ユークリッド原論をどう読むか（１４）
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ユークリッド原論

第１０巻
　
命題１０ー３０（作図.２有理線分;平方のみ通約で、平方差が大きい方と長さ非通約の平方）

　平方においてのみ通約でき、
　大きい線分上の正方形が
　小さい線分上の正方形より、
　大きい線分と長さにおいて通約できない
　線分上の正方形だけ大きい
　２つの有理線分
を見いだすこと。

• 平方においてのみ通約は、
  定義１０ー２による。
• 大きいは、
  公理１ー８による。
• 線分は、
  定義の補足（命題１ー１）による。
• 正方形は、
  定義１ー２２による。
• 小さいは、
  公理１ー８の補足による。
• 長さにおいて通約は、
  定義１０ー２の補足による。
• 有理線分は、
  定義１０ー３の補足による。

　有理線分ＡＢと、
　和ＣＤが平方数でない
　２つの平方数ＣＥ、ＥＤと
が定められ、

• 　指定された単位に対して、
  　命題の補足２（定義１０ー３）(作図.任意の有理線分)
  により、
  　有理線分ＡＢをとり、
  　命題１０ー２９助ｂ（作図.和が平方数でない２平方数）
  により、
  　２数Ｃ'Ｅ'、Ｅ'Ｄ'をとり、
  　ＣＥ＝Ｃ'Ｅ'^2、ＥＤ＝Ｅ'Ｄ'^2
  とする。
• 　ＡＢ：有理線分、
  　ＣＥ＝Ｃ'Ｅ'^2、
  　ＥＤ＝Ｅ'Ｄ'^2、
  　ＣＤ＝ＣＥ＋ＥＤ：平方数でない
  となっている。

　ＡＢ上に半円ＡＦＢ
が描かれ、

• 　命題１ー１０（作図・線分の２等分）
  により、
  　ＡＢの中点Ｇをとり、
  　公準１ー３（作図.円）
  により、
  　中心Ｇ、半径ＧＡの円をかき、
  　公準１ー１の補足（作図.任意の点をとる）
  により
  　円周上にＦをとり、
  　半円ＡＦＢ
  とする。

　ＤＣがＣＥに対するように、
　ＢＡ上の正方形が
　ＡＦ上の正方形に対する
ようにされ、

• 　前々節のＣＥ、ＥＤ、
  　前節のＡＢについて、
  　命題６ー１２（作図.比例第４項）
  により、
  　（ＣＥ＋ＥＤ）：ＣＥ
  　＝ＡＢ)：ＡＦ'
  となるＡＦ'をとり、
  　命題６ー１３（作図.２線分の比例中項）
  により
  　ＡＢ：ＡＦ”＝ＡＦ”：ＡＦ’
  となるＡＦ”をとり、
  　命題４ー１（作図.線分の挿入）
  により、
  　半円ＡＦＧに
  　ＡＦ'＝ＡＦ"’
  となるようにＡＦ"’を挿入する。
  　Ｆ"’を改めてＦとし、
  　Ｆを溯って用いている。
• 　sq(_ＡＢ)：sq(_ＡＦ)＝ＣＤ：ＣＥ
  となっている。

　ＦＢが結ばれた
とせよ。

• 　公準１ー１（作図.直線） による

前と同様にして、
　ＢＡ、ＡＦが
　平方においてのみ通約できる
　有理線分である
ことを証明しうる。
　　　　　　[......(１)]

• 　命題の設定により、
  　sq(_ＢＡ)：sq(_ＡＦ)＝ＤＣ：ＣＥ
  となっているから、
  　命題１０ー６（量が数：数なら通約可）
  により、
  　sq(_ＢＡ)∩sq(_ＡＦ)
  となっている。
  ところが
  　命題の設定、
  　定義１０ー４の補足（有理面積、無理面積）
  により、
  　sq(_ＡＢ)；有理面積
  となっている。
  したがって
  　前節、前々節、
  　定義１０ー４の補足（有理面積、無理面積）
  により、
  　sq(_ＡＦ)；有理面積
  となっており、
  　命題の補足３（定義１０ー４）(有理面積正方形の辺は有理線分)
  により、
  　ＡＦ；有理線分
  となっている。
  　　　　　　[......(＊)]
  
  そして
  　命題の設定により、
  　ＤＣ：ＣＥ≠平方数：平方数
  となっているから、
  　命題の設定、
  　命題５ー１１（同一の比に同じ比）
  により、
  　sq(_ＢＡ)：sq(_ＡＦ)≠平方数：平方数
  となっており、
  　命題１０ー９（長さで通約と正方形の比）
  により、
  　ＡＢ¬∩ＡＦ
  となっている。
  
  それゆえ
  　前節、
  命題の設定、
  （＊）
  　定義１０ー３の補足（有理線分）
  により、
  　ＡＢ、ＡＦ；有理線分、
  　ＢＡ∩^^2ＡＦ
  となっている。

そして
　ＤＣがＣＥに対するように、
　ＢＡ上の正方形が
　ＡＦ上の正方形に対する

• 命題の設定、
  
• 　ＤＣ：ＣＥ＝sq(_ＢＡ)：sq(_ＡＦ)
  となっている。

から、
　反転比により
　ＣＤがＤＥに対するように、
　ＡＢ上の正方形が
　ＢＦ上の正方形に対する。

• 　命題の設定、
  　命題３ー３１（半円内の角は直角、半円より大小の切片内の角、切片の角）
  により、
  　三角形ＡＢＦは直角三角形
  となり、
  　命題１−４７（三平方の定理）
  により、
  　sq(_ＡＢ)＝sq(_ＢＦ)＋sq(_ＡＦ)
  　　　　　　[......(**)]
  となり、
  　前節、
  　命題５ー１９（引き去りが比例なら残りも比例）
  による。
  　ＣＤ：ＤＥ＝sq(_ＡＢ)：sq(_ＢＦ)
  となっている。
  

ところが
　ＣＤはＤＥに対し、
　平方数が平方数に対する比をもたない。

• 　命題の設定による。
• 　ＣＤ：ＣＥ≠平方数：平方数
  となっている。

したがって
　ＡＢ上の正方形は
　ＢＦ上の正方形に対し、
　平方数が平方数に対する比をもたない。

• 　前節、前々節、
  　命題５ー１１（同一の比に同じ比）
  による。
• 　sq(_ＡＢ)：sq(_ＢＦ)≠平方数：平方数
  となっている。
  

それゆえ
　ＡＢは
　ＢＦと長さにおいて通約できない。

• 　前節、
  　命題１０ー９（長さで通約と正方形・平方数の比）
  による。
• ＡＢ¬∩ＢＦ
  となっている。

そして
　ＡＢ上の正方形は
　ＡＦ上の正方形より
　ＡＢと通約できない
　ＦＢ上の正方形だけ大きい。

• 　前節、 （＊＊）による。
• 　ＡＢ¬∩ＢＦ
  　sq(_ＡＢ)＝sq(_ＡＦ)＋sq(_ＦＢ)
  となっている。

よって
　ＡＢ、ＡＦは
　平方においてのみ通約できる有理線分であり、
　ＡＢ上の正方形は
　ＡＦ上の正方形より
　ＡＢと長さにおいて通約できない
　ＦＢ上の正方形だけ大きい。

• 　前節、
  （１）
  による。
• 　ＡＢ、ＡＦ；有理線分
  　ＡＢ∩^^2ＡＦ
  　sq(_ＡＢ)＝sq(_ＡＦ)＋sq(_ＦＢ)
  　ＡＢ¬∩ＦＢ
  となっている。

　これが証明すべきことであった。

• 命題１０ー３０は、
  　和Ｃ＋Ｄが平方数でない２平方数Ｃ、Ｄと、
  　有理線分Ａ
  に対し、
  　Ｂ；正方(_Ａ)：正方(_Ｂ)＝(Ｃ＋Ｄ)：Ｃ
  　Ｅ；sq(_Ｅ)＝sq(_Ａ)ーsq(_Ｂ)
  ならば、
  　Ｂ；有理線分、
  　Ａ∩^^2Ｂ
  　Ａ¬∩Ｅ
  のことである。
  
  
• 命題１０ー３０は推論用命題である。

  前提	作図・作図	推論
  定義		10-3補,10-4補
  公準		1-1,1-1補,1-3
  公理
  命題	1-10,4-1,6-12,6-13,補2(義10-3),10-29助b	1-47,3-31,5-11,5-19,補(義10-4),10-4補,10-6,10-9
  その他

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