として、
作図の手順を最後まで示している。
このとき、
たとえば、
円の交点Ｃが存在するのか
というような
近代的な議論は考察されていない。
中心Ａ、半径ＡＢをもって
円ＣＤＢが描かれ、
-
公準１ー３（作図.円）
にあるとおり、
点Ａとそこらかの距離ＡＢで円が描かれており、
例えば、
中心Ａ、半径ＢＥではないことに
注意すること。
-
円(Ａ、ＡＢ)
をとり、
Ｃ、Ｄ；点[円(Ａ、ＡＢ)]
となっている。
また
中心Ｂ、半径ＢＡでもって
円ＡＣＥが描かれ、
-
公準１ー３（作図.円）による。
-
円(Ｂ、ＢＡ)
をとり、
Ｃ、Ｅ；点[円(Ａ、ＡＢ)]
となっている。
そして
これらの円が互いに交わる
点Ｃから、
-
定義１ー１５（円）
により、
円は一つの線を境界（端）
として
囲まれた平面図形である。
点Ａは円ＣＤＢの内部にあり、
点Ｅはその外部にある。
命題の補足３（定義１ー１４）（図形と直線の交点）
により
内部のＡと外部のＥは
線（弧）で結ばれている
ので、
交点をもつ。
その点をＣ
としている。
以上のことを自明
として扱って、
証明の最初からＣを登場させている
ため、
論証の筋道が見えにくくなっている。
なお、
交点がいくつあるかは、
不問である。
出発点の段階では、
交点の個数を確定できない。
-
Ｃ；交点[円(Ａ、ＡＢ)、円(Ｂ、ＢＡ)]
点Ａ、Ｂに線分ＣＡ、ＣＢが結ばれた
とせよ。【・・・(a)】
-
公準１ー１（作図.直線）による。
-
以上が、第三段階である。
-
線分(Ｃ、Ａ)、線分(Ｃ、Ｂ)
をとる。
そうすれば、
-
以下、
第四段階
として、
作図されたものをもとに、
論証される。
点Ａは円ＣＤＢの中心である
から、
ＡＣはＡＢに等しい。
また
点Ｂは円ＣＡＥの中心である
から、
ＢＣはＢＡに等しい。
そして
ＣＡがＡＢに等しい
ことも先に証明された。
-
前々節による。
-
ＣＡとＡＣが等しいことは
公理１ー７（等しい）
による。
-
ＣＡ＝ＡＢ
となっている。
それゆえ、
ＣＡ、ＣＢの双方はＡＢに等しい。
【・・・(1)】
-
前節、前々節
による。
-
ＣＡ＝ＡＢ、ＣＢ＝ＡＢ
となっている。
ところで
同じものに等しいものは
互いにも等しい。
-
公理１ー１（同じものに等しい）
のことである。
原論では、
定義、公準、公理、命題等を参照する
のに、
番号や記号を用いず、
このように、
簡潔な表現をもって参照する。
ゆえに
ＣＡもＣＢに等しい。
-
前節、前々節、
公理１ー１（同じものに等しい）
による。
したがって、
3線分ＣＡ、ＡＢ、ＢＣは
互いに等しい。
-
前節、(1)による。
-
原論において
は、
3つのものが互いに等しい
ことを言うために、
2つずつ組を作って
すべての組み合わせにおいて等しい
ことを丁寧に論証している。
-
ＣＡ＝ＡＢ、ＡＢ＝ＢＣ、ＢＣ＝ＣＡ
となっている。
よって
三角形ＡＢＣは等辺である。
-
前節、
定義１ー２０（等辺・二等辺・不等辺三角形）
による。
しかも、
与えられた線分ＡＢ上に作られている。
-
線分ＡＢ；△ＡＢＣの辺
による。
- 以上が第四段階である。
これが作図すべきものであった。
-
最後に、
第五段階として、
この一文が入る。
以上の五段階が
原論の標準的な論証スタイルである。
- 命題１ー１は、
線分ＡＢ
に対し、
Ｃ；交点(円(Ａ,ＡＢ),円(Ｂ,ＢＡ))
をとるならば、
△ＡＢＣ；等辺三角形（正三角形）
のことである。
- 命題１ー１は、作図用命題である。
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