ユークリッド原論をどう読むか(14)
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ユークリッド原論

第10巻
 
命題10ー33補助(直角三角形の垂線の足による矩形と辺上の正方形)

補 助 定 理

 ABCを
 直角Aをもつ直角三角形
とし、
 垂線ADがひかれた
とせよ。
 矩形CB、BDはBA上の正方形等しく
 矩形BC、CDはCA上の正方形等しく
 矩形BD、DCはAD上の正方形等しく
さらに
 矩形BC、ADは矩形BA、ACに等しい
と主張する。




そしてまず
 矩形CB、BDがBA上の正方形等しいこと。

 直角三角形において
 直角から底辺垂線ADがひかれた

から、
 三角形ABD、ADCはABC全体に対し、
また
 相互に相似である。
      [......(1)]

そして
 三角形ABCは三角形ABDに相似である

から、
 CBがBAに対するように
 BAがBDに対する

したがって
 矩形CB、BDはAB上の正方形等しい

同じ理由で
 矩形BC、CDもAC上の正方形等しい

そしてもし
 直角三角形において
 直角から底辺垂線がひかれる
ならば、

 ひかれた垂線
 底辺の二つの部分の比例中項である

から、
 BDがDAに対するように
 ADがDCに対する。 

したがって
 矩形BD、DCはDA上の正方形等しい

 矩形BC、ADも矩形BA、ACに等しい
と主張する。

先に述べたように
 ABCはABDに相似である

から、
 BCがCAに対するように
 BAがADに対する

したがって
 矩形BC、ADは矩形BA、ACに等しい

これが証明すべきことであった。
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