ユークリッド原論をどう読むか（１４）
頁末 　　 前 　　 次 　　 目次

ユークリッド原論

第１０巻
　
命題１０ー３１（作図,２中項線分;平方のみ通約、矩形が有理面積、平方差が大きい方と長さ通約の平分 ）
(作図,２中項線分;平方のみ通約、矩形が有理面積、平方差が大きい方と長さ非通約の平方)

　平方においてのみ通約でき、
　有理面積をかこみ、
　大きい線分上の正方形が
　小さい線分上の正方形より、
　大きい線分と長さにおいて通約できる
　線分上の正方形だけ大きい
　２つの中項線分を見いだすこと。

• 平方においてのみ通約は、
  定義の補足（命題１０ー１９助）による。
• 有理面積は、
  定義１０ー４の補足による。
• かこみは、
  定義２ー１による。
• 大きいは、
  公理１ー８による。
• 線分は、
  定義の補足（命題１ー１）による。
• 正方形は、
  定義１ー２２による。
• 小さいは、
  公理１ー８の補足による。
• 長さにおいて通約は、
  定義１０ー２の補足による。
• 中項線分は、
  定義の補足（命題１０ー２１）による。

　平方においてのみ通約できる
　２つの有理線分Ａ、Ｂが定められ、
　大きい線分Ａ上の正方形が
　小さい線分Ｂ上の正方形より、
　大きい線分と長さにおいて通約できる
　線分上の正方形だけ大きくされた
とせよ。

• 　命題１０ー２９（作図.平方のみ通約で、平方差が大きい方と長さ通約の平方となる２有理線分）
  による。
  
• 　Ａ、Ｂ：有理線分、
  　Ａ∩^^2Ｂ、
  　Ａ∩Ｅ、
  　sq(_Ａ)＝sq(_Ｂ)＋sq(_Ｅ)
  となっている。

そして
　Ｃ上の正方形が矩形Ａ、Ｂに等しい
とせよ。
　　　　　　[......(ａ)]

• 　命題６ー１７の補足 (作図.線分上に矩形と等しい正方形)
  による。
  
• 　sq(_Ｃ)＝rec(Ａ、Ｂ)
  となっている。
  

ところで
　矩形Ａ、Ｂは中項面積である。

• 　定義の補足２（命題１０ー２３） (中項面積)
  による。
  
• 　rec(Ａ、Ｂ)：中項面積
  となっている。
  

したがって
　Ｃ上の正方形も中項面積である。

• 　公理１ー１（同じものに等しい） による。
• 　sq(_Ｃ)：中項面積
  となっている。
  

ゆえに
　Ｃも中項線分である。
　　　　　　[......(２)]

• 　定義の補足（命題１０ー２１）（中項線分） による。
• 　Ｃ：中項線分
  となっている。
  

　矩形Ｃ、ＤがＢ上の正方形に等しい
とせよ。
　　　　　　[......(ｂ)]

• 　命題６ー１１（作図.比例第３項）
  により、
  　Ｃ：Ｂ＝Ｂ：Ｄ
  となるＤを求める。
  
• 　rec(Ｃ、Ｄ)＝sq(_Ｂ)
  となっている。
  

ところが
　Ｂ上の正方形は有理面積である。

• 　命題の設定、
  　定義１０ー４の補足（有理面積、無理面積）
  による。
• 　sq(_Ｂ)：有理面積
  となっている。
  

したがって
　矩形Ｃ、Ｄも有理面積である。

• 　前々節、
  　公理１ー１（同じものに等しい）
  による。
• 　rec(Ｃ、Ｄ)：有理面積 となっている。

そして
　ＡがＢに対するように、
　矩形Ａ、ＢがＢ上の正方形に対し、

• 　命題１０ー２２助（２線分は一方の上の正方形と両者の矩形に比例） による。
• 　Ａ：Ｂ＝rec(Ａ、Ｂ)：sq(_Ｂ)
  となっている。
  

　他方
　Ｃ上の正方形は矩形Ａ、Ｂに等しく、

• 　（ａ）による。
• 　sq(_Ｃ)＝rec(Ａ、Ｂ)
  となっている。
  

　矩形Ｃ、ＤはＢ上の正方形に等しい
から、

• 　（ｂ）による。
• 　rec(Ｃ、Ｄ)＝sq(_Ｂ)
  となっている。
  

　ＡがＢに対するように、
　Ｃ上の正方形が矩形Ｃ、Ｄに対する。　　　　　　[......(１)]

• 　前節、前々節、前々々節、
  　命題５ー７（同一量の比）
  による。
• 　Ａ：Ｂ＝sq(_Ｃ)：rec(Ｃ、Ｄ)
  となっている。
  

ところが
　Ｃ上の正方形が矩形Ｃ、Ｄに対するように、
　ＣがＤに対する。

• 　命題１０ー２２助（２線分は一方の上の正方形と両者の矩形に比例） による。
• 　sq(_Ｃ)：rec(Ｃ、Ｄ)＝Ｃ：Ｄ
  となっている。
  

したがって
　ＡがＢに対するように、
　ＣがＤに対する。

• 　前節、
  （１）、 　命題５ー１１（同一の比に同じ比）
  による。
  
• 　Ａ：Ｂ＝Ｃ：Ｄ
  となっている。
  

そして
　ＡはＢと平方においてのみ通約できる。

• 　命題の設定による。
• 　Ａ∩^^2Ｂ となっている。

したがって
　ＣもＤと平方においてのみ通約できる。

• 　前節、前々節、
  　命題１０ー１１（４量比例で一方が通約なら他方も通約）
  による。
• 　Ｃ∩^^2Ｄ
  となっている。
  

そして
　Ｃは中項線分である。

• 　（２）による。
• 　Ｃ：中項線分
  となっている。
  

したがって
　Ｄも中項線分である。
　　　　　　[......(３)]

• 　前々節により、
  　Ｃ∩^^2Ｄ
  となっており、
  　sq(_Ｃ)∩sq(_Ｄ)
  となるので
  　前節、
  　命題１０ー２３ (中項線分と平方で通約なら中項線分)
  による。
• 　Ｄ：中項線分
  となっている。
  

そして
　ＡがＢに対するように、
　ＣがＤに対し、

• 　（１）による。
• 　Ａ：Ｂ＝Ｃ：Ｄ
  となっている。
  

　Ａ上の正方形が
　Ｂ上の正方形より
　Ａと通約できる線分上の正方形だけ大きい

• 　命題の設定による。
• 　Ａ∩Ｅ
  となるＥがあって、
  　sq(_Ａ)＝sq(_Ｂ)＋sq(_Ｅ)
  となっている。
  

から、
　Ｃ上の正方形も
　Ｄ上の正方形より
　Ｃと通約できる線分上の正方形だけ大きい。

• 　前節、
  　命題１０ー１４（比例４項の各辺で正方形の差の通約が対応）
  による。
• 　Ｃ∩Ｆ
  となるＦがあって、
  　sq(_Ｃ)＝sq(_Ｄ)＋sq(_Ｆ)
  となっている。
  

よって
　平方においてのみ通約でき、
　有理面積をかこむ
　２つの中項線分Ｃ、Ｄが見いだされ、
　Ｃ上の正方形は
　Ｄ上の正方形よりも
　Ｃと長さにおいて通約できる
　線分上の正方形だけ大きい。

• 　前節、 （ｂ）、 （１）、 （２）による。
• 　Ｃ、Ｄ：中項線分、
  　Ｃ∩^^2Ｄ、
  　rec(Ｃ、Ｄ)：有理面積、
  　Ｃ∩ＦとなるＦがあって、
  　sq(_Ｃ)＝sq(_Ｄ)＋sq(_Ｆ)
  となっている。
  

同様にして
　［平方においてのみ通約できる
　２つの有理線分Ａ、Ｂが定められ、］
　Ａ上の正方形が
　Ｂ上の正方形より
　Ａと通約できない線分上の正方形だけ大きい
ならば、
　［平方においてのみ通約でき、
　有理面積をかこむ
　２つの中項線分Ｃ、Ｄが見いだされ、］
　Ｃ上の正方形も
　Ｄ上の正方形より
　Ｃと通約できない線分上の正方形だけ大きい
ことが証明され得る。

• よって、
  　平方においてのみ通約でき、
  　有理面積をかこみ、
  　大きい線分上の正方形が
  　小さい線分上の正方形より、
  　大きい線分と長さにおいて通約できない
  　線分上の正方形だけ大きい
  　２つの中項線分を見いだすことができる。
  (以下、命題１０ー３１の補足(作図,２中項線分;平方のみ通約、矩形が有理面積、平方差が大きい方と長さ非通約の平方)という。)
• 　命題１０ー３０（作図.２有理線分;平方のみ通約で、平方差が大きい方と長さ非通約の平方）
  により、
  　有理線分Ａ、Ｂをとり、
  　線分Ｅ；sq(_Ａ)＝sq(_Ｂ)＋sq(_Ｅ)
  をとると、
  　Ａ¬∩Ｅ、
  となっている。
  　　　　　　[......(＊)]
  　命題６ー１７の補足 (作図.線分上に矩形と等しい正方形)
  により、
  　sq(_Ｃ)＝rec(Ａ、Ｂ)
  とできる。
  　　命題６ー１１（作図.比例第３項）
  により、
  　Ｃ：Ｂ＝Ｂ：Ｄ
  となるＤを求める。
  そうすると、
  　本命題の前半と同様にして、
  　Ａ：Ｂ＝Ｃ：Ｄ
  となる。
  　（＊）、
  　命題１０ー１４（比例４項の各辺で正方形の差の通約が対応）
  により、
  　Ｃ¬∩Ｆ
  となるＦがあって、
  　sq(_Ｃ)＝sq(_Ｄ)＋sq(_Ｆ)
  
  
• 　Ｃ∩^^2Ｄ、
  　Ｃ、Ｄ：中項線分、
  　rec(Ｃ、Ｄ)：有理面積、
  　Ｃ¬∩ＥとなるＥがあって、
  　sq(_Ｃ)＝sq(_Ｄ)＋sq(_Ｅ)
  となっている。
  

• 命題１０ー３１は
  　命題１０ー２９により、
  　有理線分Ａ、Ｂ：Ａ∩^^2Ｂ、
  　有理線分Ｅ；Ａ∩Ｅ、sq(_Ａ)＝sq(_Ｂ)＋sq(_Ｅ)
  をとり、
  　比例中項Ｃ(Ａ,Ｂ)
  をとり、
  　線分Ｄ；Ｃ：Ｂ＝Ｂ：Ｄ
  をとるならば、
  　Ｃ、Ｄ：中項線分、
  　Ｃ∩^^2Ｄ、
  　rec(Ｃ、Ｄ)：有理面積、
  となり、
  　線分Ｆ；正方(_Ｆ)＝正方(_Ｃ)ー正方(_Ｄ)、Ｃ∩Ｆ
  のことである。
  
  
• 命題１０ー３１の補足(作図,２中項線分;平方のみ通約、矩形が有理面積、平方差が大きい方と長さ非通約の平方)

  前提	作図	推論
  定義
  公準
  公理
  命題	10-31
  その他

• 命題１０ー３１は作図用命題である。

  前提	作図・構成	推論
  定義		10-4補,補(題10-21),補2(題10-23)
  公準
  公理		1-1
  命題	6-11,6-17補,10-29,10-30	5-7,5-11,10-11,10-14,10-22助,10-23
  その他

前 　　 次 　　 目次 　　頁頭