ユークリッド原論をどう読むか(14)
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ユークリッド原論
第10巻
命題10ー10助(平方数:平方数なら相似な平面数)
(非相似平面数は平方数:平方数とならず)
補 助 定 理
-
以下の書き振りを見る
と
後世の注釈者によるコメントが
混入したものであろう。
算数に関する個所で、
-
数が登場して以降
すなわち
第7巻以降のこと
と判断される。
幾何とか算数とかの用語は
これまでまったく登場していない。
以下に登場する命題は
第8巻のものである。
相似な平面数は
互いに
平方数が平方数に対する比をもつ
こと、
そして
もし
2つの数が
互いに
平方数が平方数に対する比をもつ
ならば、
それらは相似な平面数である
[......(a)]
-
命題8ー11(平方数の比、比例中項)
により、
2つの平方数の間には
比例中項があり、
このことと
命題8ー8(同じ順次比例での項の挿入)
により
2つの数の間にも
比例中項があり、
このことと
命題8ー20(比例中項と相似な平面数)
により
2つの数は相似な平面数
になっている。
ことが証明された。
-
他の巻の命題を
このように
「証明された」
というスタイルで
参照する例は
これまでまったくない。
そして
これから
-
他の命題を
このように
「これから」
というスタイルで
参照する例は
これまでまったくない。
「これ」は
(a)をさしている。
相似でない平面数、
すなわち
辺が比例しない平面数は、
互いに
平方数が平方数に対する比をもたない
ことが明らかである。
-
記述の流れからは、
この部分が
補助定理
と見られる。
しかし、
内容的には、
「証明された」
と記述されている
(a)の部分が
原論において証明されていない
ので、
(a)を補助定理、
こちらを
補助定理の系
と見なすのが妥当である。
なぜなら
もし
平方数が平方数に対する比を
もつ
とすれば、
それらは相似な平面数になる
であろう。
これは仮定に反する。
したがって
相似でない平面数は
互いに
平方数が平方数に対する比をもたない。
[そしてもし
2つの数が
互いに
平方数が平方数に対する比をもたない
ならば、
それらは相似な平面数でない。]
(以下、命題10ー10助の系(非相似平面数は平方数:平方数とならず)という。)
-
背理法による。
-
補足部分も
本文と同様に
背理法により証明できる。
これが証明すべきことであった。
- 命題10ー10助は、
A、B;相似な平面数
ならば
A:B=平方数:平方数、
逆に
A:B=平方数:平方数、
ならば
A、B;相似な平面数
A、B;¬相似な平面数
ならば
A:B≠平方数:平方数、
逆に
A:B≠平方数:平方数、
ならば
A、B;¬相似な平面数
のことである。
-
命題10ー10助の系(非相似平面数は平方数:平方数とならず)
- 命題10ー10助は推論用命題である。
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